2.2.1直接开平方法与配方法(1)-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法，核心知识点为适用x²=p和(mx+n)²=p(p≥0)形式的方程求解，原理基于平方根意义。通过梯子滑动问题导入，从平方根概念过渡到直接开平方法，为后续配方法学习搭建支架。 其亮点是问题驱动与分层训练结合，以梯子滑动实例培养模型意识，通过选择、填空、解答题分层提升运算能力和推理意识。小结结构化梳理方法步骤，帮助学生形成知识体系，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 2.2.1直接开平方法与配方法(1) 第二章 一元二次方程 北师大版九年级上册2.2.1 直接开平方法与配方法（1）练习题 2.2.1 直接开平方法与配方法（第1课时）同步练习题 知识点核心：本节课重点学习直接开平方法解一元二次方程。适用形式：$$x^2=p$$、$$(mx+n)^2=p(p\geq0)$$。核心原理：若一个数的平方等于非负数，则这个数等于该数的正负平方根。当$$p>0$$时，方程有两个不相等的实数根；$$p=0$$时有两个相等实数根；$$p\lt0$$时无实数根。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 方程$$x^2=9$$的解是（） A. x=3 B. x=-3 C. x=±3 D. 无解 2. 方程$$(x-1)^2=0$$的根的情况是（） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实根 D. 无数个根 3. 下列方程适合用直接开平方法求解的是（） A. $$x^2+2x=0$$ B. $$(x+2)^2=5$$ C. $$x^2-3x+2=0$$ D. $$x^2+4x=1$$ 4. 方程$$(x+2)^2=-4$$的解为（） A. x=0 B. x=-4 C. x=0或-4 D. 无实数根 5. 方程$$2x^2-8=0$$的解是（） A. x=2 B. x=-2 C. x=±2 D. x=±4 6. 若$$(x-a)^2=b$$有实数根，则b的取值范围是（） A. $$b\geq0$$ B. $$b\leq0$$ C. $$b\gt0$$ D. $$b\lt0$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 方程$$x^2=16$$的解是________。 2. 方程$$(x-3)^2=4$$，开方得$$x-3=$$________。 3. 方程$$x^2=-5$$________实数根（填“有”或“无”）。 4. 方程$$(x+1)^2=0$$的根为________。 5. 解方程$$3x^2-27=0$$，化简得$$x^2=$$________。 三、解答与计算题（共56分） 1. （12分）用直接开平方法解下列方程： （1）$$x^2=25$$ （2）$$x^2-121=0$$ 2. （14分）用直接开平方法解下列方程： （1）$$(x-2)^2=9$$ （2）$$(x+3)^2=16$$ 3. （14分）用直接开平方法解下列方程： （1）$$2x^2-8=0$$ （2）$$3(x-1)^2=27$$ 4. （16分）解方程$$4(x+1)^2-36=0$$，并判断根的类型。 四、拓展应用题（附加10分） 已知正方形面积为$$(x-2)^2=49$$，求正方形的边长。 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 二、填空题 1.$$x=\pm4$$ 2.$$\pm2$$ 3.无 4.$$x_1=x_2=-1$$ 5.9 三、解答题详细解析 1. 解：（1）$$x^2=25$$，开方得$$x=\pm5$$，即$$x_1=5，x_2=-5$$； （2）$$x^2=121$$，开方得$$x=\pm11$$，即$$x_1=11，x_2=-11$$。 2. 解：（1）开方得$$x-2=\pm3$$， $$x_1=5，x_2=-1$$； （2）开方得$$x+3=\pm4$$， $$x_1=1，x_2=-7$$。 3. 解：（1）移项化简：$$2x^2=8，x^2=4$$，得$$x=\pm2$$； （2）化简：$$(x-1)^2=9$$，开方得$$x-1=\pm3$$，$$x_1=4，x_2=-2$$。 4. 解：移项得$$4(x+1)^2=36$$，化简得$$(x+1)^2=9$$， 开方得$$x+1=\pm3$$，解得$$x_1=2，x_2=-4$$，方程有两个不相等的实数根。 拓展应用题答案 解：由题意得$$(x-2)^2=49$$，开方得$$x-2=\pm7$$， 解得$$x_1=9，x_2=-5$$。边长为正数，故正方形边长为9。 课时知识点总结 直接开平方法解题步骤：先将方程化为完全平方等于非负数的标准形式，再两边同时开平方，得到两个一元一次方程，最后求解。核心易错点：开平方必须带正负号、负数不能开平方无实数根、实际问题需舍去负数解。本节课是配方法的基础，熟练掌握整体开平思想是后续解方程的关键。 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动 x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 思考：通过估算可以求出x的近似值，你能设法求出它的精确值吗? 2 问题 (1)你能解哪些特殊的一元二次方程? x²=4， (x+1)²=9等。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程x²=5，可根据平方根的意义求解， 得x1=，x2=-； 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程2x²+3=5，可化为x²=1， 根据平方根的意义求解， 得x1=1，x2=-1； 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 可以先将方程变形为 x2=a 的形式后再开平方。 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程x²+2x+1=5可化为(x+1)²=5， 由平方根的意义知，x+1=±， 所以x1=-1+，x2=-1-。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 直接开平方法解一元二次方程： 1.对于方程x²=n，当n≥0时，它可以转化为x=±， 所以x1=，x2=-。 2.对于方程(x+m)²=n，当n≥0时，它可以转化为x+m=±， 所以x1=-m，x2=--m。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 注意： 1.直接开平方法只适用于能转化为x²=n或(x+m)²=n(n≥0)的形式的方程。 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当n为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况。 解方程：(x+1)²-4=0。 解：移项，得(x+1)²=4。 两边开平方，得x+1=±2， 即x+1=2，或x+1=-2， 所以x1=1，x2=-3。 例1 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题 (3)你能解方程x²+12x-15=0吗?你遇到的困难是什么? 等式的左边不是完全平方式的形式，不能用直接开平方法求解。 联想(2)中解方程的过程，能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗? 知识点2 用配方法解一元二次方程 将方程转化为(x+m)²=n (n≥0)的形式 即 x²+12x+()²-()²-15=0。 所以 x²+12x+36-51=0， 所以 (x+6)²=51。 问题 (3)你能解方程x²+12x-15=0吗? 我们可以将方程x²+12x-15=0转化为 (x+6)²=。 两边开平方，得 x+6=±。 因此我们说方程x²+12x-15=0有两个根， x1=-6，x2=--6。 x2的值不符合要求，因为实际问题中梯子底端滑动的距离不可能是负值。 知识点2 用配方法解一元二次方程 x1，x2都符合原问题的要求吗？ 知识点2 用配方法解一元二次方程 思路：将方程转化为(x+m)²=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根。 填上适当的数，使下列等式成立： x²+12x+ =(x+6)²； x²-4x+ =(x- )² ； x²+8x+ =(x+ )²。 观察三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢? 知识点2 用配方法解一元二次方程 36 4 16 2 4 常数项是一次项系数一半的平方。 配方的方法： 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方。 知识点2 用配方法解一元二次方程 x2+ax+( )2=(x+ )2 解方程：x²+8x-9=0。 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x²+8x=9。 两边都加一次项系数8的一半的平方，得 x²+8x+()²=9+()²， 即 (x+4)²=25。 两边开平方，得 x+4=±5， 即 x+4=5，或x+4=-5。 所以 x1=1，x2=-9。 例2 知识点2 用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 知识点2 用配方法解一元二次方程 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 1. 用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的是 (　A　) A. x2＋3＝0 B. －2x2＝0 C. x2－4＝0 D. (x－2)2＝0 A 随堂练习 2. 一元二次方程x2＋4x＋5＝0配方后得(x＋ )2 ＝ ，由于方程右边是 数，因此该方 程 实数根. 2　 －1　 负　 无　 随堂练习 3. 用直接开平方法解下列方程： (1)25(x－3)2－9＝0； 解：方程整理得(　 　)2＝ ⁠. 开平方得 　x－3＝ 　，或 　x－3＝－ 　. 解得x1＝ 　 　，x2＝ 　 　. x－3　 　 x－3＝ 　 x－3＝－ 　 　 　 书写通关 随堂练习 (2)(2y－3)2＝16； 解：y1＝ ，y2＝－ . (3)t2＋4t＋4＝－2. 解：无实数解. 解：y1＝ ，y2＝－ . 解：无实数解. 3. 用直接开平方法解下列方程： 随堂练习 4. 用配方法解下列方程： (1)x2＋6x－7＝0； 解：x1＝1，x2＝－7. (2)x2－5x＋5＝0. 解：x1＝ ，x2＝ . 解：x1＝1，x2＝－7. 解：x1＝ ，x2＝ . 随堂练习 知识点1 直接开平方法 1.方程 的解是( ) C A. B. C.， D.， 返回 中考考法 23 2.一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一 元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 24 3.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 25 4. 解方程： 。 解：直接开平方，得____________。 即__________，或____________。 解得___, ____。 6 返回 中考考法 26 5.用直接开平方法解下列方程： （1） ； 解：移项，得 ， 系数化为1，得 , 直接开平方，得， 。 （2） ; 解：开平方，得 。 解得, 。 中考考法 27 （3） 。 解：移项，得 。 整理，得 。 开平方，得 。 解得, 。 返回 中考考法 28 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 适用范围： x²=n或(x+m)²=n(n≥0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 课堂小结 $