河南新乡市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学试题 参考答案及评分意见 1.D【解析】.全集U={1,3,5,7,9},集合A={3,7,a-1},0uA=(1,5},.a-1=9,解得a=10.故选D. 2.B【解析】由a=(1,2),b=(x,-2),得a十b=(1十x,0). 若(a+b)⊥b,则(a+b)·b=0,即(1+x)·x+0·(-2)=x(1+x)=0,解得x=0或x=-1. 因此(a十b)⊥b无法推出一定是x=-1,故充分性不成立. 当x=一1时，a+b=0,则(a+b)·b=0,即(a十b)⊥b成立，故必要性成立. 所以“(a十b)⊥b”是“x=一1”的必要不充分条件.故选B. 3.A【解析】由x+2一2zy=0,得1十，1=1， x 2y 所以x+2-任+》-22+≥2+2云-4， 当且仅当2y=时，即x=2y=2时，等号成立，所以工十2y的最小值是4.故选A x 2v 4.C【解析】因为四边形OABC为直角梯形，且OA=OA'=3,CB=C'B'=2,OC=2O'C'=2,OA∥CB, 所以S梯形OABC= CB+0A×OC=2十3×2=5.故选C. 2 2 4 5.B【解析】将10名学生的成绩按从小到大的顺序排序为71,76,80,81,83,84,86,88,92,96. 因为10×60%=6，所以第60百分位数为排序后第6个和第7个数据的平均数， 即84十86=85，即所求复数的实部为85. 2 因为10×75%=7.5，所以第75百分位数为排序后第8个数据88， 即所求复数的虚部为88.所以所求复数为85+88i.故选B. 6.D【解析】对于A,由m∥a,n⊥a,得m⊥n,故A正确； 对于B,垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C,由面面垂直的性质定理，得n⊥3，故C正确； 对于D,若m∥a,m∥B,则a∥B或a与B相交，故D错误.故选D. 7.C【解析】因为该破译器每秒能随机生成26个不重复的二维码， 所以一分钟能生成的二维码总数为60×216.一个n×n二维码共有2种情况. 要确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于2， 1 则90义X2≤2，即60×25≤25，即2≥60 22 数学答案第1页（共8页） 因为25<60<2，且n∈Z,所以2-31≥2，解得n2-31≥6，即n2≥37，所以n的最小值为7.故选C. 8.A【解析】当x≤0时，f(x)=一x2一2x+2, 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=一1， f(x)在（一∞，一1]上单调递增，在(-1,0]上单调递减，f(一1）=3，f(0)=2; 当x>0时，f(x)=llnx|,f(1)=0,函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 作出函数f(x)的大致图象，如图. =3 yf(x) 10 设f(x)=t,则关于t的方程t2一at十5=0有2个不同的根t1和t2, 且关于x的方程f(x)=t1,f(x)=t2分别有4个不同的根. 4=a2-20>0, 设t1<t2,则关于t的方程t2-at+5-0,t1十t2=a, t1t2=5. ①若t1,t2∈(2,3)，则t1+t2=a>0.又因为a2-20>0,所以a>2√5. (t1-2)(t2-2)>0,5-2a+4>0, 且 即 解得25<a<号 (t1-3)(t2-3)>0,5-3a+9>0, ②若4=2，则4=号，此时a=号，符合题意，所以2后<a≤号，即实数。的取值花固为25，]故选A 9.AC【解折】因为点(2，司)在幂函数f(x)=x·的图象上， 所以2=1 解得6=-1，所以fx)=是(x≠0).因为f(-x)=-=-f(x), x 所以了)是奇函数，故A正确，B错误.f(④)=，放C正确， 由幂函数的性质，fx)=分别在（一0,0）和0，+∞)上单调递减， 但是定义域内不是单调函数，故D错误.故选AC. 10.BD【解析】△ABC的三边分别为连续正整数n,n十1，n十2(n∈N*), 7 最小角对最小边n,记最小角为A,则cosA=8: 由余弦定理，得c0sA=m十1)2+(m+2)-27 2(n+1)(n+2)8' 化简得2牛-百解得-2，所以△ABC的三边长分别为23,4 对于A,最大角对最大边4，记最大角为C, 数学答案第2页（共8页） 则由余弦定理，得c0sC=2,,2二一4<0，所以角C为钝角， 2×2×3 所以△ABC是钝角三角形，故A错误； 对于B,由于coA=日，则sinA=-cosA=店】 7 8， 1 1 所以△A5C的面积S三，3·4·sinA2X12X1535故B正确 8 对于C,由于△ABC的外接圆的半径R三sin Gs C-一 C 4c=4, 、则snC15,R15一。15。，故C错误， 对于D,由二倍角公式，得coe2C=2cosC-1=2×()-1=-名放D正确做选BD, 1.ACD【解析】对于A,由题意，OC=OD=0,E=OF=3,所以P01=3,且∠CPD=于 所以圆维PO,的体积V-}X3xX3=3x,故A正确 对于B,由题意，公共点的轨迹是以AB为直径的圆.因为△PCD为正三角形， 所以A,B分别为PC,PD的中点，AB=2CD=3,所以轨迹的周长为，3，故B错误. 1 对于C,如图，连接BO1,FB.所以BO1∥PC,且BO1=2PC=5=O,F, 所以∠FBO1即为异面直线BF与PA所成的角. 因为O1F⊥CD,O1F⊥O1P,且CD∩O1P=O1,CD,O1PC平面PCD,所以O1F⊥平面PCD. 又因为OBC平面PCD,所以O:P1O:B.所以△F0,B为等腰直角三角形，即∠FB01-年，故C正确， 对于D,设球O的半径为r,则r十2r=3,解得r=1. 分，且S△A5=，X23X3=3, 则点0到平面ABF的距离为)，所以发面圆的半径为，-得-， 所以平面AEF截球O的截面面积为S=πX 图-票，故D正确故达AD C----- 23【解析】组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点，有4×3×2=24，共有24 数学答案第3页（共8页） 三位数是“凹数”，有214,213,312,314,324,412,413,423，共8个， 所以这个三位数为四数”的概率为员了 13.2【解析】Hx∈R,√4x2+1>2|x|≥2x,则√4x2+1-2x>0,2+1>0, 所以函数∫(x)的定义域为R,定义域关于原点对称， 1 1 所以f(x+f(-x)=ln(W4+T-2x)+ln(4x+T+2x)+2-+1十2+1+1 1 2 =lh(4x2+1-4x)+2-+1十2r2:+D+1=2, 因为a+b=2026,所以(a+1)+(b-2027)=0,所以f(b-2027)+f(a+1)=2. 14.28π【解析】取BD的中点E,连接AE,CE,如图. 因为在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以△ABD,△CBD为正三角形，且AE⊥BD,CE⊥BD. 所以∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，故∠AEC=120°. 因为AE∩CE=E,AE,CEC平面ACE,所以BD⊥平面ACE. 因为BDC平面BCD,所以平面ACE⊥平面BCD, 所以四面体ABCD外接球的球心在平面ACE上. 取CE上一点G,使CG=2GE,则点G是△CBD的外心. 过点G作直线l1垂直于CE,过点E作直线l?垂直于AC. 设直线l1与直线12交于点O,连接OA,OC,则OA=OC 则点O为四面体ABCD外接球的球心，如图.所以OG⊥GE,OE垂直平分线段AC. 因为△CBD为正三角形，且边长为23，所以CE=5X25=3,故CG=2,GE=1, 2 又因为∠AEC=120°，所以∠CE0=60°，OG=GEtan60°=√3. 在Rt△CG0中，OC=√CG十OG=√4+3=√7，球O的半径R=OC=√7， 所以四面体ABCD外接球的表面积为S=4πR2=28元. G 15.解：(1)由正弦定理，得sinA_2sinB-sinC cos A cos C 数学答案第4页（共8页） .'sin Acos C=2sin Bcos A-cos Asin C, '.sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=2sin Bcos A...................................2 又：A+B+C=x,.sin(A+C)=sin(π-B)=sinB, .'sin B=2sin Bcos A. mB>0,cesA=2又A∈（0，xA=5 …… …5分 (2)由(1)及余弦定理，得a2=b2十c2-2 bccos A,即4=b2十c2-bc①.…7分 ad=号A+号， a0=4a+ad+号a.ad,即2-c+ 2bccos 3 1 62三b2+1c2t4bc②.m ……10分 由②X4-①，得bc=2, 小Se=esinA-号x2x月- 22 …13分 16.解：(1)f(x)=√3 sin wxcos wx十cos2wx 、,√3sin2wz+1+co2-sin2wz+r） 1 2 6)+2 …2分 因为函数f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为4·2@一4， 12ππ 所以w=l.…4分 又w>0,所以w=1,则fx)=inz+十2 ………5分 令2x十否-kx+受（E2,解得x-经+答∈Z, 所以函数了)图象的对称轴方程为x-“+看∈D. …7分 (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度， 得到y=m[2氏-君副)+]十2-in2x一)十的图象。 再将得到的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的。（纵坐标不变）， 得到函数x)=sn红十的图象 …11分 当x(2时，红-晋∈( …12分 所以sn(x-)(-11山，故函数gx)的值城为[名，} …15分 数学答案第5页（共8页） 17.(1)证明：如图1，取SD的中点M,连接ME,MC. 因为E,M分别为SA,SD的中点，所以EM∥AD,EM=号AD.…2分 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，所以FC∥AD且FC=号AD. 所以EM∥FC且EM=FC,四边形EFCM是平行四边形，则EF∥MC. 又因为MCC平面SCD,EF中平面SCD,所以EF∥平面SCD.…4分 图1 (2)解：如图2，取AB的中点O,连接SO,CO,AC.因为SA=SB=√6，所以SO⊥AB. 因为平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,SOC平面SAB, 所以SO⊥平面ABCD.…6分 因为△ABC为等边三角形，则OC⊥AB. 又因为SO∩OC=O,SO,OCC平面SOC,所以AB⊥平面SOC.又因为SCC平面SOC,所以AB⊥SC. 因为AB∥CD,OC⊥AB,AB⊥SC,所以OC⊥CD,SC⊥CD,所以∠SCO为二面角S-CD-B的平面角. …8分 在Rt△SOC中，CO=√3，S0=√SB2-OB2=√5，SC=√SO2+OC=2√2， 所以cos∠SC0=0C-36 SC224' 所以二面角S一CD-B的余弦值为5 4 …10分 图2 (3)解：由(2)得，SO⊥平面ABCD,且S△scD= 2SC·CD=22, 1 SAcD2BC·CDsin不=3 ………………12分 设点B到平面SCD的距离为h. 因为Ve=m=V,所以号5amA=号Sam·S0. 即后×2，区XA=号X5X5,解得-0 4 数学答案第6页（共8页） 所以点B到平面SCD的距离为√0 4· …15分 18.解：(1)设“小李第一关闯关成功”为B1,“小李第二关闯关成功”为B2. 因为B,B,相互独立，且P(B,)=,P(B)=y, 则P(B)=1-P(B）=子，P(B,)=1-P(B,）=1-y.3分 设“小李恰好有一关闯关成功”为D,则D=B1B2十B1B2,……4分 所以P(D)=P(B1B2+B1B2)=P(B1B2)十P(B1B2)=P(B1)P(B2)+P(B1)P(B2), 所以PD)-X1-)+Xy=,当y-号时，P(D)-9日-是 4 4-312' 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为2 …7分 (2)设“小王第一关闯关成功”为A1,“小王第二关闯关成功”为A2, 则事件AA,B,B,湘互独立，且PA)=台PA)=,P(B)=,P(B:)=yy≥ 251 …9分 因为小王，小李两关都何关成功的概率为号，所以（售+小(？）一号解得y一0。…1分 设“小王恰好有一关闯关成功”为C,则C=A1A2十A1A2, 143 所以P(C)=1-x)+5x=5后. 由(1)知，P(D)=3-1 2y.………13分 因为小王，小李各有一关闾关成功的概*为号所以（售-）（任-2）， 整理得45x十40y-30xy=32②.…14分 联立①②得40y-38y+9=(20y-9)(2y-1)=0,解得y=或y 2 义因为y≥号所以y=名=号 51 …15分 所以小王两关都阿关成功的概率为×号-， 5一2污小李两关都闯关成功的概率为3×号一3 4 所以小王，小李两人至少有一人两关都同关成功的概率为会+一是一器 …17分 19.(1)证明：因为PA⊥底面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD. 又因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD, 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BD⊥平面PAC 又因为BDC平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.… …4分 (2)证明：在正方形ABCD中，BC∥AD, 又BC中平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD. 数学答案第7页（共8页） 又BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥L.… ……7分 (3)解：存在点F,点F是线段BC上靠近点B的三等分点，使得EF∥平面PAB. 当a的值为3时，直线EF与底面ABCD所成的角为45. 取线段PA上一点K,使得K-连接KE,KB,EP,… …10分 在△PAD巾，E-号励，即器-P-言则KE∥AD,且KE=吉AD, 在正方形ABCD中，取线段BC上靠近点B的三等分点F,则BF∥AD,且BF=号BC=号AD, …l2分 所以BF∥KE,且BF=KE,所以四边形BFEK为平行四边形，则EF∥BK. 又因为BKC平面PAB,EF中平面PAB,所以EF∥平面PAB.… …14分 取线段AD上靠近点A的三等分点M,连接EM,FM. 在△PAD中，点E,M分别为PD,AD的三等分点，则PA∥EM,且M-名.， PA-3 …16分 因为PA⊥平面ABCD,所以EM⊥平面ABCD,即EF在平面ABCD上的射影为MF, 所以∠EFM即为直线EF与底面ABCD所成的角. 在Rt△EMF中，FM=2,若∠EFM=45°，则EM=2,所以PA=a=3.…17分 数学答案第8页（共8页）高一数学试题 答题卡 四、解答题： 共77分。 15.(13分) 班级： 姓名： 学校： 考场号：☐ 座位号：■☐ 淮考证号 贴条形码区 0 0 0■0门■0000 ■20002 2■ 3 3 3 3 3 4 4 ■ 注意事项 5 5 5 5 签题前，考生先将自己的姓名、准考证号 翻 6 6 6 6 6 6 考扬号，应位号填写清楚。 2选择题使用2B船笔填涂，非选择题彼用黑色 8 8 8 8 8 8 8 8 8 减素笔书写，超出答题区城无数， 3.保持卡面清洁，不要折叠。不要并硫。 99999999 9 此栏考生禁填缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂左边的缺考标记。 一、选择题：本题共8小题， 每小题5分，共40分。 1【aJ(B】【c【D】3【a1【B】【c】【D】5【A】【B】【C】[D】7【AJ【B】Ic】【D】 2【A】【B】【C】【D】 4【A】【B】【C】【D】6【A】【B】【c】【D】 8【AJ【B】【c】【DJ 二、选择题： 本题共3小题，每小题6分，共18分。 9【A】【B】【c】【D】10【A]【B】【c】【D】11【A1【B】【c】【D】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第1页（共2页) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答题区域内作答、超出黑色形边框限定区域的答无效 17.(15分) 18.（17分) 19.（17分) …方 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色师形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ◆ 第2页（共2页）高一数学试题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在 本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟,满分150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={3,7,a-1},若CuA={1,5},则a= A.4 B.6 C.8 D.10 2.已知向量a=(1,2),b=(x,一2),则“(a十b)⊥b”是“x=一1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知x>0,y>0,且x十2y-2xy=0,则x+2y的最小值是 A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图,四边形O'A'B'C'为平面四边形OABC用斜二测画法作出的直观图,其中O'A'=3, O'C'=1,B'C'=2,则四边形OABC的面积为 y C 号 B.5V2 4 C.5 5.已知参加某次数学竞赛的10名学生的成绩(单位:分)如下:71,86,76,80,96,81,84,83, 92,88,则以这10人成绩的第60百分位数为实部,第75百分位数为虚部的复数是 A.84+88i B.85+88i C.80+88i D.85+86i 6.已知a,B为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,则下列命题错误的是 A.若m∥a,n⊥a,则m⊥n B.若m⊥a,m⊥B,则a∥B C.若a⊥B,a∩B=m,nCa,n⊥m,则n⊥3 D.若m∥a,m∥B,则a∥A 第1页(共4页) 7.二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由n2 (n∈N )个黑白方块构成的n n二维码门禁,现用一款破译器对其进行安全性测试,已 知该破译器每秒能随机生成216个不重复的二维码,为确保一个二维码在1分钟内被破译 的概率不高于 5,则n的最小值为 A.5 B.6 C.7 D.8 -x2-2x十2,x≤0, 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)+5有8个不同 In zl,x>0, 的零点,则实数a的取值范围是 A252] 25, 层 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 Q.已知点2,2在幂函数f(x)=x 的图象上,则下列说法正确的是 A.函数f(x)是奇函数 B.函数f(x)是偶函数 cf4=号 D.函数f(x)是定义在定义域内的减函数 10.已知 ABC三条边的长度分别为连续的正整数n,n十1,n十2(n为正整数),且最小角 的余弦值为日则 A. ABC是锐角三角形 B. ABC的面积为￥5 C. ABC外接圆的半径为4西 15 D.若角C是最大的角,则c0s2C=-8 11.如图,圆锥PO1的轴截面为正三角形,底面圆O1的半径为√3,CD,EF为圆O1的两条 直径,且CD⊥EF,母线PC,PD与该圆锥的内切球O分别切于A,B两点,则 A.圆锥PO1的体积为3 B.球O与圆锥PO1的公共点的轨迹的周长为 C异面直线BF与PA所成的角为子 D.平面AEF截球O的截面面积为 第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为 “凹数”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹 数”的概率是 1 13.已知函数f(x)=ln(v4x+1-2.x)+2+1+2,若a,6∈R,a+6=2026,则f(6- 2027)+f(a+1)= 14.在边长为2√3的菱形ABCD中,∠BAD=60 ,沿对角线BD折成二面角A一BD-C 的大小为120 的四面体,则四面体的外接球的表面积为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C,a=2,a=26-S 'cos A cos C' (1)求角A; (2)若D是线段BC的中点,且AD=√2,求S ABC 16.(15分)已知函数f(x)=√3 sin wxcos wx十cos2wx(w>0)的图象的一个对称中心与其 相邻的一条对称轴之间的距离为平。 (1)求函数f(x)的图象的对称轴方程; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移5个单位长度后,再将得到的图象上所有点的横坐 标缩短到原来的)(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,当x∈ 、-12'3 时,求函数g (x)的值域. 17.(15分)在四棱锥S一ABCD中,平面SAB⊥平面ABCD,SA=SB=√6,底面ABCD 为菱形,AB=2,∠ABC=,E,F分别是SA,BC的中点. (1)求证:EF∥平面SCD; (2)求二面角S一CD一B的余弦值; (3)求点B到平面SCD的距离. E A 第3页(共4页) 18.(17分)小王、小李参加闯关游戏,该闯关游戏一共有两关,且第一关闯关成功与否均参 43 与第二关若小王、小李第一关闯关成功的概率分别为5,,第二关闯关成功的概率分 12 别为x,yy≥2),且两人在闯关过程中互不影响,两关之间互不影响. 2 (1)若小李第二关间关成功的概率y=了,求小李恰好有一关闯关成功的概率; 7 (2)若小王、小李各有一关闯关成功的概率为25小王、小李两关都闯关成功的概率为 ,求小王、小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率 3 19.(17分)如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=a,AC∩ BD=O,PA⊥底面ABCD (1)证明:平面PBD⊥平面PAC. (2)设平面PBC∩平面PAD=l,证明:BC∥l. (3)若PE=。ED,则在线段BC上是否存在点F,使得EF∥平面PAB?若存在点F, 则当a为何值时,直线EF与底面ABCD所成的角为45 . 第4页(共4页)