精品解析：河南省郑州市实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

河南省郑州市实验中学2024—2025 学年高一期末考试 数 学 试 卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的. 1. 若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（ ） A. 六棱柱 B. 五棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱台 2. 已知，，,则（ ） A B. C. D. 3. 已知，复数 在复平面内对应点位于第一象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，，，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 若复数是关于x的一元二次方程的一个根，则m＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 不透明袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则（ ） A. 这两个球颜色相同的概率大于颜色不同的概率 B. 至少有一个红球被取出的概率为 C. 这两个球上数字相同的概率为 D. 这两个球上的数字之积为偶数的概率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命 B. 调查某班学生的身高 C. 调查全国居民使用某款手机的情况 D. 调查飞机零部件的质量情况 10. 已知是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正四棱锥中，分别是中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据25，23，26，19，17，21，20的第40百分位数为______. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若 ，则在中，_________ 14. 在中，，，D是BC 的中点，E 是的内心，则_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地4万名中学生中随机选取1000人参加消防安全知识测试，将他们的得分（满分：100分）分组为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）在参加了消防安全知识测试，且得分在[40,50)和[80,90)内的中学生中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取50人，求抽取的得分在[40,50)内的学生人数； （3）若规定得分不低于70分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. 如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a 为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若a为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子 记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为b.设事件，事件，事件. （1）求事件C发生的概率； （2）判断事件A，B是否相互独立，并说明理由. 18. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 19. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州市实验中学2024—2025 学年高一期末考试 数 学 试 卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的. 1. 若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（ ） A. 六棱柱 B. 五棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱台 【答案】C 【解析】 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断即可. 【详解】对于A，六棱柱有18条棱，A不是； 对于B，五棱锥的10条棱，B不是； 对于C，四棱柱有12条棱，C是； 对于D，三棱台有9条棱，D不是. 故选：C 2. 已知，，,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【详解】由，，，得， 所以. 故选：B 3. 已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【详解】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以取值范围为． 故选：A． 4. 在 中，，，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即为钝角，进而即可得到答案． 【详解】由余弦定理得， 又在 中，，则为钝角， 所以为钝角三角形． 故选：C． 5. 若复数是关于x的一元二次方程的一个根，则m＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】也是的一个根，由韦达定理求出，. 【详解】由题意可得也是的一个根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故选：D 6. 如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解. 【详解】在中， E是的中点， 则. 故选：D. 7. 如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出塔尖C到飞行线路的距离即可. 【详解】作于，如图： 则，而，即， 解得，所以塔尖C距离地面. 故选：B 8. 不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则（ ） A. 这两个球颜色相同的概率大于颜色不同的概率 B. 至少有一个红球被取出的概率为 C. 这两个球上的数字相同的概率为 D. 这两个球上的数字之积为偶数的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】写出样本空间，列举法进行求解古典概型的概率. 详解】从袋子中随机取出两个球，样本空间{（红1,红2），（红1,黄1），（红1,黄2）， （红1,黄3），（红1,黄4），（红2,黄1），（红2,黄2），（红2,黄3），（红2,黄4）， （黄1,黄2），（黄1,黄3），（黄1,黄4），（黄2,黄3），（黄2,黄4），（黄3,黄4）}. A选项，样本空间共15种情况数，其中两个球颜色相同的情况有7种，颜色不同的有8种， 这两个球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为是，A不正确. B选项，至少有一个红球的情况有9种，故概率为是，B不正确. C选项，这两个球上的数字相同情况有2种，故概率为，C正确. D选项，这两个球上的数字之积为偶数的情况有12种，概率为，D不正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 调查某款新能源汽车电池的使用寿命 B. 调查某班学生的身高 C. 调查全国居民使用某款手机的情况 D. 调查飞机零部件的质量情况 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽样调查的定义直接判断即可. 【详解】选项A：调查某款新能源汽车电池的使用寿命， 测试电池使用寿命会对电池造成破坏， 且全面测试成本高、耗时久，适合抽样调查； 选项B：调查某班学生的身高，班级学生数量相对较少， 能够方便、准确地对每个学生进行身高测量， 适合全面调查（普查），不适合抽样调查； 选项C：调查全国居民使用某款手机的情况， 全国居民数量极其庞大，全面调查难度极大、成本过高，适合抽样调查； 选项D：调查飞机零部件的质量情况，飞机零部件质量关乎飞行安全， 必须进行全面、精确的检查，确保每个零部件都合格， 适合全面调查（普查），不适合抽样调查. 故选：AC. 10. 已知是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量、垂直关系的向量表示求出，南结合向量的模及数量积求解. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，，由，得，解得，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假. 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则. 设. 因为四点共面，所以. 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以. 又， 设内切球的半径为，则， 即. 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则. 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据25，23，26，19，17，21，20的第40百分位数为______. 【答案】20 【解析】 【分析】应用百分位数求法求数据的第40百分位数. 【详解】将这组数据从小到大排序为17，19，20，21，23，25，26， 因为，所以这组数据的第40百分位数为20. 故答案为：20 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若 ，则在中，_________ 【答案】 【解析】 【分析】由直观图根据斜二测规则结合边长计算求解即可. 【详解】由可知， ，， 由正弦定理得，所以， 在中，因为，所以. 故答案为：. 14. 在中，，，D是BC 的中点，E 是的内心，则_______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理可得，再利用数量积的运算律及余弦定理求解. 【详解】令的内角所对边分别为，延长交于，连接， 由E 是的内心，得分别平分， ，， 同理，即，令， 则，即， 因此，， 又，于是 ， 由余弦定理得， 则，所以. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地4万名中学生中随机选取1000人参加消防安全知识测试，将他们的得分（满分：100分）分组为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）在参加了消防安全知识测试，且得分在[40,50)和[80,90)内的中学生中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取50人，求抽取的得分在[40,50)内的学生人数； （3）若规定得分不低于70分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数. 【答案】（1）0.015； （2）20人； （3）16000人. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数值； （2）（3）根据直方图估计对应区间频率，进而估计人数即可； 【小问1详解】 由图得，解得. 【小问2详解】 参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在[40,50)内的频率为， 则学生人数为， 得分在[80,90)内的频率为10m＝0.15，则学生人数为1000×0.15＝150， 故抽取的得分在[40,50)内的学生人数为人. 【小问3详解】 参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于70分的频率为， 以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为人. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题干数据结合勾股定理可得，根据正方形可推出线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理证明； （2）先作出二面角的平面角，然后由题干条件求解. 【小问1详解】 设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是， 由，即，则，显然， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. 【小问2详解】 作垂足为，作，垂足为，连接， 平面平面，，平面，平面平面， 于是平面，由平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则，又， 则为平面与平面所成角， 由， 则 17. 如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a 为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若a为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子 记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为b.设事件，事件，事件. （1）求事件C发生的概率； （2）判断事件A，B是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1）； （2）不相互独立，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算求解 （2）利用独立事件概率乘积公式计算判断即可. 【小问1详解】 设第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上面上的数字为a，a 为奇数为事件D， 【小问2详解】 事件A，B不是相互独立； ， ， 因为，所以事件A，B不是相互独立； 18. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知 且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度K. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度 求 的值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）先设的面积为，三棱柱的高为，得到三棱柱的体积.①作，交于点，连接，求证平面平面得到为棱的中点，进而依次得三棱柱的体积、三棱锥的体积，从而得三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②求证得到，从而求出三棱锥的体积即可由重合度定义求解. （2）先设，进而求出三棱柱与三棱锥重合部分的体积，接着求出进而求出，从而求出三棱锥的体积，再由重合度定义列出关于的方程即可求解. 【小问1详解】 设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积. ①作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面， 因为，所以为棱的中点， 则三棱柱的体积，三棱锥的体积. 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 【小问2详解】 设，则，从而， 故三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. 因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 因为，所以，所以， 所以，解得或或. 因为，所以. 19. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且. （1）若，求面积； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合所给条件可得，即可由面积公式求解， （2）根据锐角三角形，结合余弦定理可得且，进而利用余弦定理以及对勾函数的性质求解， （3）根据三角形面积公式以及余弦定理可得，进一步得，即可结合角的范围求解. 【小问1详解】 ，则， 结合，故， 又，,故, 故面积为； 【小问2详解】 由于是锐角三角形，故，结合且， ， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增， 或 ，当且仅当时取等号， 故当时，， 故，因此， 由于，故 【小问3详解】 由于，其中为三角形的面积， 同理可得， 因此， 由于，故, 由于，所以， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $