精品解析：河南郑州市2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题B卷

2025-2026学年下期期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷作答无效，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 数据1，3，1，2，5，8，5，6，9，8的70%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数 B. 任何两个复数不能比较大小 C. 若，，则 D. 满足的复数对应的点的轨迹是圆 3. 已知，，是不重合的三个平面，，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若与不垂直，，则 B. 若，，点，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 郑州市碧沙岗公园前身是冯玉祥将军为纪念北伐战争阵亡将士修建的陵园，取“碧血丹心、血殷黄沙”之意，其北门附近竖立着“北伐阵亡将士纪念碑”．某学习小组开展数学建模活动，欲测量纪念碑的高度．如图，选取与纪念碑底部同一水平面内的三个共线的测量基点、、且在、、处测得纪念碑顶端的仰角分别为，，，且米，则纪念碑高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 《哪吒》系列电影不仅仅是商业上的巨大成功，更标志着中国电影在文化自信、工业化水平与全球化表达上的一次历史性跨越．台词“若前方无路，我便踏出一条路”成为鼓舞人心、挑战困难的精神象征，激发全年龄段共鸣．同时，官方联名收藏卡也掀起了卡牌热潮．甲乙两位好朋友采用抽盲盒的方式互换收藏卡片，甲同学有2张哪吒卡、2张敖丙卡，乙同学有3张哪吒卡、1张敖丙卡．先由甲同学随机取出1张给乙同学，分别以，表示甲同学中取出的是哪吒卡、敖丙卡的事件，再由乙同学从现有的5张卡中随机取出1张送给甲同学，以表示乙同学取出的是哪吒卡的事件，下列命题不正确的是（ ） A. 事件，互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 8. 在中，，，分别是内角，，的对边，，，当内角最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. B. （为虚数单位）是方程的根 C. 复数的虚部为1 D. 若复数满足，则最大值为 10. 在中，记角，，的对边分别为，，，则（ ） A. 若，，，则解此三角形有两解 B. ，则为锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为等腰直角三角形 11. 已知圆锥的底面半径为，其母线长，底面圆周上有一动点，下列说法正确的有（ ） A. 截面最大面积为 B. 若，则直线与平面所成角的正弦值为 C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 D. 若点，且，一只小蚂蚁从点出发绕侧面一周到达点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的．，其中，则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为_______________ 13. 的三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，角的平分线交于，则_______________． 14. 在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知复数，，（其中，）．若是纯虚数，求的值． （2）已知是复数，、均为实数（为虚数单位），若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16. “2026郑开国际马拉松”已在春季成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）若面试成绩，从高到低排序，前43%的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 17. 在中，角，，的对边分别为，面积为，且 （1）求周长的取值范围； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18. 如图①，平面四边形由两个三角形拼接而成，其中，，，沿将向上翻折至，连结得到如图②的三棱锥，是的中点，是的中点，在上，且． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，求平面与平面所成的二面角的正切值； （3）在（2）条件下，求三棱锥的体积． 19. 如图所示，设，是平面内相交成（，）角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，，求； （2）类比平面直角坐标系，请写出仿射坐标系下，用坐标表示的两个向量共线的充要条件，即若向量；，，请写出“”的充要条件（坐标表示），并给出证明； （3）在仿射坐标系下，设，，，若，对任意恒成立，求和的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷作答无效，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 数据1，3，1，2，5，8，5，6，9，8的70%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】给定数据由小到大排列为， 由，得所求70%分位数是. 2. 已知是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数 B. 任何两个复数不能比较大小 C. 若，，则 D. 满足的复数对应的点的轨迹是圆 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的基本概念、几何意义以及复数的运算即可. 【详解】对于选项A，复平面中虚轴包含原点，原点对应复数0（实数），并非虚数，故A错误； 对于选项B，只有两个实数可以比较大小；若复数包含虚部（非实数），则不能比较大小，故B错误； 对于选项C，，则，故C正确； 对于选项D，设，由得， 即，所以，化简得， 即复数对应的点的轨迹为实轴，是直线，不是圆，故D错误. 3. 已知，，是不重合的三个平面，，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若与不垂直，，则 B. 若，，点，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理逐一判断各选项的正误. 