2.1.1一元二次方程-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式及各项系数，通过矩形地毯宽度、连续整数平方和、梯子滑动等实际问题导入，引导学生从具体情境抽象方程，衔接一元一次方程知识，搭建从实际到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题驱动，结合数学眼光、数学思维、数学语言，如通过矩形面积问题培养抽象能力，例1步骤化判断方程提升推理意识，分层练习规范表达。总结方法清晰，帮助学生建立知识体系，教师可高效开展教学，提升学生应用与创新意识。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 2.1.1一元二次方程 第二章 一元二次方程 北师大版九年级上册2.1.1 一元二次方程 练习题 2.1.1 一元二次方程 同步练习题 知识点核心：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。一般形式为 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。核心考点：判断一元二次方程、化为一般形式、确定各项系数。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. $$x+2=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$xy+1=0$$ D. $$\frac{1}{x}+x=2$$ 2. 一元二次方程 $$2x^2-5x+1=0$$ 的二次项系数是（） A. 2 B. -5 C. 1 D. 0 3. 方程 $$3x^2=4x-1$$ 化为一般形式后，常数项为（） A. -1 B. 1 C. -4 D. 3 4. 若方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$ 是一元二次方程，则m的取值范围是（） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m\gt2$$ D. $$m\lt2$$ 5. 下列关于 $$x^2=6$$ 的说法正确的是（） A. 不是整式方程 B. 是一元二次方程 C. 未知数最高次数是1 D. 含有两个未知数 6. 一元二次方程 $$x^2-x=0$$ 的一次项系数是（） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程的一般形式是________。 2. 方程 $$5x^2-3x-2=0$$ 的常数项是________。 3. 方程 $$4x^2=1$$化为一般形式为________。 4. 若 $$ax^2+2x-1=0$$ 是一元二次方程，则a需要满足________。 5. 一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程、只含一个未知数、________。 三、解答与计算题（共56分） 1. （12分）判断下列方程是否为一元二次方程，说明理由。 （1）$$x^2+3x-1=0$$ （2）$$2x+1=0$$ （3）$$x^2+y=2$$ 2. （14分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）$$3x^2=5x-2$$ （2）$$(x+1)(x-2)=0$$ 3. （14分）已知方程 $$(k-1)x^{k^2+1}+2x-3=0$$ 是一元二次方程，求k的值。 4. （16分）根据题意列一元二次方程：一个数的平方与这个数的3倍的和等于10，求这个数（只列方程，不求解）。 四、拓展应用题（附加10分） 已知矩形的长比宽多2，面积为48，设矩形的宽为x，列出关于x的一元二次方程，并化为一般形式。 参考答案 一、选择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 二、填空题 1. $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$ 2. -2 3. $$4x^2-1=0$$ 4. $$a eq0$$ 5. 未知数最高次数为2 三、解答题详细解析 1. 解：（1）是，整式方程、只含x一个未知数、最高次数为2； （2）不是，未知数最高次数为1，是一元一次方程； （3）不是，含有x、y两个未知数。 2. 解：（1）移项整理得：$$3x^2-5x+2=0$$，二次项系数3，一次项系数-5，常数项2； （2）展开整理得：$$x^2-x-2=0$$，二次项系数1，一次项系数-1，常数项-2。 3. 解：由题意得：$$k^2+1=2$$且$$k-1 eq0$$，解得$$k^2=1$$，$$k=\pm1$$。 又$$k eq1$$，故$$k=-1$$。 4. 解：设这个数为x，根据题意列方程：$$x^2+3x=10$$。 拓展应用题答案 解：设宽为x，则长为$$x+2$$，由面积公式得：$$x(x+2)=48$$，一般形式：$$x^2+2x-48=0$$。 课时知识点总结 本节课重点掌握一元二次方程的定义和一般形式。判断核心三要素：整式方程、单未知数、最高次数为2，且二次项系数不为0。做题常考题型：方程判别、整理一般形式、求参数取值、根据实际问题列方程，注意整理方程时必须将右边化为0，规范书写各项系数。 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗? 8m 5m 2 知识点1 一元二次方程的概念 问题1 如果设所求的宽度为 x m，那么你能列出怎样的方程? (8-2x)(5-2x)=18 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 2x²-13x+11=0 18m² 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示 其余四个数? 根据题意，你能列出怎样的方程? x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)² (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) x x²-8x-20=0 问题3 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗? =6(m) 如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程? (x+6)²+7²=10² 1 m 知识点1 一元二次方程的概念 x m 10 m 8 m x²+12x-15=0 知识点1 一元二次方程的概念 由上面三个问题，得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18， x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²， (x+6)²+7²=10²。 这三个方程有什么共同特点? ①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 2x²-13x+11=0 x²-8x-20=0 x²+12x-15=0 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 知识点1 一元二次方程的概念 例1 下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ） ①； ； ③； ④； ； ⑥ (m是常数)； ⑦ ； ⑧ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念；√ 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念；√ 含有两个未知数；× 含有未知数的式子不都是整式；× 未知数的最高次数是 3；× 当m=0 时，未知数的最高次数是 1；× 整理，得x=0；× 含有未知数的式子不都是整式。× B 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 知识点1 一元二次方程的概念 我们把ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 知识点2 一元二次方程的一般形式 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0。 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0。 思考：为什么规定a≠0？ 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 等号右边为0 知识点2 一元二次方程的一般形式 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 x²=-2x+6； 4-3x²=0； (4x+1)(2x-3)=-3； (x-1)²+3x=4x²。 解： 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 例2 x²+2x-6=0 1 2 -6 3x²-4=0 3 0 -4 4x²-5x=0 4 -5 0 3x²-x-1=0 3 -1 -1 知识点2 一元二次方程的一般形式 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是(　D　) A. x－2y＝2024 B. x2＋1＝ C. x2－2y＋1＝0 D. x2－2x＋1＝0 D 2. 将一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式(a＞0) 后，一次项系数为(　B　) A. 4 B. －4 C. －1 D. 1 B 随堂练习 3. 两个连续奇数的平方和为130，若设较小的数为 x，则可列方程为 ⁠. x2＋(x＋2)2＝130　 4. [高频易错]若方程(m－1)x｜m｜＋1＋2mx－3＝0是 关于x的一元二次方程，则m的值为 ⁠. －1　 随堂练习 5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式(a＞ 0)，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)3x2－1＝2x； 解：(1)整理，得3x2－2x－1＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－2，常数项为－1. (2)x(x－2)＝4x2－3x. 解：(2)整理，得3x2－x＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－1，常数项为0. 解：(1)整理，得3x2－2x－1＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－2，常数项为－1. 解：(2)整理，得3x2－x＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－1，常数项为0. 随堂练习 6. 根据下列问题，列出一元二次方程，并化为一般 形式. (1)在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶 上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，要使整个挂 图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm； 解：(1)根据题意得(80＋2x)(50＋2x)＝5000， 化为一般形式为4x2＋260x－1000＝0. 解：(1)根据题意得(80＋2x)(50＋2x)＝5000， 化为一般形式为4x2＋260x－1000＝0. 随堂练习 (2)如图，某中学有一块矩形场地，计划在该场地上 修筑宽都为1m的两条互相垂直的道路(阴影部分)， 余下的四块矩形小场地建成草坪.若矩形场地的长与 宽之比为2∶1，并且四块草坪的面积之和为 144m2，设这块矩形场地的宽为xm. 解：(2)由题意得(2x－1)(x－1)＝144， 化为一般形式为2x2－3x－143＝0. 解：(2)由题意得(2x－1)(x－1)＝144， 化为一般形式为2x2－3x－143＝0. 随堂练习 知识点1 一元二次方程的定义 1.下列方程中，是一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 19 2.若关于的方程是一元二次方程，则 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 20 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.［教材习题 变式］ 填表： 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数项 _________________ ___ ____ ____ _____________ ____ ___ ____ _____________ ___ ____ ___ ________________ ___ ___ ____ 1 10 10 0 5 0 1 7 返回 中考考法 21 知识点3 建立一元二次方程模型 4.某小区有一块正方形的空地，从这块空地上划出部 分区域进行绿化（图中阴影部分），原空地一边减 少了，另一边减少了 ，剩余空地的面积为 ，求原正方形空地的边长。设原正方形空地的 边长为 ，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 22 5.两个相邻奇数的积是195，求这两个奇数。设较小的奇数为 ，则可列 方程为_______________。 返回 中考考法 23 6.若关于的一元二次方程 化为一般形式后 的二次项系数为1，一次项系数为，则 的值为( ) C A.1 B.3 C. D.0 返回 中考考法 24 7. ［教材习题 变式］ 《九章算术》中记载：“今有 户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是： 有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它 的高与宽各是多少？设矩形门的宽为 尺，则依题意所列方程为_______ ________________（1丈尺，1尺 寸）。 返回 中考考法 25 一元二次方程 定义 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 一般形式 课堂小结 $