第一章一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学一元二次方程，覆盖根的概念、解法、应用等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|根的概念、配方、韦达定理|结合直播购物（第4题）考查模型意识| |填空题|6题|根与系数关系、概率应用|骰子概率（第16题）体现数学眼光| |解答题|8题|解法、实际应用、新定义|“美丽方程”（第23题）培养推理能力，几何与代数综合（第24题）发展空间观念|

第一章一元二次方程单元测试卷 一、单选题 1.若关于*的一元二次方程k+2小r+3x+k2-4= 的一个根为0，则的值为(). A.-2 B.2 C.2或-2 D.-1或2 2.若一元二次方程-6r+n=0 x-m)2=2 配方得到 则m,”的值分别为() A.m=3,n=7 B.m=3,n=11 C.m=-3,n=10 D.m=2,n=11 3.将一元二次方程2r-12x-18=0化成 (x+a)=b a,b ( 为常数)的形式，则，b的值 分别是() A.3,9 B.-3,18 C.6,9 D.-6,-18 4.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播 销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件：若销售单价每涨2元， 月销售量就减少10件.若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售 单价应定为x元，可列方程为() A.-400-20x0-900 B.(x-40)[500-2(x-50)×10]=9000 c.(650-40-50-7x10=900 D.(50-40-x)(500-10×2x)=9000 5.已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2-14x+48=0的一个根，则此三 角形的周长为() A.13 B.14 C.15 D.13或15 6.为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转 发集赞活动.已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人 所集赞数量中的较小偶数是() A.24 B.26 C.28 D.30 试卷第1页，共3页 7.若关于x的一元二次方程m+n=0的一个根为1，则方程m(x+3+n=0 的根是 () A.-1或1 B.-1或-2 C.-2或-4 D.1或4 8,已知5、是一元二次方程3x+2x-6=0的两根，则气+13+1)的值是（) 8 A.-3 c.3 4 D.3 9.系嘉在解关于x的一元=次方程+r+3=0(a+0)时，不小心将-次现系数写成了 -b,解出其中一个根是=1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是-1： 乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根. 则下列判断正确的是() A.甲对，乙错B.甲错，乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 10.若实数“，b(a≠b) 满足a-2a-2=0,b-2b-2=0,则（) A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a2+2b<0 二、填空题 11.一元二次方程x2-4x-2=0的两根为a,b,则a2-4a+ab的值为一. 12.若关于x的一元二次方程a2+bx+2=0(a≠0)有一个实数根为x=2026,则一元二 次方程(-1旷+c-b+2=0必有一个实数根为 11 13.已知a2+5a+3=0:6+5b+3=0,且a≠b:则后+方— 14.已知一元二次方程 (x+m=na40)的两根分别为3、1，则一元二次方程 ax+m-2-n=0(a≠0)的两根分别为 试卷第2页，共3页 15.己知直角△ABC两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两根，则△ABC的周长为 16.同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1~6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将 红色骰子正面朝上的编号作为方程x2+mx+n=0的一次项系数m的值，绿色骰子正面朝上 的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 2 3 4 5 6 x2+x+1=0 x2+2x+1=0 x2+3x+1=0 x2+4x+1=0 x2+5x+1=0 x2+6x+1=0 2 x2+x+2=dx2+2x+2=d x2+3x+2=0x2+4x+2=d x2+5x+2=d x2+6x+2=0 3 x2+x+3=0 x2+2x+3=0 x2+3x+3=0 x2+4x+3=0x2+5x+3=0 x2+6x+3=0 4 x2+x+4=0 x2+2x+4=0 x2+3x+4=0 x2+4x+4=d x2+5x+4=q x2+6x+4=0 x2+x+5=0x2+2x+5=0x2+3x+5=0x2+4x+5=0x2+5x+5=0 x2+6x+5=0 6 x2+x+6=0x2+2x+6=0 x2+3x+6=0x2+4x+6=0 x2+5x+6=0 x2+6x+6=0 ,共可以得到36个不同形式的一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有： x2+2x+1=0,x2+4x+4=0 共2种， 21 ∴.得到的方程有两个相等的实数根的概率为3618， 1 故答案为：18 三、解答题 17.已知方程m-2)r2+(m+1)x+3m-1=0 ()如果是关于x的一元二次方程，试确定的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数 项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定的值. 18.解方程： 试卷第3页，共3页 (1)用配方法解方程：x2+6x+3=0: x-1=(x-1)(2x+3) (2)用适当方法解方程： 19.已知4=(2x+-(c+3x-3)+2x (1)化简A: (2)若x为方程x2+2x-3=0的解，求A的值. 20.己知关于x的一元二次方程”-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，方 (1)求m的取值范围： (2)若x-(:+)=m2-15 求m的值. 21.已知关于x的一元二次方程x2-2ax-3a+1=0有两个不相等的实数根. (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根： Q)活“，B是该方程的两个根，且“+B=26 求的值. 22.请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x+br+c=0,其中b、C均为整数，且有一 =V5+2 个根为 ,求6、C的值 晨晨同学根据二次根式的性质：(a=a(a≥0)，联想到了如下解法：由x=5+2得 x-2=5,则-2=5，即2-4x+4=5,-4x-1=0.放b=4,c=1. 请运用上述方法解决下列问题： Q已知关于‘的方程2+r+c=0,其中、C均为整数，且有一个根为 =2-V5 c的值. x=5-1 (2)已知 2,求代数式3x3+6x2+2025的值. 试卷第4页，共3页 23.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两 个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”· (1)下列方程中，是“美丽方程”的是 (填序号)· ①x2+2x=0;②x2-4x+4=0:③x2+4x+3=0. 2)若x+2x+n)=0 “美丽方程”，求”的值. (3)若一元二次方程ar2+4ar+c=0(a,c均为常数，a≠0)为“美丽方程”，请写出a、 C满足的数量关系，并说明理由. 24.如图1，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB,AB=16cm.在矩形DEFG中， EF=20cmDE=8cm△ABC DEFG 在矩形 的左侧，AB与EF在一条直线上，点B与 点E重合.现△ABC以lcm/S的速度从左向右匀速运动（矩形DEFG保持不动），直到点A 运动到与点F重合时运动停止.如图2，设运动时间为t($),当8<t≤16时，若满足 △ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为56cm时，求运动时间t的值， A B(E) 图1 图2 试卷第5页，共3页 第一章一元二次方程单元测试卷 一、单选题 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 2．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 3．将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，注意配方时添加常数项． 通过配方法将方程化为标准形式，先使二次项系数为1，再配方． 【详解】解：∵ ， ∴ 两边除以2：， ∴ 移项：， ∴ 配方：，即 ， ∴ 与 比较，得 ，， 故选：B． 4．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 5．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 6．为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设小康和小明两人所集赞数量为，根据两数之积为960，进而建立方程求解即可． 【详解】解：设小康和小明两人所集赞数量为，根据题意： 整理得： 解得：（舍去，不符合题意）， 则（个） 小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是， 故选：D． 7．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 8．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 9．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 10．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 二、填空题 11．一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 12．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 13．已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 14．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 15．已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 【详解】解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 16．同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率以及一元二次方程的性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果和得到的方程有两个相等的实数根的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴共可以得到36个不同形式的一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有：共2种， ∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为， 故答案为：． 三、解答题 17．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 18．解方程： (1)用配方法解方程：； (2)用适当方法解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 19．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 22．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 23．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 24．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $