1.5.1 相似三角形的性质 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应高、中线、角平分线的性质，核心知识点为其比等于相似比。课堂导入通过知识回顾，先复习相似三角形判定方法，再提问三角形其他要素，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生思考相似三角形中对应线段的关系。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过证明高、角平分线、中线的比等于相似比培养推理意识，结合影子距离、正方形边长等实际问题渗透模型意识与应用意识。采用例题变式与课堂小结结合的教学方法，帮助学生系统掌握性质，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

湘教版版·九年级上册 1.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形对应高、中线、角平分线的性质 第一章 图形的相似 学 习 目 标 1 2 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点） 能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 知识回顾 问题1：相似三角形的判定方法有哪几种？ ① 定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似； ② 平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似； ③ 两角分别相等的两个三角形相似； ④ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑤ 三边成比例的两个三角形相似； 知识回顾 问题2：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素呢？ 思考：如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？ 高 中线 角平分线 周长 新知探究 知识要点 A C B D ∟ △ABC ∽ △A1B1C1 CD 和 C1D1 分别是它们的高，你知道 等于多少吗？ D1 A1 C1 B1 ∟ 新知探究 知识要点 探究一：相似三角形对应线段的比 A B H C A' B' C' H' 问题1：如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高，那么 = 吗？ 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′. 又∠AHB=∠A′H′B′=90°， ∴△ABH∽△A′B′H′. ∴= ． 新知探究 知识要点 问题2：如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT， A′ T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线=吗？ 解：∵ △ABC∽△A′B′C′ ，∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′. 又 AT， A′T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线， ∴ ∠BAT=∠BAC=∠B′A′C′=∠B′A′T′， ∴ △ABT∽△A′B′T′， ∴ = . 新知探究 知识要点 问题3：已知△ABC∽△A′B′C′ ，若AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线，则 = 成立吗？ 解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴ = = , ∠B=∠B′. ∵ AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线， ∴BD=BC， B′D′=B′C′，∴ = = = . 又∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′. ∴ = ． 问题4：通过以上几个问题，能得到什么结论呢？小组交流讨论一下. 新知探究 知识要点 方法总结： 相似三角形对应线段的比 1.相似三角形对应高的比等于相似比. 2.相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 3.相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 知识要点 典例分析 如图，过点 C 作 CD⊥PQ，垂足为点 D.设 CD 交 AB 的延长线于点 E， 例1 如图，AB∥PQ，AB = 100，PQ = 120. 点 P，A，C 在一条直线上，点 Q，B，C 也在一条直线上. 若 AB 与 PQ 的距离是 40，求点 C 到直线 PQ 的距离. A B C D E P Q 解 因为AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ. 因此 CE⊥AB，DE = 40. 知识要点 又 AB = 100，PQ = 120，DE = 40， 因此 CD = 240. 即点 C 到直线 PQ 的距离是 240 . A B C D E P Q 由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得， 于是 典例分析 典例分析 其他性质 1. △ABC ∽ △A1B1C1，AD 和 A1D1 是 BC 和 B1C1 边上的高，已知 AB = 8 cm，A1B1 = 3 cm ，则 △ABC 与 △A1B1C1 的对应高之比为 . 8 : 3 练一练 2.如图、电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB = 2 m，CD = 4 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则 P 到 AB 的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 典例分析 其他性质 例2 两个相似三角形的对应边的高分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条中线与两条角平分线的和为70cm，中线和与角平分线和为2:3.这两条对应中线的长分别是多少？ 解：设较长的中线长为x cm， ∵中线和+角平分线和=70cm，中线和:角平分线和=2:3， ∴中线和为28cm, ∴较短的中线长为(28-x)cm, ∵两个三角形相似， 解得x=16,则28-x=12， 答：这两条对应中线长分别为12cm、16cm. 典例分析 其他性质 3. 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6 cm 和 8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为 42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为 x cm， 则由相似性质有 解得 x＝18. 较长的角平分线长为 24 cm. 故这两条角平分线的长分别为 18 cm，24 cm. 练一练 其他性质 典例分析 例2 如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. (1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？ (2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？ (3) 求正方形 PQRS 的边长. S R Q P E D C B A 其他性质 典例分析 解： AE 是 △ASR 的高. 理由： ∵AD 是 △ABC 的高， ∴ ∠ADC = 90°. ∵四边形 PQRS 是正方形， ∴SR∥BC. ∴∠AER =∠ADC = 90°. ∴ AE 是 △ASR 的高. S R Q P E D C B A (1) AE 是 △ASR 的高吗？为什么？ 其他性质 典例分析 解：△ASR 与 △ABC 相似. 理由： ∵ SR∥BC， ∴ ∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴ △ASR 与 △ABC 相似. (2) △ASR 与 △ABC 相似吗？为什么？ S R Q P E D C B A 其他性质 典例分析 是方程思想哦！ 解：∵ △ASR ∽ △ABC，AE、AD 分别是 △ASR 和 △ABC 对应边上的高， ∴ . 设 PQ = x cm， 则 SR = DE = x cm，AE = (40 - x) cm . ∴ . 解得 x = 24. ∴正方形 PQRS 的边长为 24 cm. S R Q P E D C B A (3) 求正方形 PQRS 的边长. BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形. 其他性质 典例分析 变式：如图，AD 是 △ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC = 5 cm，AD = 10 cm，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，你能求出这个矩形的面积吗？ S R Q P E D C B A 其他性质 典例分析 如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm. 设 SP = x cm，则 SR = 2x cm. 得到 . 所以 x = 2， 2x = 4 . S矩形PQRS = 2×4 = 8 cm2 . 分析： 情况一：SR = 2SP S R Q P E D C B A 其他性质 典例分析 S R Q P E D C B A 设 SR = x cm，则 SP = 2x cm. 得到 . 所以 x = 2.5， 2x = 5. S矩形PQRS = 2.5×5 = 12.5 cm2 . 原来是分类思想呀！ 分析：情况二：SP = 2SR 如图，AD 是 △ABC 的高，BC = 5 cm，AD = 10 cm. 课堂练习 1.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是( ) A.2∶3 B.4∶9 C.16∶81 D.∶ A 2. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm. 6 课堂练习 4. 两个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为____ . 3. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______. 2 : 3 课堂练习 5.已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. 解：∵ △ABC∽△DEF ， ∴ = = =2, ∴DN= = =3. 课堂小结 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 拓展提升 1.如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E.当SR=BC时，求 DE 的长.如果SR=BC呢？ 　 ∴△ASR∽△ABC， 解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD， ∴ SR∥BC. ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. B A E R C D S 当 时，得 解得 当 时，得 解得 拓展提升 选做题：2. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为1.5 m，面积为 1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留） F A B C D E （1） F G B A C E D （2） 相信自己是最棒的！ 拓展提升 2. AD 是 △ABC 的高，BC = 60 cm，AD = 40 cm，求图中小正方形的边长. 感谢聆听! $