1.4 相似三角形的判定 第3课时 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，课堂导入通过复习已学相似判定方法和平行截得、两角相等的旧知，结合全等三角形SAS定理类比猜想，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以定理猜想-证明-应用为主线，通过构造平行线证全等传递相似培养逻辑推理能力，结合共角、双垂直等典型图形识别提升几何直观，规范符号语言书写强化数学表达。如例5双垂直模型证明、课堂练习动态问题分层设计，助力学生提升综合解题能力，为教师提供系统教学流程与分层资源。

1.4相似三角形的判定第3课时 第一章 图形的相似 初中数学 1 学习目标 经历定理的猜想、证明与应用过程,提升逻辑推理、比例运算与几何语言表达能力。 02 理解并掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理,能准确区分夹角与对角,规范书写推理过程。 01 能识别共角、双垂直、含高型等典型图形,运用定理解决判定、证明与计算问题。 03 完善相似三角形判定知识体系,体会类比与转化思想,增强几何综合解题能力。 04 2 复习回顾 1.已学的两种相似三角形判定方法是什么？ 2.全等三角形中“两边一夹角”的判定定理是什么？ 1.平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似。 2.SAS(两边及其夹角分别相等)。 3 情景问题 不一定相似；需要附加“两边的夹角对应相等”这一条件。 探究问题:类比全等判定,猜想:两边成比例的两个三角形一定相似吗？需要附加什么角的条件才能确保相似？ 4 探究新知 探究一：相似三角形的判定定理2 由此猜测:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 从相似三角形的判定定理1的证明受到启发,如果能在中用平行于边的直线截得一个,使它与全等,则. 思考:如图,已知,然后作一个,使(常数).与相似吗？为什么？ 5 探究新知 探究一：相似三角形的判定定理2 *下面我们来证明上述猜测成立. 如图,在的边上取一点,使. 过点作,交于点. 因为, 所以, 从而. 6 探究新知 探究一：相似三角形的判定定理2 又,, 因此. 于是. 又, 所以. 因此. 我们将上述猜测称为相似三角形的判定定理2. 7 探究新知 方法总结： 1.证明思路:构造平行线→得相似三角形→证全等→传递相似关系。 2.核心结论:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3.关键辨析:必须是两组对应边的夹角相等,非对角不可用。 4.符号语言:. 8 探究新知 探究二：相似三角形的判定定理2的应用 证明:因为, 所以,,从而. 又, 因此(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 例4:在与中,已知, ,,如图所示.求证:. 9 探究新知 探究二：相似三角形的判定定理2的应用 证明:因为是边上的高, 所以. 又, 因此, 从而. 所以. 例5:如图,在中,是边上的高,且. 求证:. 10 探究新知 方法总结： 1.判定步骤:算比例→找夹角→判相等→证相似; 2.等角来源:公共角、直角、对顶角、平行线形成的等角; 3.解题流程:先证两边成比例,再证夹角相等,最后判定相似并利用性质计算; 4.易错警示:严禁使用“两边成比例+非夹角相等”判定相似. 11 课堂练习 1.下列条件中可以判定△ABC∽△A'B'C'的是( ) A. B., C., D. 2.如图,在中,,要使,需添加的条件是( ) A. B. C. D. C C 12 课堂练习 3.如图,中,分别是上的点,请你添加一个条件使:　 　. 或或 4.如图,点为边上一点,. 求证:. 13 课堂练习 证明:,, ,, 又, . 4.如图,点为边上一点,. 求证:. 14 课堂练习 5.如图,已知,那么添加下列一个条件后,不能判定的是( ) A. B. C. D. 6.如图,在钝角三角形中,,动点从点出发到点止,动点从点出发到点止.点运动的速度为/秒,点运动的速度为/秒.如果两点同时运动,那么当以点为顶点的三角形与相似时,运动的时间是( ) A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒 D A 15 课堂练习 7.如图,是的高,图中与相似的三角形是　 　. 8.已知,在中,,点在边上,点在边上,,=　 　　时,则与相似. 2或4或 △ABC 16 课堂练习 9.在中,,点沿边从向终点以的速度移动,同时点沿边从向终点以的速度移动,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,问点出发几秒后与相似. 17 课堂练习 解:设点出发秒后与相似, 则, 要使与相似,则有: ,,解得:, ,,解得:, 点出发秒或秒后与相似. 18 课堂练习 解:(1)四边形是正方形, ; 又是中点,; ,, , 又,; 10.如图,是正方形边上的一点,且,是的中点. (1)求证:. (2)试问:与有什么关系? 19 课堂练习 解:(2),且.理由如下: 由(1)知,,, 则,; ,, ,. 10.如图,是正方形边上的一点,且,是的中点. (1)求证:. (2)试问:与有什么关系? 20 课堂小结 知识点： 1.相似判定定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2.条件要求:两组对应边成比例,且夹角对应相等。 3.符号书写:规范书写比例式与等角条件,注明判定依据。 4.等角常见类型:公共角、直角、对顶角、平行线产生的等角。 5.判定步骤:计算对应边比值→确定夹角→证明角相等→判定相似。 6.易错点:两边成比例但角不是夹角,不能判定相似。 7.应用方向:用于三角形相似判定、边长计算、角度推导、几何证明。 知识梳理 21 课后提升 1.如图,在中,为上一点,在下列四个条件中,不能判定和相似的条件是( ) A. B. C. D. 2.如图,在△ABC中,D为AB上一点,若AC2＝AD·AB,则( ) A.△ADC∽△CBD B.△BDC∽△BCA C.△ADC∽△ACB D.无法判断 基础作业： D C 22 课后提升 3.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C＝∠F＝90°,下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( ) A.∠A＝55°,∠D＝35° B.AC＝9,BC＝12,DF＝6,EF＝8 C.AC＝3,BC＝4,DF＝6,DE＝8 D.AB＝10,AC＝8,DE＝15,EF＝9、 4.在中,分别是边上的点,如,,,,那么的值为____. 基础作业： C 23 课后提升 基础作业： 5.一个直角三角形的两条边分别为4和8,另一个直角三角形的两条边分别为3和6,那么这两个直角三角形_______(选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似. 6.已知:如图,在四边形中,, ,则的长为____. 不一定 24 课后提升 能力提升： 证明:, , , ,, . 7.如图,,,求证:. 25 课后提升 能力提升： 证明:, , , , 即, , . 8.如图,已知,. 求证:. 26 课后提升 提升作业： 9.如图,每个小网格均为正方形网格,带阴影部分的三角形中与△A1B1C1相似的是( ) 10.已知△ABC中,D,E分别在AB,AC上,下列条件中,能推断△ADE与△ABC相似的有( ) ；； ；,且. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B C 27 课后提升 11.如图,中,.将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) 12.如图,在中,,是上的点,且,连接,作于,点是上的动点,则当__________时,. 提升作业： C 5 28 课后提升 拓展作业： 解:(1)依题意补全图形如图所示: 13.如图,中,于点,于点,交于点,连接.(1)依题意补全图形. (2)与相似吗？说明理由. (2)与相似,理由如下: 于点,于点,, ,,, 又,,, ,. 29 课后提升 拓展作业： 证明:(1),, , , ,, . 14.如图,在中,,点在边上移动(点不与点重合),满足,且点分别在边上. (1)求证:. (2)连接,当点移动到的中点时,求证:平分. 30 课后提升 拓展作业： (2),, 点是的中点,, , , , , 平分. 31 📐 相似判定 · 边角边 SAS ⚡ 两边对应成比例  ·  夹角相等  ⇒  两三角形相似    拖动滑块 · 动态证明 比例 k 1.00 夹角 ∠A 62° △ABC (参照) △A'B'C' (目标) △A'B''C'' (辅助) 夹角相等 AB/A'B' = AC/A'C' = 1.000 ✧ 证明过程 已知 在 △ABC 和 △A'B'C' 中 AB / A'B' = AC / A'C' = k 且 ∠A = ∠A' (夹角相等) 构造 在 A'B' 上取点 B''，使 A'B'' = AB； 在 A'C' 上取点 C''，使 A'C'' = AC。 ∴ △A'B''C'' ≅ △ABC (SAS) 桥梁 △A'B''C'' 是 △A'B'C' 的 等比例缩放 (比例 1/k) ∴ △A'B''C'' ∽ △A'B'C' 结论 △ABC ≅ △A'B''C'' ∽ △A'B'C' ∴ △ABC ∽ △A'B'C' 📐 判定定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ✧ 紫色辅助三角形与蓝色△ABC全等，且是红色△A'B'C'的缩放 · 拖动滑块观察动态关系 $