【详解】对于A，若，，由面面垂直的判定定理可得， 与题目条件“与不垂直”矛盾，故， A正确； 对于B，由面面垂直的性质定理可知， 只有当时，才能由，，，推出， 但仅知，不能确保一定成立，从而不一定成立，故B错误； 对于C，根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线互相平行， 因此若，时，则必有，故C正确； 对于D，如图，设，过平面内一点在平面内作， ∵，，，∴ 由可知，则， 因，故，即D正确. 4. 郑州市碧沙岗公园前身是冯玉祥将军为纪念北伐战争阵亡将士修建的陵园，取“碧血丹心、血殷黄沙”之意，其北门附近竖立着“北伐阵亡将士纪念碑”．某学习小组开展数学建模活动，欲测量纪念碑的高度．如图，选取与纪念碑底部同一水平面内的三个共线的测量基点、、且在、、处测得纪念碑顶端的仰角分别为，，，且米，则纪念碑高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】设米. 在中，， 所以，； 在中，， 所以，； 在中，， 所以，. 因为， 所以， 即， 所以， ，解得. 即纪念碑高度为米. 5. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则   . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 6. 已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知，向量在向量上的投影向量为，则， 故，解得， 故． 7. 《哪吒》系列电影不仅仅是商业上的巨大成功，更标志着中国电影在文化自信、工业化水平与全球化表达上的一次历史性跨越．台词“若前方无路，我便踏出一条路”成为鼓舞人心、挑战困难的精神象征，激发全年龄段共鸣．同时，官方联名收藏卡也掀起了卡牌热潮．甲乙两位好朋友采用抽盲盒的方式互换收藏卡片，甲同学有2张哪吒卡、2张敖丙卡，乙同学有3张哪吒卡、1张敖丙卡．先由甲同学随机取出1张给乙同学，分别以，表示甲同学中取出的是哪吒卡、敖丙卡的事件，再由乙同学从现有的5张卡中随机取出1张送给甲同学，以表示乙同学取出的是哪吒卡的事件，下列命题不正确的是（ ） A. 事件，互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合互斥事件、独立事件的定义，利用条件概率公式、全概率公式逐一计算验证各选项即可. 【详解】对于选项A，事件表示取出的是哪吒卡，事件表示取出的是敖丙卡，这两个事件不会同时发生，为互斥事件，故A正确； 对于选项B，，所以，，所以，故事件与事件不独立，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D正确. 8. 在中，，，分别是内角，，的对边，，，当内角最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知等式利用正弦定理角化边化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值，然后利用三角形面积公式计算. 【详解】已知，由正弦定理可得，代入， 得，所以， 由余弦定理，得， 要使内角最大，由于，所以应取最小值， 由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为，此时内角为最大， 由于， 所以的面积为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. B. （为虚数单位）是方程的根 C. 复数的虚部为1 D. 若复数满足，则最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】设，则，故，故A正确； ， 代入方程，则 ，等式成立，故B正确； 复数的虚部为，故C错误； 代表复数在复平面内对应的点在以原点为圆心，半径的单位圆上， 表示圆上动点到定点的距离， ，圆上点到定点的最大距离为，故D正确． 10. 在中，记角，，的对边分别为，，，则（ ） A. 若，，，则解此三角形有两解 B. ，则为锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，使用余弦定理确定边长有2个解，选项B，利用诱导公式统一三角函数名称，结合正弦函数的单调性推导内角必然存在钝角即可，选项C，由题意推导出锐角三角形任意两内角之和大于，结合单调性即可得到目标不等式，选项D，通过正弦定理边化角求解三角方程，最终得出该三角形是等腰或直角的两种可能性. 【详解】对于A，由余弦定理得， 整理得，， 且两根之和，两根之积，所以方程有两个不相等的正实数根， 即边长有两个不同的取值，因此解此三角形有两解，故A正确， 对于B，在中，，所以，所以，即为锐角， 所以原不等式为， 因为是锐角，所以，而， 若，则，此时为钝角， 若，则本身就是钝角，故B错误， 对于C，由题意得，， 所以，即， 由于和都在区间内，且正弦函数在上单调递增， 所以， 且有， 由于和都在区间内，且正弦函数在上单调递增， 所以， 将两式相加得，故C正确， 对于D，因为，所以， 所以原式为， 由正弦定理得，即， 则，此时为等腰三角形， 或， 此时为直角三角形，故D错误. 11. 已知圆锥的底面半径为，其母线长，底面圆周上有一动点，下列说法正确的有（ ） A. 截面最大面积为 B. 若，则直线与平面所成角的正弦值为 C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 D. 若点，且，一只小蚂蚁从点出发绕侧面一周到达点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，结合圆锥的结构特征确定截面面积最大值判断A，过点B作，交于点D，连接，利用线面垂直的性质和判定及线面角的定义确定直线SB与平面所成角的平面角，进而求其正弦值判断B，首先确定棱锥的体积最大情况下，再由棱锥的结构特征求其外接球的半径，进而求表面积判断C，根据已知确定圆锥侧面展开图的圆心角，进而确定上下坡的临界点，最后求下坡路段长度判断D. 【详解】对于A，圆锥底面半径，母线，高， 因为，所以，所以，所以为锐角， 因为， 所以当最大，即为底面直径时，截面面积最大， 最大，故A正确； 对于B，过点B作，交于点D，连接， 由底面，且底面，则， 又，，平面，则平面， 所以为直线SB与平面所成的角， 在中，，所以，又， 所以，故B错误； 对于C，三棱锥的体积， 当时，最大为，体积也最大， 此时其外接球半径为， 所以，故C正确； 对于D，侧面展开图圆心角满足，解得，即为四分之一圆.， 由题意，如图所示，其中AC为直线时最短，过S作于， ，即为下坡路段，， 又与相似，则，所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的．，其中，则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】确定的特征及旋转体的特征，再利用圆锥侧面积公式求解. 【详解】根据“斜二测画法”可得，，， 绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体， 它的表面积为. 13. 的三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，角的平分线交于，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求得，根据三角形面积公式及面积相等即可求得. 【详解】由余弦定理，得， 化简得，解得. 因为，所以. 由，得. 由，得 所以. 14. 在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，，据平面向量的混合运算法则可化简得到，设函数，，由对勾函数的性质推出在上的单调性，求出最大值即可得解. 【详解】根据题意，作出如下所示图形： 因为，，所以， 又因为动点和分别在线段和上，所以，解得， ， 其中，，，， 代入并化简得， 设函数，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以的最大值在处取得，最大值为， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知复数，，（其中，）．若是纯虚数，求的值． （2）已知是复数，、均为实数（为虚数单位），若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 【15题详解】 由题意， 所以． 由是纯虚数得， 所以． 【16题详解】 设，． 因为为实数，所以； 因为为实数，所以， 所以． 则． 因为复数在复平面上对应点在第一象限， 则，解得， 故实数的取值范围为． 16. “2026郑开国际马拉松”已在春季成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）若面试成绩，从高到低排序，前43%的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出各组频率，利用百分位数的定义列方程求解； （2）根据分层抽样确定各组抽取人数，利用分层抽样后的总体平均数和方差公式进行计算． 【小问1详解】 由题可知，，解得， 由题中所给的频率分布直方图可知，第四组与第五组的频率之和为，第三组、第四组与第五组的频率之和为， ，故优秀候选者成绩的最低分落在第三组. 设优秀候选者成绩的最低分为分，则，解得， 故估计优秀候选者成绩的最低分为分； 【小问2详解】 各组频率之比为，用分层抽样的方法选取20人，则第二组抽取的人数为人，第四组抽取的人数为人， 设第二组面试者的成绩为样本1，第四组面试者的成绩为样本2.记样本1的容量，平均数，方差为，记样本2的容量，平均数，方差， 这两组所有面试者的总平均数为：， 这两组所有面试者的方差为：， 故估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差为. 17. 在中，角，，的对边分别为，面积为，且 （1）求周长的取值范围； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用面积公式和余弦定理得出，再利用余弦定理和不等式求解； （2）根据锐角三角形求出，再利用正弦定理和三角函数求范围. 【小问1详解】 因为，所以， 则由余弦定理可得，得， 因为，所以， 因为，，所以， 得， 又，则， 所以周长的取值范围为； 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以，得， 则， 故由正弦定理得， 故的取值范围为. 18. 如图①，平面四边形由两个三角形拼接而成，其中，，，沿将向上翻折至，连结得到如图②的三棱锥，是的中点，是的中点，在上，且． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，求平面与平面所成的二面角的正切值； （3）在（2）条件下，求三棱锥的体积． 【答案】（1）如图②取的中点，连结， 因为是的中点，在中，由中位线定理得， 又平面，平面，所以平面. 又因为是的中点， 是的中点，所以，又， 故在中，得， 又平面，平面，所以平面. 由平面，平面，， 所以平面平面，又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线以及比例可证明线线平行，进而可得线面平行以及面面平行，即可根据面面平行的性质求解，（2）根据面面垂直的性质得线面垂直，即可根据线线垂直证明平面，为平面与平面所成二面角的平面角，进而可证平面，可得，进而计算可求得平面与平面所成的二面角的正切值； （3）利用等体积法求得点到面的高为，进而利用转化法求得三棱锥的体积． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图④，在平面中，过作于， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，又平面，平面，， 所以平面，又由平面，所以， 又，又平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 又平面，平面，所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角. 在直角中，，，所以， 在直角中，，所以， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，平面，即为三棱锥的高， 设点到面的距离为，则由, 由（2）可得， 所以，解得， 又由，知点到面的高为， 又， 所以. 19. 如图所示，设，是平面内相交成（，）角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，，求； （2）类比平面直角坐标系，请写出仿射坐标系下，用坐标表示的两个向量共线的充要条件，即若向量；，，请写出“”的充要条件（坐标表示），并给出证明； （3）在仿射坐标系下，设，，，若，对任意恒成立，求和的取值范围． 【答案】（1） （2）若则 ①当不全为零向量时，不妨设，则存在唯一实数使得， 因为不共线，故，消去得 ②当全为零向量时，两者共线，也满足. 若，①当时可得，设， 则，，故 ②当时 ③当时 故“”的充要条件为 （3）， 【解析】 【分析】（1）用基底表示出，两边平方即可求解； （2）根据共线向量定理和充要条件的定义结合已知条件分析证明即可； （3）恒成立，即，只要，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，，， ， 恒成立， 故恒成立， 故，化简得， 所以， ， 因为，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $