精品解析：新疆塔城地区第一高级中学2025-2026学年高一下学期月考二数学试题

塔地一高2025-2026学年第二学期高一数学月考二 高一数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】复数的虚部为 . 2. 在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，，所以. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，解得：. 4. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直观图还原，求出底和高即可得到结果. 【详解】将直观图还原得平行四边形，设高为，如下图， 因为，由勾股定理得：,故原图形中, 所以，，所以平面四边形的面积为． 故选：B． 5. 已知是不重合的直线，是不重合的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及面面平行的性质定理，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，若，则或，所以A错误； 对于B，当时，若，则或或与相交，故B错误； 对于C，根据面面垂直判定定理，可得C正确； 对于D，当时，若，则或与相交，故D错误. 故选：C. 6. 早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，再结合，计算得出，结合向量的坐标运算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系. ， 设， ，解得. 设，则， ，解得. 7. 将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方，得到一个圆柱，再根据圆柱的体积公式求解即可. 【详解】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方， 得到一个底面圆的半径为，高为的圆柱， 所以所求几何体的体积. 8. 在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一,根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值; 方法二, 根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值. 【详解】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） A. B. 的实部是4 C. 的共轭复数 D. 在复平面上对应点在第二象限 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，，A正确； 选项B，的实部是，是虚部，B错误； 选项C，的共轭复数，C错误； 选项D，复平面中，对应点为，横坐标负、纵坐标正，对应点在第二象限，D正确. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，，且有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由大边对大角与余弦函数的单调性可得；在锐角中，得到与正弦定理即可判断C的正误；根据题意，可得，求出b的范围，可判断D的正误； 【详解】选项A，因为，即， 所以有整理可得，所以， 故为等腰三角形，故A正确； 选项B，由大边对大角，，由余弦函数在上单调递减， 故，故B错误； 选项C：若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故C正确； 选项D：因为，，如图，因为有两解，所以， ，解得，故D正确； 11. 如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若为线段中点，则与垂直 D. 平面截长方体的外接球所得截面面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：根据线线平行可证线面平行，即可判断A选项；B选项：根据线面平行可得体积为定值，并求值；C选项：根据线面垂直可得线线垂直；D选项：易知外接球球心到平面的距离为点到平面距离的一半，再利用等体积转化法可得解. 【详解】A选项：连接，， 由已知为长方体，则，，即， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又平面， 平面，A选项正确； B选项： 由，且平面，平面， 平面， 点在上， ， 又， ，B选项错误； C选项： 当为中点时，， ，即， ，即， 则， 由长方体可知平面，且平面， 所以， 又，，平面， 平面， 平面，，C选项正确； D选项：由长方体性质可知长方体的外接球球心为其体对角线中点， 则， 设点到平面的距离为， 则点到平面的距离为， 在三棱锥中，，， 即， 又，即， 解得， 则平面被长方体外接球所截小圆半径， 其面积为，D选项正确. 三．填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆台上、下底面半径分别为，母线长， 可得圆台的高， 所以． 13. 在中，角的对边分别是，已知，则__________． 【答案】##0.875 【解析】 【详解】由余弦定理得. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 四．解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 已知向量． （1）求： （2）求与的夹角大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 设两向量夹角为，，， ， 因此，结合的范围得. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【小问1详解】 在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． 【小问2详解】 由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，求边长和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解． 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 18. 如图，在正三棱柱中，为的中点，. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【小问1详解】 在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. 【小问3详解】 由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用正余弦定理余弦定理边角互化解三角形即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由P为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理，， 则，则， 因为，所以； 【小问2详解】 由为锐角三角形，， 可得，解得， 由正弦定理，则， ，，， ； 【小问3详解】 由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，，则，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塔地一高2025-2026学年第二学期高一数学月考二 高一数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 5. 已知是不重合的直线，是不重合的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 6. 早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（ ） A. B. C. D. 7. 将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ） A. B. 的实部是4 C. 的共轭复数 D. 在复平面上对应点在第二象限 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，，且有两解，则b的取值范围是 11. 如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若为线段中点，则与垂直 D. 平面截长方体的外接球所得截面面积是 三．填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为___________． 13. 在中，角的对边分别是，已知，则__________． 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 四．解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 已知向量． （1）求： （2）求与的夹角大小． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，求边长和的面积. 18. 如图，在正三棱柱中，为的中点，. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $