精品解析：吉林省长春市外国语学校2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试初二年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共道24小题，共6页、全卷满分120分．考试时间100分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面消洁，不要折叠，不要弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为毫米，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 米 D. 米 5. 将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 7. 四边形对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A. 2 B. 2.5 C. 2.4 D. 1.2 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知是关于的正比例函数，且图象过第一、三象限，则的取值为________________． 10. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 11. 如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为______． 12. 设分别是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为___________． 13. 如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若，．则______________________ 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点．则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④当时，点的坐标为 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算、解方程 （1）计算：． （2）解方程：； 16. 先化简再求值：，其中． 17. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． （2）在图②中的边上找到点，连结，使： （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 18. 某市举办马拉松比赛，参加该项比赛的人数逐年增多，从2023年的3万人增加到2025年的3.63万人，求这两年参加马拉松比赛的人数的年平均增长率． 19. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE于F． （1）求证：△ADF∽△EAB； （2）若DF=6，求线段EF的长． 20. 正确的握笔姿势对学生的学习和成长都很重要，如图1是某学生的正确握笔姿势，其示意图如图2．笔杆与纸面所成的角α为53°，笔杆AB长20cm，求笔杆顶部离纸面竖直高度BC．（参考数据：，，） 21. 联合国将每年4月20日“谷雨”这一天定为中文日，以纪念仓颉造字的贡献．某校为加强对历史的了解，举行了趣味知识竞赛．现从该校八年级（1）、（2）班各随机抽取10名学生进行测试，将数据进行整理如下： 八（1）班10名学生的成绩如下：82，99，98，84，86，90，97，92，96，96． 八（2）班10名学生中成绩在的数据是93，90，91． 八（1）、（2）班所抽取的学生成绩数据统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 94 96 34.6 八（2）班 92 92 100 50.4 （1）统计表中的值为________，将八（1）班10名学生成绩的最小值、中位数和最大值标记在箱线图中； （2）若将八（2）班被抽取的这10名学生的成绩按从高到低进行排名，求其中成绩为91分的同学的名次是多少，并说明理由； （3）结合表中数据，从平均数、中位数、方差等角度，说明哪个班级成绩更好一些，并阐述理由． 22. 综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． （1）【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； （2）在（1）的条件下，求出与的比值； （3）【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 23. 如图，在中，，，，点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． （1）求证：； （2）如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作（保留作图痕迹），与交于点； ②求线段的长； （3）当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 24. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，点的坐标以及的面积； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）后得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标： ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；否则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程考试初二年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共道24小题，共6页、全卷满分120分．考试时间100分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面消洁，不要折叠，不要弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键，根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，据此判断即可求解． 【详解】解：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，该选项符合题意； 、根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，该选项不符合题意； 、当时，是二次根式；当时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，该选项不符合题意； 故选：． 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为毫米，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 5. 将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．根据函数图象上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为．即． 故选：D． 6. 《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系表示出甲、乙两人的用时，注意统一单位，再根据时间差列出方程即可． 【详解】甲的速度为里/时，乙骑马速度是甲步行速度的倍， 乙的速度为里/时， 根据时间路程速度， 可得：甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， 乙比甲早到分钟，统一单位得分钟小时，甲用时比乙多小时， 可列方程． 7. 四边形对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合矩形的判定定理，逐一分析选项即可得到答案． 【详解】∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形。 A选项：是平行四边形本身具有的性质，不能判定平行四边形为矩形，错误． B选项：，∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴可以判定四边形是矩形，正确． C选项：，邻边相等的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，错误． D选项：，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，错误． 8. 如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A. 2 B. 2.5 C. 2.4 D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，勾股定理，三角形中位线，垂线段最短等知识点，根据垂线段最短确定出的位置是解答本题的关键． 根据已知条件判断出是的中位线，得到，当时，的值最小，根据勾股定理和等面积法求出，即可得解． 【详解】如图，连接， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 当时，的值最小，此时的值也就最小， 由勾股定理得：， ， ， ． 故选:． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知是关于的正比例函数，且图象过第一、三象限，则的取值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义和性质，正比例函数的比例系数大于0时图象经过第一、三象限，据此列不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：是关于的正比例函数，且图象过第一、三象限 ， ， ∴ ． 10. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题关键是将方程左边配成完全平方式． 通过配方法将一元二次方程转化为“等号左边是完全平方形式，等号右边是数字”的形式，从而求出的值． 【详解】 移项得：， 配方得：， 即：， ∴ ． 故答案为． 11. 如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴，则与的位似比是． ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 12. 设分别是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．一元二次方程的根与系数的关系为：，． 13. 如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若，．则______________________ 【答案】 【解析】 【分析】因为是等腰三角形，是高线，所以根据等腰三角形三线合一，可确定是中点，得到的长度．因为是中线，所以是中点，利用直角三角形斜边中线定理，先通过勾股定理求出的长度，再得到的长度． 【详解】解：∵，是的高线， ∴，且，是直角三角形， ∴， ∵是的中线， ∴是的中点， ∴​． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点．则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④当时，点的坐标为 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可． 【详解】解：如图， ①∵，， ∴， ∵矩形的顶点B在函数的图象上， ∴，故①正确； ②∵点B、点D在函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③根据双曲线的轴对称性，可知当点D落在直线与双曲线的交点时，最短，最短为2，故③错误； ④∵，，，，为矩形， ∴， ∴点D的纵坐标为1，代入得， ∴点的坐标为， 故④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算、解方程 （1）计算：． （2）解方程：； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别化简零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、二次根式，再合并计算得到结果． （2）用公式法解一元二次方程，先确定系数，计算判别式，再代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：方程中， ，，，， 代入求根公式， 得， 即，． 16. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的分式化简，利用分式的计算法则来化简分式，化简后代值求出结果是解本题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线． （2）在图②中的边上找到点，连结，使： （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】（1）解：如图所示即为所求， （2）解：如图所示即为所求， （3）解：如图所示即为所求， 【解析】 【分析】（1）因为三角形中线对应边的中点为分点，所以先找到的中点D，连接即可，利用网格格点可直接确定线段中点． （2）因为等高的两个三角形面积比等于底边长的比，所以要满足，需使，利用平行线分线段成比例的网格作图方法确定上的分点E． （3）因为​意味着角所在直角三角形对边与邻边比为，所以先构造出正切值为​且以B为顶点、一边为的角，该角的另一边与的交点即为F，可借助网格格点构造符合要求的直线． 【小问1详解】 解：直接取的中点，即上距离B点2个单位的格点，连接，即为所求． 【小问2详解】 解：利用网格平行线分线段成比例找到上靠近的三等分点，连接，即为所求， 理由：取格点M，N， ∵， ∴， ∵和同高，高均为点到的距离，设为h， ∴​， ∴． 【小问3详解】 解：过作横跨4格、纵升2格的直线，交于点，点F即为所求， 理由：连接， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 18. 某市举办马拉松比赛，参加该项比赛的人数逐年增多，从2023年的3万人增加到2025年的3.63万人，求这两年参加马拉松比赛的人数的年平均增长率． 【答案】该市参加马拉松比赛人数的年均增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该市参加马拉松比赛人数的年均增长率为x，根据从2023年的3万人增加到2025年的3.63万人，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可． 【详解】解：设该市参加马拉松比赛人数的年均增长率为x，根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加马拉松比赛人数的年均增长率为． 19. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE于F． （1）求证：△ADF∽△EAB； （2）若DF=6，求线段EF的长． 【答案】（1）证明：四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，， ； （2）3． 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得，，，然后利用得到，最后结合，即可证明； （2）先利用勾股定理得出AF=8，由△ADF∽△EAB得，可求出，然后利用勾股定理求出AE，最后根据线段的和差即可求出EF的长． 【详解】（1） 略 （2）解：在中，， ， ，即，解得， 在中， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，利用图形中发现公共角、公共边等隐含条件证明相似三角形是解答本题的关键． 20. 正确的握笔姿势对学生的学习和成长都很重要，如图1是某学生的正确握笔姿势，其示意图如图2．笔杆与纸面所成的角α为53°，笔杆AB长20cm，求笔杆顶部离纸面竖直高度BC．（参考数据：，，） 【答案】16cm 【解析】 【分析】根据三角函数正弦的定义求解． 【详解】解：由题意：，， 答；笔杆顶部离纸面竖直高度BC的长为16cm． 【点睛】本题考查锐角确函数的定义及解直角三角形知识；熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 21. 联合国将每年4月20日“谷雨”这一天定为中文日，以纪念仓颉造字的贡献．某校为加强对历史的了解，举行了趣味知识竞赛．现从该校八年级（1）、（2）班各随机抽取10名学生进行测试，将数据进行整理如下： 八（1）班10名学生的成绩如下：82，99，98，84，86，90，97，92，96，96． 八（2）班10名学生中成绩在的数据是93，90，91． 八（1）、（2）班所抽取的学生成绩数据统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 94 96 34.6 八（2）班 92 92 100 50.4 （1）统计表中的值为________，将八（1）班10名学生成绩的最小值、中位数和最大值标记在箱线图中； （2）若将八（2）班被抽取的这10名学生的成绩按从高到低进行排名，求其中成绩为91分的同学的名次是多少，并说明理由； （3）结合表中数据，从平均数、中位数、方差等角度，说明哪个班级成绩更好一些，并阐述理由． 【答案】（1）92， （2）成绩91的同学的名次为第6名，理由如下： 因为八（2）班的中位数是92，10名学生成绩在的数据是93，90，91． 说明中位数是93和91这两个数的和的平均数， 所以将八（2）班被抽取的这10名学生的成绩按从高到低进行排名， 成绩91的同学的名次为第6名； （3）八（1）班成绩更好一些，理由如下： 八（1）班与八（2）班的平均成绩相同，但中位数更大、方差更小，说明八（1）班学生的中等水平比八（2）班高，并且成绩更为稳定． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义即可求出a的值，排列数据找出最小值与最大值及中位数进行标记即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）直接比较两个班级的中位数和方差即可． 【小问1详解】 解：， 将八（1）班10名学生的成绩从小到大排列为：， 最小值为82，最大值为99， 由统计表知中位数为94． 箱线图略 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 22. 综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． （1）【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； （2）在（1）的条件下，求出与的比值； （3）【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】（1）1； （2）3 （3）60 【解析】 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． 【小问3详解】 解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，，，，点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． （1）求证：； （2）如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作（保留作图痕迹），与交于点； ②求线段的长； （3）当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：∵ ，， ∴ ， 在 中，， 在  中，， 根据同角的余角相等，得 ． （2）解：①如图所示， ②  （3） 或 【解析】 【分析】（1）因为，，所以，，利用同角的余角相等证明两角相等； （2）①首先确定中点E的位置，连接，过点A作交于D，连接即可得到所求图形； （2）②利用直角三角形斜边中线性质得到，利用勾股定理和三角形的面积公式可推出，最后再利用勾股定理即可得解； （3）先通过比例关系设和的长度，进而表示出的长度，，利用相似三角形列方程求解的长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 略． ②解：  ∵，， ∴在中，， ∵是 的中点， ∴，， ∵， ∴， 解得， 在中，， ∴在中，， 代入得：， 化简得， 设，则， ∴在中，， 解得， ∴ ． 【小问3详解】 解： 在 中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ①若 ， 设 ，则，， 代入①得 ， 解得 ​， ∴， 解得 （负值已舍）； ②若 ， 设  ，则，， 代入①得 ， 解得 ​， ∴代入②得 ， 解得 ；  综上所述， 或． 24. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，点的坐标以及的面积； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）后得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标： ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；否则说明理由． 【答案】（1）， （2）①点C的坐标为，点D的坐标为；②存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，或 【解析】 【分析】（1）分别令，求得A，B的坐标，进而根据三角形的面积公式，求得的面积； （2）①根据题意过点D作轴于点E，利用全等三角形的判定先证，可求出、的长，进而即可得出点C和点D的坐标； ②根据题意设点Q的坐标为，分三种情况考虑：情况1：当为对角线时，情况2：当为对角线时，情况3：当为对角线时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：①如图，过点D作轴于点E， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质可知， ∴， ∴． 设，则点D的坐标为， ∵点D在直线上， ∴， 解得：， ∴ ∴点C的坐标为，点D的坐标为； ②存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．理由如下： 设点Q的坐标为． 分三种情况考虑： 情况1：当为对角线时， ∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0， ∴根据平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得：， 解得：， ∴； 情况2：当为对角线时，同理可得：， 解得：， ∴； 情况3：当为对角线时，同理可得：， 解得：， ∴． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $