26.2.2 第1课时 y=ax²+k的图象和性质课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\( y = ax^2 + k \)的图象和性质，通过回顾配方法解一元二次方程导入，引导学生将一般式转化为顶点式，搭建与\( y = ax^2 \)的知识联系，形成学习支架。 其亮点在于通过探究画图、归纳性质、平移规律等活动，培养几何直观和推理意识，如对比\( y = 2x^2 \pm 1 \)图象得出顶点坐标和增减性，用“上加下减”简记平移。帮助学生理解函数本质，教师可借助系统流程提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数的图象和性质 第1课时的图象和性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次函数 的图象 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次函数 的性质 9. 对接中考 6. 知识点3 抛物线与 间的关系 1. 会画二次函数 的图象. 2. 掌握二次函数 的性质并会应用. 3. 理解 与 之间的联系. 学习目标 知识回顾 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置、开 口方向 对称性 顶点、最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 越大，开口越小. 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0. 顶点坐标是（0，0）. 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 新课导入 在研究了的图象和性质之后，我们进一步探讨当b，c不全为0时，二次函数的图象和性质.如何研究呢？能否将 转化为类似 的简单形式？ 新课导入 ax2+bx+c = 0 a(x2+x)+c = 0 a[x2+x+()2]－a()2+c = 0 a(x+)2－+ = 0 a(x+)2+ = 0 思考 回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ 新课导入 ax2+bx+c=0 a(x+)2+=0 y=ax2+bx+c  y=a(x-h)2+k h=﹣k=. 先来讨论当 h=0，k≠0 时，二次函数 y=ax2+k 的图象和性质. 思考 用a，b，c表示，这里的和分别是什么？ 新课讲解 知识点1 二次函数 的图象 探究1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数  y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2-1 … … 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 1.列表 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 10 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 -2 y = 2x2+1 y = 2x2-1 2.描点 3.连线 可以看出，抛物线  y=x2+2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是 (0，2)；抛物线 y=x2-2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是  (0，-2). 新课讲解 探究2 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 可以看出，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是 (0，2)；抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是  (0，-2). 新课讲解 一般地，当 a>0 时，抛物线的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是(0，)，顶点是抛物线的最低点. 一般地，当 a<0 时，抛物线的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是(0，) ，顶点是抛物线的最高点. 越大，抛物线的开口越小. 归纳 新课讲解 例 1. 函数 的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解：二次函数，二次项系数 ，图象的开口向上，对称轴是轴，与轴的交点坐标是 ，故C项符合题意. C 新课讲解 练一练 1. 嘉嘉绘制抛物线时，将“3”看成“ ”，和原图象相比，发生改变的是 ( ) A.开口方向 B.对称轴 C.开口大小 D.与 轴的交点 解：把3看成， 开口方向由开口向上变为开口向下. A 新课讲解 练一练 2. 函数和 为常数，且 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( ) A. B. C. D. D 新课讲解 知识点2 二次函数 的性质 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 10 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 -2 y = 2x2+1 y = 2x2-1 新课讲解 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升； 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 一般地，当 a>0 且 x<0 时，y随x的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 一般地，当 a<0 且 x<0 时，y随x的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 归纳 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 新课讲解 例 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 ______ ______ _____ 最____值：___ ______ ________ _____ 最____值：____ 向下 轴 大 6 向上 轴 小 2. 填表. 新课讲解 例 A. B. C. D. 3. 对于二次函数，当时， 的取值范围是 ( ) 方法点拨：求二次函数的最值时，要确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大（小）值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值. C 新课讲解 练一练 1. 写出一个开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为 的抛物线的解析式：_________________________. （答案不唯一） 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为为常数，且. 又 抛物线的开口向上， ， 抛物线的解析式可以为 . 新课讲解 练一练 2. 已知关于的二次函数 有最值6，且当时，随 的增大而减小，则该二次函数的解析式是_____________. 新课讲解 总结 a，k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上 向下 y轴（直线 x=0） （0，k） 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x的增大而增大；当 x> 0时，y 随 x的增大而减小. x=0时，y最小值=k. x=0时，y最大值=k. 二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质 O y x O y x O y x O y x 新课讲解 知识点3 抛物线与 间的关系 思考 抛物线 y=x2+2， y=x2-2 与抛物线 y=x2 有什么关系？ y=x2+2 y=x2-2 可以发现，把抛物线y=x2 （图中的虚线图形）向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=x2+2； 把抛物线向下平移 2 个单位长度，就得到抛物线 新课讲解 你能归纳出二次函数 y=a+k 的图象特征和性质吗？ 抛物线y=a+k 抛物线y=a 沿 y 轴向下平移|k|个单位长度 抛物线y=a+k 抛物线y=a 沿 y 轴向上平移 k 个单位长度 1. 当k>0时： 2. 当k<0时： 简记为“上加下减常数项” 思考 新课讲解 例 4. 抛物线经过平移得到抛物线 ，则这个平移过程是 ( ) A. 向左平移5个单位长度 B. 向右平移5个单位长度 C. 向上平移5个单位长度 D. 向下平移5个单位长度 C 新课讲解 练一练 1. 已知抛物线经过平移后得到抛物线 .若抛物线上任意一点的坐标是 ，则平移后其对应点的坐标一定是 ( ) A. B. C. D. A 新课讲解 练一练 2. 如图，将抛物线 沿 轴向下平移一段距离后，得到一条 新的抛物线 .若曲线段平移至曲线段，曲线段 所扫过的区域为阴影部分，则阴影部分的面积是____. 16 解：连接 ，由平移的性质可知四边形是平行四边形， 当 时，，解得， ， 抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向下平移了4个单位长度. 阴影部分的面积是 . 课堂小结 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 性质 与抛物线y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴 平移规律： 上加下减常数项 当堂小练 1. 抛物线 y= -x2+3 的顶点坐标是 ( ) A. (0，3) B. (0，-3) C. (3，0) D. (-3，0) A 当堂小练 2. 抛物线y=-x2-1的开口方向和对称轴分别是(　　) A. 向上，y轴 B. 向下，y轴 C. 向上，直线x=-1 D. 向下，直线x=-1 B 当堂小练 3. 二次函数y＝－5x2－4的图象是（ ） A.抛物线y＝－5x2向左平移4个单位长度得到 B.抛物线y＝－5x2向右平移4个单位长度得到 C.抛物线y＝－5x2向上平移4个单位长度得到 D.抛物线y＝－5x2向下平移4个单位长度得到 D 当堂小练 4. 已知抛物线上有两点， ，若 ，则下列结论正确的是 ( ) D A. B. C. 或 D. 以上都不对 解：抛物线的开口向上，对称轴为轴. 抛物线上有两点，，且 ， 或或 或 ． 当堂小练 5. 已知抛物线的顶点在 轴的负半轴上，且开口向上，则 的取值范围是___________. 解：抛物线的顶点在 轴的负半轴上， ，解得 抛物线 的开口向上， ， . 6. 将二次函数是常数 的图象记为图象.图象经过点和点 . (1) 用表示图象 的顶点坐标：___________. (2) 若，则___，___，由此尝试比较大小：___ . （填“”“”或“” ） (3) 如果将第(2)问中的条件“ ”改成“ ”，那么第(2)问中与 的大小关系还成立吗？请说明理由. 当堂小练 解： 还成立. 理由如下： 函数的图象开口向上，在对称轴轴的右侧， 随 的增大而增大. ， ， . 当堂小练 7. 如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，四边形 为平行四边形. (1) 写出，， 三点的坐标. (2) 若抛物线向上平移后恰好经过点 ，求平移后抛物线的解析式. 解：(1) 当时，， ， 当时，，解得 ， ， . (2) 四边形是平行四边形，， ， ，， . 设向上平移后的抛物线为，则 ，解得 ， 平移后抛物线的解析式为 . 对接中考 将函数 的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的解析式为____________. 解：将函数 的图象向下平移2个单位长度，即将函数解析式“”， 故得到的新函数的解析式为 . 拓展与延伸 1. 已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到 轴的距离相等.如图，点的坐标为 ，是抛物线 上一动点. (1) 当的面积为4时，点 的坐标为_______________； (2) 求 周长的最小值. 解：如图，过点作轴于点， 与抛物线交于点，连接 . 抛物线上任意一点到定点的距离与到 轴的距离相等， ， . 又为定值， 当点运动到点时， 的周长最小， 此时的周长为 . ，， ， ， ， 周长的最小值为5. 或 拓展与延伸 2. 如图，点为抛物线 的顶点，点的坐标为，直线 交抛物线于另一点 ． (1) 求点 的坐标； 解：对于，当时， ， ．设直线 的解析式为 . 将， 的坐标分别代入上式， 得解得 直线的解析式为 ． 联立，得 解得 点的坐标为 ． 拓展与延伸 2. 如图，点为抛物线 的顶点，点的坐标为，直线 交抛物线于另一点 ． (1) 求点 的坐标； (2) 平行于轴的直线交直线于点，交抛物线 于点，平行于轴的直线交直线于点 ，交抛物线于点，若，求 的值． 点的坐标为 ． 直线的解析式为 ． 解： 直线分别交直线和抛物线于， 两点， ，. ． 又， ． 直线分别交直线和抛物线于， 两点， ， ， 解得，， ． $