第25章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

综合评价答案 第二十五章综合评价 1.C2.B3.B4.A5.C6.D7.D8.A9.B10.A11.x1=5,x2=-5 12.x2-2x=0(答案不唯-)13.6014.-乞15.1216，=-2，m=317.7或 818.-4048【解析】：方程x2-2024x-2025=0的两个根分别是1，n,∴.m2- 2024m-2025=0,n2-2024n-2025=0,m+n=2024,mn=-2025..∴.m2=2024m +2025,n=2024n+2025...(m2-2023m-2026)(n2-2023n-2026)=(2024m十 2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+ 1=-2025-2024十1=一4048.19.解：移项，得x2十6x=2.配方，得x2十6x十32= 2十32，(x十3)2=11.由此可得x十3=士√1，即x1=-3十√11，x2=-3-√11. 20.解：她们的解法都不正确.正确的解答过程如下：移项，得3(x一3)一(x一3)2=0.左 边分解因式，得(x-3)(3-x十3)=0.于是x-3=0,或3-x十3=0，即x1=3,x2=6. 21.解：设右边宽为xcm.根据题意，得(60十2×5x)(24十2x)=2240.解得x1=2,x2= -20(不符合题意，舍去).答：右边宽为2cm,22.(1)证明：：a=1,b=-(k十3)，c= 2k十2，∴.△=B-4ac=[-(k十3)]2-4×1×(2k十2)=(k-1)≥0..此方程总有两 个实数根.(2)解：由(1)，得△=(k-1),x=十3-卫，即1=k+1,x,=2. 2×1 ,方程有一个根小于2，∴.k+1<2,解得k<1.23.解：(1)当AB=AD时，四边形 ABCD是菱形，即方程r一mr十受-子=0有两个相等的实数根.△=m 4(受-寻)=0，解得m=m:=1.六当m=1时，四边形ABCD是菱形.(2)由根与系 数的关系，得4十=m=受-子：(-3)(。-3)=-3十)十9 5m受-子-3m十9=5m,解得m=名.24解：1y=150-2x(2)根据题意，得 (x-40)(150-2x)-300=200.解得x1=65,x2=50.:要尽快减少库存，∴x=50.答： 该益智玩具的售价应定为50元/个.25.解：(1)倍根方程(2)由方程x一6x十c=0 是“倍根方程”，设x1=3x2,由根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x2=c,3x2十x2=6, 3x=c,解得=号，一头∴c的值为架(3)：方程r十x十c=0慨是“信根方程 又是“方根方程”，x1=3x2,x=x1或x=x2,由根与系数的关系，得x1十x2=一b, x1x2=C,分两种情况讨论：①当x1=3x2,x=x1时，x=3.x2,解得x2=3,或x2=0(舍 去).x1=9.∴.b=-12,c=27..2b十c=2×(-12)十27=3.②当x1=3x2,x1=x2 时4=3，解得=号，或n=0(含去).=号b=-号，c=72b十c=2 ×(号)十7=一器综上所述26十的值为3或-器 第二十六章综合评价 1.B2.A3.D4.D5.B6.B7.B8.C9.B10.D11.(0,2)12.-1 1 25 13.<14.y=-x+1(答案不唯-)15.a>316.分 17.418.①③④ 19.解：：y=一2x2+4x-1=一2(x-1)2十1，.该函数图象的开口向下，对称轴为直 线x=1.20.解：(1)(1，-4)5(2)如图所示. (3)x1=4,x2=-2 21.解：)将A(0,3),B(-1,0)代人抛物线y=ar+2x十c,得3=， 解得 0=a-2十c. 。3,抛物线的函数解析式为y=一2+2x+3,(2):y=一2十2x+ 一（x一1)十4，.抛物线顶点D的坐标为(1,4)..对称轴与x轴相交于点E,.DE= 4,OE=1.B(-1,0),.OB=1,∴BE=OB十OE=1十1=2.在Rt△BED中，根据勾 股定理，得BD=√BE+DE区=2√5.22.解：(1)根据题意，得(24-2x)x=40.整理， 76 得x2-12x十20=0.解得x1=10,x2=2.(2)设矩形ABCD的面积为S.根据题意，得S =x(24-2x)=-2(x-6)2十72.，x>0,24-2x>0,.0<x<12.-2<0,.抛物线 开口向下，函数有最大值，∴.当x=6时，S取得最大值72.∴.所围成的矩形场地ABCD 的面积最大是72m.23.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx十b.将(8,2200) 和(14,1600)代入，得 8062200解得二100y关于工的函数解析式为 14k+b=1600, b=3000. y=一100x十3000.(2)设销售这种荔枝日获利为w元.根据题意，得= (x-6-2)(-100.x十3000)=-100x2+3800x-24000=-100(x-19)2十12100. :-100<0,x≤18，∴.当x=18时，w有最大值，最大值为-100×(18-19)2十12100= 12000.答：当每千克荔枝的销售价格定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利 润为12000元.24.解：(1)x1=-3,x2=1(2)一4≤y≤0(3)由图可设二次函数 的解析式为y=a(x十1)2-4，将(1,0)代入，得0=a×(1十1)2-4，解得a=1.∴.二次 函数的解析式为y=(x十1)2一4.将二次函数图象向上平移m个单位长度后，所得图 象的函数解析式为y=(x十1)2-4十m.将点(-2,0)代入，得0=(-2十1)2-4十m,解 得m=3.此时二次函数的解析式为y=(x十1)2-1=x2十2x.令y=0,则x2十2x=0, 解得x1=-2,x2=0..A(-2,0),B(0,0),AB=0-(-2)=2.:顶点C的坐标为 (-1,-1D∴△ABC的面积为号·AB·C=号×2X1=1.25,解：1)10(2) 该同学初次投篮时不能命中篮筐.理由如下：由题意，得点P(0,2.2),抛物线顶点 C(3,4).设抛物线的函数解析式为y=a(x-3)2十4.把P(0,2.2)代入，得2.2=a× (0-3)2十4，解得a=一0.2..抛物线的函数解析式为y=-0.2(x-3)2十4.当x=6 时，y=-0.2×(6-3)2十4=2.2.：2.95≤n≤3.10时，篮球可命中篮筐，而2.2< 2.95,∴该同学初次投篮时不能命中篮筐.(3)新的抛物线的函数解析式为y= -0.2(x-3-d)2十4.该抛物线过点(6,3)，.3=-0.2(6-3-d)2十4，解得d1= 3-√5，d2=3十√5.当d=3十√5时，抛物线的顶点坐标为(6十√5,4).此时6十√5>6，不 符合题意，舍去，∴.d的值为3-√5. 第二十七章综合评价 1.B2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.B9.B10.D11.2(答案不唯-) 12.-313.414.1215.316.-617.-318.-619.解：点A(1,2)在函数 y一兰的图象上k=1X2=2∴反比例函数的解析式为y一是“点B(2,6)在函数 y=是的图象上，∴6=号=1.20.解：1)由题意，得友十3<0，解得<-3.(2)：反 比例函数y=十3的图象位于第二、四象限，“当x<0时，y随x的增大而增大 :-4<一1，∴.y<y2.21.解：(1)根据题意，得时间t(h)与汽车速度(km/h)之间 的西数关系式为：=06-4g9.(2)当=120mh时4贸=4h.当=60ka 时，t=480=8(h).返程时间的范围是4h≤≤8h.22,解：1)将A(3,m)代入y= 60 x一2，得m=1.“点A的坐标为3,1).将(3,1D代入y=冬，得=3X1=3.反比例 函数的解析式为y=是.2)将=n代入y=是得y一是点M的坐标为(：是)厂 将=n代人y=一2，得y=n一2点N的坐标为(m,n一2).由MN=4,得号 (n-2)=4,解得n=1或n=-3.又：0<n<3,.n=1.23.(1)证明：由题意知 E(个4）F(-4,冬)DE=-令BF=-车∴DE=BR.(2)解：由I知DE BF=-令CE=CF=4+年：Saer=SEum-Sag-Saus-S4 合(4+冬)-2×号×4×(-冬)=6，解得=士8：<0，k=-824,解：1)函 数图象如图所示.g4 (2)①观察图象可知M与x成反比例. 30H 25引 20 10H y 5 051015202530x/cm 77 设n=兰（≠0）.把(30,10)代人，得10=奇解得=300%关于x的函数解折式为% =30.②观察图象可知，2十5与x成反比例.设y十5=(m≠0).把(30,5)代入，得 =5十5，解得m=30.∴关于x的函数解析式为y=300-5.③减小减小 30 25,解：(1)(1,4)(4,1)(2)y=-x十受 画出直线y=一x如图. 8(3)当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图 y=4(x>0) 432X 2345678x -x y=4 x 象有交点，联立 =-x+受 整理，得x2-受x十4=0.·4=（-罗)-4×1X4 0,解得m≥8或m-8(舍去).故周长m的取值范围为m≥8. 期中综合评价 1.C2.B3.A4.D5.C6.A7.D8.B9.D10.D11.x1=0,x2=-2 卫.mn1824415=1,=-316,157.218-专 19.解：a =2,b=3,c=-1,.△=b2-4ac=32-4×2×(-1)=17>0..方程有两个不相等的 实数根.x=3,志匠=二3±厘.即1=二3士匝，x,=二3二应 2×2 4 20.解： (1)由题意，得二次函数的解析式为y=a(x十1)2-2.把(1,2)代入，得4a-2=2,解得 a=1.∴.二次函数的解析式为y=(x十1)2-2.(2)当x=3时，y=16-2=14,∴.点 3,10在此函数图象上.21.解：1)F=pS,F=70p=7g(2):70>0当 S>0时，p随S的增大面减小.当力=2500时，790=2500，解得S=0.28.:p≤ 2500,.S≥0.28.答：“木海马”底面面积至少需要0.28m2.22.解：(1)关于x的 一元二次方程x2-2(a-1)x十a-a-2=0有两个不相等的实数根，∴.△= [-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,解得a<3.a为正整数，.a=1或a=2.(2)r1十 x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,.x1十x-x1x2=(x1十x2)2-3x1x2=16. .[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,解得a1=-1,a2=6.由(1)知a<3,.a=-1. 23.解：(1)函数y=x十1的图象经过点A(2,m),.m=3.∴.A(2,3).点A(2,3)在 反比例函数的图象上，“a=2×3=6.“反比例函数的解析式为y=。,联立 =6,解得一3 y=x十1， 或二2：B(-3,-2.(2)x的取值范围为r≤-3或0< Hy=-2y=3. x≤2.(3)由题意，设点P的坐标为(n,0).在y=x十1中，令y=0,则x=一1， ∴D(-1,0).:San=Sa十Sam=5,号Xn十1X3十号×n+1X2=5,解 得n=1或n=-3.∴.点P的坐标为(-3,0)或(1,0).24.解：(1)由题意，得 (40-x)(22-x)=544.解得x1=6,x2=56(不符合题意，舍去).：5.5<6<6.5，.车 道宽度符合标准.(2)设每个车位的月租金上涨y元.由题意，得(200十)(50一5y)） =10125.解得y=y2=25.答：当每个车位的月租金上涨25元时，该区域停车场的月 租金收入为10125元.(3)设该区域的月租金收入为W元.由题意，得W=(200十y) (50-号）=-号(y一25)+10125.：-号<0当5≤<15时，w随y的增大而 增大.当)y=15时，W有最大值，最大值为-号×(15-25)+10125=10105，答：当E区 域每个车位月租金上涨15元时，该区域的月租金收入最大，最大值是10105元. 25.解：(1)设直线1的函数解析式为y=m.x十n(m≠0)，把A(6,0),B(0,一6)代入，得 78第二十五章综合评价 PXTREE (时间：120分钟满分：120分) 害 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 芒 A.x+y=3 B.3x+y2=2 北 C.2x-x2=3 D.x(x2-3)=0 2.将一元二次方程2x2一4x=一5化成一般形式后，若二次项的 系数是2，则一次项的系数和常数项分别是 ( A.4,5 B.-4,5 C.-4,-5 D.5,4 甜3.用配方法解下列方程，其中应在方程两边都加上4的是( A.x2-2x=5 B.x2+4x=5 C.x2+8.x=5 D.2x2+4x=5 4.一元二次方程3x2一2x一1=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 5.下列方程中，最适合用因式分解法求解的是 A.（x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.x-2=x2-4 D.x2-3x+4=0 6.若m是方程x2一x一1=0的一个根，则一2m2+2m的值 是 ) A.3 B.0 C.2 D.-2 7.已知a,b是一元二次方程x2一2x一3=0的两个根，则2a十 2b-ab的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-7 D.7 8.某果园去年砂糖橘的产量为80t,明年预计达到100t.设砂糖 橘产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为( A.80(1+x)2=100 B.80(1+x)3=100 C.80(1+2x)=100 D.100(1-x)2=80 9.若关于x的一元二次方程ax2十bx+5=0(a≠0)有一个根为 1001,则方程a(x+1)2十b(x+1)=一5必有一个根为( A.1001 B.1000 C.999 D.998 10.我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图 x+2 注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解 x+2 法.以方程x2十2x-35=0,即x(x+2)=35 X x+2 为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的 面积是(x十x十2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间 小正方形的面积，即4×35十22，因此x=5.下列四个选项中， 能正确说明方程x2一5.x一6=0的解法的构图是 ( B 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.方程x2-25=0的解是 12.若一元二次方程的一个根为2，则该方程可以为 (写出一个即可) 13.用公式法解方程x2一2x=2x+11时，根的判别式的值为 14.已知方程3.x2+n.x一5=0的一个根是2，则n的值是 15.“水是生命之源，树是水的卫士.”为了更好地让大家珍惜树木， 小红将这条宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转 发给相同的人数（不重复）.若在这个过程中一共有156人收到 了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了人. 16.在一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)的研究中，小明发现4a 2b十c=0,小红发现9a十3b十c=0,而小刚听完他们的发现后直接 说出了方程的两个解，则这个方程的根为 17.若等腰三角形的底和腰是方程x2一5x十6=0的两个根，则这 个三角形的周长是 18.若方程x2一2024x一2025=0的两个根分别是m,n,则(m2 2023m-2026)(n2-2023n-2026)的值为 三、解答题（共66分） 19.(8分)解方程：x2十6x-2=0. 2 20.(8分)小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)=（x一3)2的过 程如下： 小敏 小霞 两边同除以(x一3)， 移项，得3(x一3)-(x-3)2=0. 得3=x-3, 左边分解因式，得(x一3)(3一x-3)=0. 解得x=6. ∴.x-3=0,或3-x-3=0. x1=3,x2=0. 你认为她们的解法是否正确？若不正确，写出正确的解答 过程. 21.(8分)小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示， 上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.已 知原作品的长为60cm,宽为24cm,装裱后左右两边的边宽 相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为1：5. 若装裱后作品的总面积为2240cm,则右边宽为多少厘米？ 天头长 左边宽 右边宽 天 地头起 一3 22.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-(k十3)x十2k十2=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围. 23.(10分)已知□ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 x一mr+受是0的两个实数根。 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (2)若这个方程的两个实数根分别是x1,x2,且(x1一3)(x2一 3)=5m,求m的值. 4 24.(10分)某校综合与实践活动小组针对货物的售价与日销售 量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该 项目任务， 项目主题：商品销售策略的制定， 问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具， 请你运用所学数学知识，根据市场情况和该玩具店老板的要 求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略. 任务一：市场调查 调查附近A,B,C,D,E五家玩具店近期销售这种益智玩具的 售价x(元/个)和日销售量y(个)的情况，记录如下表. 玩具店 A B C D E 售价x/(元/个) 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 (1)该益智玩具的日销售量y与售价x之间的函数关系式为 任务三：问题解决 (2)如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为 300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时 为了尽快减少库存，那么该益智玩具的售价应定为多少？ 5 25.（12分)阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+ bx十c=0根的特征时发现，此时根与系数的关系可表述为 x1十x2=一b,x1x2=c,借此结论，小明对“倍根方程”和“方根 方程”定义如下： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两 个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这 样的方程为“倍根方程” 方根方程：如果关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两 个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这 样的方程为“方根方程” 根据上述材料，解答下列问题： (1)方程x2-8x十12=0是“ ”;（填“倍根方程”或 “方根方程”)》 (2)若关于x的一元二次方程x2一6x十c=0是“倍根方程”， 求c的值； (3)若关于x的一元二次方程x2十bx十c=0既是“倍根方程” 又是“方根方程”，求2b十c的值. —6