精品解析：山东省聊城市阳谷县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末学业水平检测与反馈 七年级数学问卷 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成．共150分．考试时间130分钟． 2．将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，只交答题卡． 愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷． 第Ⅰ卷 选择题（共48分） 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合要求．） 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003左右，将0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 B. 调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C. 调查“神舟二十一号”的零部件质量，采用抽样调查 D. 调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查 3. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，，当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 的值为20 B. 用地面积在这一组的公园个数最多 C. 用地面积在这一组的公园个数最少 D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷 6. 下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 9. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 11. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，在无色透明液体中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 12. 由多项式乘法可得：，即得等式：①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共102分） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 14. 若,则=_____________. 15. 已知方程组，则代数式的值为______． 16. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 17. 计算：________． 18. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 三、解答题（本题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 计算、化简、解方程组和因式分解： （1）计算：． （2）化简：． （3）解方程组：． （4）因式分解：． 20. 小张家准备购买一台电脑，小张将收集到的该地区和其它品牌电脑销售情况的有关数据统计如下： 根据上述三个统计图，请解答： （1）6至11月三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是___________，11月份B品牌电脑的销售量是___________； （2）11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖多少台？ （3）若小张打算购买C品牌电脑，那他的理由是什么？请写出你的猜测（写出一条猜测即可） 21. 如图，在中，，平分 ，，． （1）求的度数； （2）的度数； （3）探究：小明认为：不需要知道和度数，如果只知道，其他条件不变，也能得出度数，你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 22. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 23. 如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 24. 如图，中，，，且， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 25. 综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发＋智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 （1）任务1：计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ （2）任务2：若该销售企业计划正好用130万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少2台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． （3）任务3：结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 26. 在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）用整体设元法因式分解：； （2）用姬曼定理因式分解：； （3）用十字相乘法因式分解：； （4）因式分解：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末学业水平检测与反馈 七年级数学问卷 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成．共150分．考试时间130分钟． 2．将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置． 3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，只交答题卡． 愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷． 第Ⅰ卷 选择题（共48分） 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合要求．） 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003左右，将0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 B. 调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C. 调查“神舟二十一号”的零部件质量，采用抽样调查 D. 调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查 【答案】D 【解析】 【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、企业招聘，对应聘人员进行面试，应采用全面调查，故本选项不符合题意； B、调查一批比亚迪新能源汽车电池的使用寿命，应采用抽样调查，故本选项不符合题意； C、调查“神舟二十一号”的零部件质量，应采用全面调查，故本选项不符合题意； D、调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查，故本选项符合题意． 3. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，，当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，则，根据平行线的性质得到，进行求解即可． 【详解】解：过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 5. 为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 的值为20 B. 用地面积在这一组的公园个数最多 C. 用地面积在这一组的公园个数最少 D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是从频数分布直方图获取信息，根基图形信息直接可得答案． 【详解】解：由题意可得：，故A不符合题意； 用地面积在这一组的公园个数有16个，数量最多，故B符合题意； 用地面积在这一组的公园个数最少，故C不符合题意； 这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D不符合题意； 故选B 6. 下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：对选项A：，不符合要求； 对选项B：，，不符合要求； 对选项C：，不符合要求； 对选项D：无法利用完全平方公式分解因式，符合要求． 7. 若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据，结合同底数幂乘法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 8. 如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 9. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 10. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，进而可得， 再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：是由沿折叠得到， ，， ，， ， ，即：， ， 故选C． 11. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，在无色透明液体中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行可得，，最后代入计算即可． 【详解】解：光线平行， ， 水面和玻璃底部平行， ， ， ∴． 12. 由多项式乘法可得：，即得等式：①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法的立方和公式判断即可． 【详解】解：A、（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝x3+8y3，原变形错误，故此选项不符合题意； B、x3+27＝（x+3）（x2﹣3x+9），原变形正确，故此选项符合题意； C、（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝x3+8y3，原变形错误，故此选项不符合题意； D、a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1），原变形错误，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查学生的阅读理解能力及多项式乘法的立方和公式．透彻理解公式是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共102分） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，进而根据为整数即可求解． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ 即 ， ∴， 为整数， ． 14. 若,则=_____________. 【答案】72 【解析】 【分析】逆运用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可得解． 【详解】解：a3x+2y=（a3x）×（a2y） =（ax）3×（ay）2 =23×32 =8×9 =72． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键． 15. 已知方程组，则代数式的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由得，由．然后代入计算即可． 【详解】解： ，得 ，得 ∴ 故答案为：7 16. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 【答案】##132度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此， 故答案为：． 17. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 计算、化简、解方程组和因式分解： （1）计算：． （2）化简：． （3）解方程组：． （4）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 整理方程得：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 原方程组的解为； 【小问4详解】 解： ． 20. 小张家准备购买一台电脑，小张将收集到的该地区和其它品牌电脑销售情况的有关数据统计如下： 根据上述三个统计图，请解答： （1）6至11月三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是___________，11月份B品牌电脑的销售量是___________； （2）11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖多少台？ （3）若小张打算购买C品牌电脑，那他的理由是什么？请写出你的猜测（写出一条猜测即可） 【答案】（1）A；234 （2）54台 （3）理由：C品牌的销量从6月到11月一直十分稳定，且销量较高（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据第一张图，可得到三种品牌的销售总量；根据扇形图和折线图，通过比例关系，可以得到B品牌电脑的销量； （2）根据扇形图计算出其它品牌的销量，再作差计算即可； （3）可从销量，稳定性等多角度回答，理由不唯一． 【小问1详解】 解：由条形图，可知三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是A； 由扇形图可知，11月份A品牌占比，11月份B品牌占比，11月份C品牌占比， 结合折线图中数据可知，11月份A品牌销售270台，B品牌销售234台，C品牌销售275台； 【小问2详解】 解：由（1）可知，11月份共销售（台）， 由扇形图可知，11月份其它品牌共销售， ∴其它品牌共销售（台）， （台）， ∴11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖54台； 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，，平分 ，，． （1）求的度数； （2）的度数； （3）探究：小明认为：不需要知道和度数，如果只知道，其他条件不变，也能得出度数，你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的度数为 （2）的度数为 （3）度数为，可以， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线定义求； （2）先求出，就可知道的度数； （3）用表示即可． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵平分， ∴， 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了三角形角平分线定义，三角形的高，以及三角形的内角和定理，熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理是解答本题的关键． 22. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由公式变换即可得出结果； （2）由公式变换即可得出结果； （3）由公式变换即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：， ∴． 23. 如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】（1） （2）修建文化广场所需要的费用为11600元． 【解析】 【分析】（1）用大长方形的面积减去两个空白图形的面积即可； （2）将，代入（1）中的代数式，再×200即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：当，时， （平方米）， 则所需费用为：（元）， 答：修建文化广场所需要的费用为11600元． 24. 如图，中，，，且， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及三角形内角和，解题关键是先利用“垂直于同一直线的两直线平行”和“等量代换”证明，再利用三角形内角和计算即可． （1）由、得，推出，结合已知等量代换得，由“同位角相等，两直线平行”得； （2）由得为直角三角形，先算出 ，再用即可求解的度数． 【小问1详解】 证明： ， ， ， 【小问2详解】 解： 在中， ， ， ，， ， 故的度数为． 25. 综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 为建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，某区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发＋智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从该区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 （1）任务1：计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ （2）任务2：若该销售企业计划正好用130万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少2台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． （3）任务3：结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元 （2）方案一：购买2辆H型新能源汽车，10辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，7辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，4辆Q型新能源汽车 （3）购买2辆H型新能源汽车，10辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.5万元 【解析】 【分析】（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，根据题意列出二元一次方程，然后根据m，n均为正整数且大于等于2求解； （3）根据（2）中的方案分别求解判断即可． 【小问1详解】 解：设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元， 由题意得：， 解得， ∴H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元． 【小问2详解】 解：设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆， 由题意得：， ∵m，n均为正整数且大于等于2， ∴解得①②③， 即方案一：购买2辆H型新能源汽车，10辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，7辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，4辆Q型新能源汽车； 【小问3详解】 解：方案一：（万元）， 方案二：（万元）， 方案三：（万元）． ∵， ∴购买2辆H型新能源汽车，10辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.5万元 26. 在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）用整体设元法因式分解：； （2）用姬曼定理因式分解：； （3）用十字相乘法因式分解：； （4）因式分解：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：设， ∴ ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 故； 【小问4详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $