2.2.3用公式法解一元二次方程-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用公式法解一元二次方程”，核心为求根公式推导及根的判别式应用。通过回顾配方法引导学生推导公式，衔接已有知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以推导过程培养推理意识，步骤表格化（一化二定三算四解）强化数学语言表达，练习题分层设计。助力学生发展运算能力与应用意识，教师可高效开展系统性教学。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 2.2.3用公式法解一元二次方程 第二章 一元二次方程 北师大版九年级上册2.2.3 用公式法解一元二次方程 练习题 2.2.3 用公式法解一元二次方程 同步练习题 知识点核心：对于一元二次方程一般形式$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，推导得出求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$。其中$$\Delta=b^2-4ac$$为根的判别式，$$\Delta>0$$有两个不相等实数根，$$\Delta=0$$有两个相等实数根，$$\Delta<0$$无实数根。公式法适用于所有一元二次方程，是通用解方程方法。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$的求根公式是（） A. $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ B. $$x=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ C. $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$$ D. $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{a}$$ 2. 方程$$x^2-3x+2=0$$中，a、b、c的值分别是（） A. 1、-3、2 B. 1、3、2 C. -1、-3、2 D. 1、-3、-2 3. 一元二次方程$$2x^2+3x-1=0$$的根的判别式Δ为（） A. 1 B. 17 C. -1 D. 13 4. 若一元二次方程Δ=0，则方程根的情况是（） A. 两个不相等实数根 B. 两个相等实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 下列方程中，无实数根的是（） A. $$x^2-2x-1=0$$ B. $$x^2+2x+1=0$$ C. $$x^2+x+1=0$$ D. $$2x^2-3x=0$$ 6. 用公式法解方程的首要步骤是（） A. 代入公式 B. 计算判别式 C. 化为一般形式 D. 移项 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 根的判别式公式Δ=________。 2. 当Δ________0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 3. 方程$$3x^2-2x-5=0$$中，a=________，c=________。 4. 方程$$x^2-4x+4=0$$的判别式Δ=________，方程有两个相等实数根。 5. 公式法解一元二次方程的前提是方程为________形式且$$a eq0$$。 三、解答与计算题（共56分） 1. （12分）先计算判别式，判断下列方程根的情况： （1）$$x^2-5x+6=0$$ （2）$$2x^2+2x+1=0$$ 2. （14分）用公式法解方程：$$x^2-2x-3=0$$ 3. （14分）用公式法解方程：$$2x^2-7x+3=0$$ 4. （16分）用公式法解方程：$$3x^2+2x-1=0$$ 四、拓展应用题（附加10分） 已知一元二次方程$$x^2+(m-2)x+m+1=0$$有两个相等实数根，求m的值。 参考答案 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 二、填空题 1.$$b^2-4ac$$ 2.> 3.3、-5 4.0 5.一般 三、解答题详细解析 1. 解：（1）$$\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1>0$$，方程有两个不相等实数根； （2）$$\Delta=2^2-4\times2\times1=4-8=-4<0$$，方程无实数根。 2. 解：$$a=1，b=-2，c=-3$$， $$\Delta=4+12=16>0$$， $$x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}$$， 解得$$x_1=3，x_2=-1$$。 3. 解：$$a=2，b=-7，c=3$$， $$\Delta=49-24=25>0$$， $$x=\frac{7\pm5}{4}$$， 解得$$x_1=3，x_2=\frac{1}{2}$$。 4. 解：$$a=3，b=2，c=-1$$， $$\Delta=4+12=16>0$$， $$x=\frac{-2\pm4}{6}$$， 解得$$x_1=\frac{1}{3}，x_2=-1$$。 拓展应用题答案 解：方程有两个相等实数根，则$$\Delta=0$$。 $$\Delta=(m-2)^2-4\times1\times(m+1)=m^2-4m+4-4m-4=m^2-8m$$， 令$$m^2-8m=0$$，解得$$m_1=0，m_2=8$$。 课时知识点总结 公式法解题步骤：一化（化为一般形式）、二定（确定a、b、c的值）、三算（计算判别式Δ）、四代（代入求根公式）、五解（求出方程的根）。核心易错点：注意a、b、c的符号，判别式优先判断根的情况，负数不可开平方无实数根。公式法通用性强，可解决所有一元二次方程，是本章解方程的核心方法。 你能用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)吗? 因为二次项系数a≠0，所以方程两边都除以a， 得 x²+x+=0。 配方，得 x²+x+()² - ()²+=0， ()² - =0。 移项，得 ()²=。 知识点1 用公式法解一元二次方程 接下来能用直接开平方解吗？ 你能用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)吗? 因为a≠0，所以4a²>0。当b²-4ac≥0时， 是一个非负数， 此时两边开平方，得 =±， 即 =±， =。 知识点1 用公式法解一元二次方程 一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0时，它的根是 =。 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 知识点1 用公式法解一元二次方程 解方程： (1)x²-7x-18=0； (2)4x²+1=4x。 解：(1)这里a=1，b=-7，c=-18。 因为 b²-4ac=(-7)²-4×1×(-18)=121>0， 所以 x= = 即x1=9，x2=-2。 例1 知识点1 用公式法解一元二次方程 解方程： (1)x²-7x-18=0； (2)4x²+1=4x。 解：(2)将原方程化成一般形式，得 4x²-4x+1=0。 这里a=4，b=-4，c=1。 因为b²-4ac=(-4)²-4×4×1=0， 所以 x= = 即 x1=x2=。 例1 知识点1 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 示例(2x²+x=2) 一化 二定   三算 四解   b²-4ac=1²-4×2×(-2)= 17>0。 a=2，b=1，c=-2。 2x²+x-2=0。 x=，即x1=，x2= 将一元二次方程化为ax²+bx+c=0。 计算b²-4ac的值。 确定a，b，c的值。 若b²-4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。 知识点1 用公式法解一元二次方程 跟踪训练 一元二次方程x2－px＋q＝0(p2－4q>0)的两个根是( ) A. B. C. D. 知识点1 用公式法解一元二次方程 A 思考 你能解一元二次方程x²-2x+3=0吗? 这里的a=1，b=-2，c=3。 因为b²-4ac=(-2)²-4×1×3=-8<0， 所以原方程没有实数根。 知识点1 用公式法解一元二次方程 思考 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac<0时，它的根的情况是怎样的? 方程没有实数根。 知识点1 用公式法解一元二次方程 对于一元二次方程ax²+bx+c=0， 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b²-4ac<0时，方程没有实数根。 由此可知，一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况可由b²-4ac来判定。 我们把b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示（即 Δ=b2-4ac）。 知识点1 用公式法解一元二次方程 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A.x²+1=0 B.x²-2x+1=0 C.x²+x+1=0 D.x²+x=1 解析：选项A，这里a=1，b=0，c=1，故Δ =b²-4ac=0²-4×1×1=-4<0， 所以该方程无实数根； 选项B，这里a=1，b=-2，c=1，故Δ =b²-4ac=(-2)²-4×1×1=0， 所以该方程有两个相等的实数根； 选项C，这里a=1，b=1，c=1，故Δ =b²-4ac=1²-4×1×1=-3<0， 所以该方程无实数根； 选项D，移项，得x²+x-1=0，这里a=1，b=1，c=-1，故Δ =b²-4ac=1²-4×1×(-1)=5>0，所以该方程有两个不相等的实数根。 例2 知识点1 用公式法解一元二次方程 D 1. 一元二次方程x2－5x＋4＝0根的判别式的值是 (　C　) A. 21 B. 16 C. 9 D. 1 C 随堂练习 2. 一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是 (　B　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 B 随堂练习 3. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是 (　D　) A. 2x2－6x＋1＝0 B. 3x2－x－5＝0 C. x2＋x＝0 D. x2－4x＋4＝0 4. 若方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 ⁠. D k＜4　 随堂练习 5. 用公式法解下列方程： (1)x2－5x－6＝0； 解：a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. ∵Δ＝ ＞0， ∴x＝ ⁠. 即x1＝ ，x2＝ ⁠. 1　 －5　 －6　 (－5)2－4×1×(－6)＝49　 　 6　 －1　 书写通关 随堂练习 (2)x2－3 x＋4＝0； 解：x1＝2 ，x2＝ . (3)16x2＋8x＝3； 易错通关：先化为一般式，再确定a， b，c的值，注意其符号. 解：x1＝ ，x2＝－ . (4)4x(x－1)＝－3. 解：无实数根. 解：x1＝2 ，x2＝ . 解：x1＝ ，x2＝－ . 解：无实数根. 5. 用公式法解下列方程： 随堂练习 知识点1 一元二次方程的求根公式 1.在用求根公式解方程时，，， 的值分别是( ) C A.3，， B.，，3 C.，3， D.，3， 返回 中考考法 18 2. 中国古代数学家赵爽在对《周髀算经》作注解时，写的一 篇《勾股圆方图注》中用到了求根公式。若一个方程用求根公式求得 ，则这个一元二次方程可以是( ) D A.B. C.D. 返回 中考考法 19 知识点2 用公式法解一元二次方程 3. 嘉嘉同学解一元二次方程 的过程如下。 解：这是，， ，① 因为 ，② 所以 ，③ 所以， 。④ 中考考法 20 （1）嘉嘉解方程的方法是________；他的求解过程从第____步开始出 现错误。 公式法 ① （2）请你写出这个方程正确的解题步骤。 解：这里，， ， 因为 ， 所以 ， 所以， 。 返回 中考考法 21 4.用公式法解下列方程： （1） ; 解：，， ， 。 。 ， 。 中考考法 22 一元二次方程的解法 根的判别式Δ=b²-4ac Δ>0，方程有两个不相等的实数根 Δ=0，方程有两个相等的实数根 Δ<0，方程没有实数根 公式法 = 课堂小结 $