1.4 第3课时 相似三角形的判定定理2（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

第3课时 【新知导学 >◆预习新知 同新知梳理 两边 且夹角 的 两个三角形相似， ☑例题引路 【例1】如图，D,E分别为AB,AC边上 的点，且AD=5,BD=3,AE=4,CE= 6.求证：△ADE∽△ACB. 【思路分析】已知三角形两组对应边的 长，且夹角相等，则可以根据“两边成比 例且夹角相等的两个三角形相似” 证明. 【学生解答】 知易错典例 【例2】在△ABC和△DEF中，∠A ∠E=120,2=B邵=日，则△ABC 与△DEF .（填“相似”或“不 相似”) 【易错剖析】利用两边成比例且夹角相 等判定三角形相似时要注意，所指的角 一定要是两边对应的夹角. 【学生解答】 13数学九年级上册(X) 相似三角形的判定定理2 基础过关 ◆··逐点击破 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1.如图，要使△ACD∽△ABC,则需添加的条件是( A部部 B部铝 C.AD-AC ,AC一AB D.AC-AD 2.如图，已知△ABC,则下列四个三角形中，与△ABC相 似的是 5 75° 3如图在△ABC中，若铝铝日则瓷的值为( A.9 B.3 C.4 D.6 B (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=8,BC=4.当BD= 时，△ACBP△CBD. 5.如图，在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，且 AD2=BD·CD,则∠C的度数是 6.(常德期中)如图，AB,CD相交于点O,已知OA=3, OD=4,OB=2,OC=1.5.求证：△AOD△COB. 【能力提升 >>~整合运用 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD OC OD 交于点0.若O品=8A则图中一定相似的 三角形是 A.△BOAP△BAD B.△BOAp△COD C.△BOC∽△BCD D.△COB∽△CBA 8.(涟源期末)已知在△ABC中，∠A=80°，AB= 8,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开， 剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是 9.如图，AD,BE是△ABC的两条高： (I)求证：CE·CA=CD·CB; (2若CE=5,CB=18,求指的值， 10.(桂林期中)如图，正方形ABCD的边长为 4,E为AD的中点，DF=子DC,连接EF 并延长，交BC的延长线于点G, (1)求证：△ABE∽△DEF; (2)求△CFG的面积. 口思维拓展 ◆◆强化素养 11.分类讨论新理念如图，在 钝角三角形ABC中，AB= 5cm,AC=10cm,动点 B D从点A出发到点B停止，动点E从点C 出发到点A停止，点D运动的速度为 1cm/s,点E运动的速度为2cm/s.若两点 同时出发，则经过 s后，以A,D,E 为顶点的三角形与△ABC相似， 第1章图形的相似14△ABC,(②解：由1得△ADBn△ABC是-铝即5=高AE=4, 6.B7.D8.17 9.证明：由尺规作图的痕迹得CD=CB,AD=CD.∴.∠DCA=∠A=36°.∴.∠CDB= ∠A+∠DCA=72°.：CD=CB,∴∠B=∠CDB=72°.∴.∠BCD=180°-∠B- ∠CDB=36°.∴.∠A=∠BCD.∠ABC=∠CBD,∴△ABC△CBD. 10.(1)证明：四边形ABCD为菱形，∴∠ACD=∠ACB.:∠ACD=∠ABE, ∴∠ACB=∠ABE.∠BAC=∠EAB,.△ABCn△AEB.(2)解：△ABC∽ △MEB26即是音AE-9.CE-AE-AC-5 11.(1)证明：，∠A=∠B=∠DPC=90°，∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP =90∠ADP=∠BPC△ADP△BPCa0-AD,BC=AP·BP (2)解：成立.理由如下：∠A=∠B=∠DPC=0,∴∠APD+∠BPC=180°-0， ∠APD+∠ADP=1S0-R∠ADP=∠BPC∴△ADPD△BPC.∴gP-AC ∴AD·BC=AP·BP. 第3课时相似三角形的判定定理2 新知导学 成比例相等 【例1】证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,∴.AB=AD十BD=8,AC=AE十CE= 10小铝=告=合是=品=合铝-是又：∠A=∠A,△ADB△ACB 【例2】不相似 1.C2.C3.B4.25.65° 6证明：光=品=2.8咒=告=2,82-8器又：∠A0D=∠c0B,△A00∞ △COB. 7.B8.C 9.(1)证明：，AD,BE是△ABC的两条高，∴.∠ADC=∠BEC=90°.又∠C=∠C, ∴△ACD△BCE器-器即CE·CA=CD.CB(2)懈：器-器需 器又：∠C=∠C,acDB△cAa器器-是 10.(1)证明：正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，.∠A=∠D=90°，AD= AB=D0=BC=4,AE=DE=专AD=2,DF=DC=1是-音=2,8器-是=2， :2架.：∠A=∠D=90,△ABE△DEF.(2)解：四边形ABCD为正方 形，ED/BG,△DEFO△CGR0器-8SDF=1,DE=2,CP=DC-DF=3, CG=DECP=6.∴ACrG的面积=CG·CF=9. DF 11.2.5或4 第4课时相似三角形的判定定理3 新知导学 成比例 【例1】证明：由图可知，AB=4,AC=√12十1=√2，BC=√32+1=√10，DE=8,DF -平7=22.-6+-2v瓜提-言言品-易器- 一4 票-0-祭-器DF.2C∠E 【例2】号em,号m或号cm,号cm或号cm,号cm 10 5 1.A2.c3.罗 15(2)128 4证明：AD-2BD,AE-2CE裙-号能-号又既-号小品-能- B器.△ABCAADE. 5解：8-S-铝△ABC△ADE∠BAC=∠DAE∠DAE-∠DAC =∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD=15°. 6.C7.C 8解：△AD0C△ADC.理曲知下：铝沿品-滑又：品=瓷 =滑器=瓷=0△ADCAADC 9,.(1)解：∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB,△BDCn△ABC÷8器-怨即罗- 2 是.CD=1.BD=VCD+BC=5.(2)证明：E,F分别是R△ABC,R1△BCD 斜边上的中点，∴CF=号BD,CE=号AB.“E,F分别是AB,BD的中点，EF= 名AD.品-器-器-△CEF∽△BAD, 10.解：(1)△ABC△DEF.理由如下：根据勾股定理，得AB=2√5，AC=√5，BC=5, Dg=4g.D=2E,EF-2而是-平架=器=平是-祭 =S∴△ABC△DER.(2)如图，△P,PR即为所求. 专题一相似三角形的五大基本模型【热点】 1.C2.4 3.(证法-)证明：DH∥BF,∴開-品，能-器又：AD是BC边上的中线， DnCH=PHcR提-荒号 CF. (证法二)证明：AD是BC边上的中线，BD=号BC.:DK∥AC,△BDK∽ △BcF,△DEKO△MEP0-祭景-是∴DK=cR,∴'-景 AF2AF CF 4.√2 5.(1)证明：DH∥AB,∴∠A=∠HDC.∠CBD=∠A,∴∠HDC=∠CBD.又 ∠H=∠H,∴.△HCDn△HDB.(2)解：2 -5 6.1：3 7.(1)证明：，'△ABC是等边三角形，.∠B=∠C=60°=∠DFE.,∠CFD=∠CFE +∠DFE=∠B+∠BDF,∴∠BDF=∠CFE.∴.△DBF∽△FCE.(2)解：DE⊥EF, .∠DEF=90°.∠DFE=60°，∠EDF=90°-∠DFE=30°.∴.DF=2EF.由(1)知 △DFAPCE.8器-2F=2BF=2CE=4 81)证明：△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，易得C-票-E,∠ACB ∠ECF=45°.∠ACE=∠BCF.∴.△CAE∽△CBF.(2)解：：'△CAE∽△CBF, ÷∠CAE-∠CBF,s-瓷-反.：AE=2品=EBF=E.又：∠CAE+ 2 ∠CBE=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°.∠EBF=9O°.∴在Rt△EBF中，EF= √BE+BF=√3..CF=EF=√5.∴.CE=√EF2+CF=√6. 1.5相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 新知导学 相似比相似比 【例I】B 【例2】解：，'AD:DB=4:3,.AD:AB=4:7.,DE∥BC,.△ADEc∽△ABC :Cr,EC分别是△ABC与△ADE对应边上的中线，器-铝即六=号CF- 7 cm. 1.A2.C3.D4.1:34.5 5.解：.∠CBD=∠A,∠C=∠C,.△BDC∽△ABC.E,F分别为AC,BC的中点， 小-E即音=品BE=48, 6.B7.√3-18.3：4 9.解：(1)·AC平分∠BAD,BC⊥AC,CD⊥AD,∴.∠BAC=∠CAD,∠BCA=∠CDA =90△ABC△AcD.六是-品即8-品AD=&(②)由(I)知△ABC☑ △ACD.,'DE⊥AC,CF⊥AB,即DE,CF分别为△ACD和△ABC的边AC,AB上的 商器-号 10.解：结论品=k成立.证明如下：△ABCn△AB'C,且△ABC与△ABC的相 似比为，∠BAC=∠BAC,∠C=∠C,8=点∠EAB=∠EA'g,AD. AD'分别是△ABC,△AB'C'的外角平分线，∠BAD=号∠BAE,∠BA'D'- 合∠BA'E.∠BAD=∠BA'D.∠DAC=∠DA'C.△DACn△DA'C. 品怨-® 第2课时相似三角形面积和周长的性质 新知导学 ①相似比的平方②相似比 【例1】D 【例2】(1)证明：∠B=∠ACD,∠A=∠A,∴.△ACDC∽△ABC.(2)解：：△ACDC∽ △ABc提-胎-号S-号c=4 —6