2.2.4因式分解法（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过小球竖直上抛运动的实际问题导入，对比公式法、错误约分化简与因式分解法的求解过程，衔接配方法、公式法，构建解法知识体系。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过错误解法辨析发展推理意识，用“右化0、左分解”口诀强化模型意识。实例丰富且易错点突出，助力学生掌握简便解法，教师可高效开展对比教学与方法选择指导。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 2.2.4因式分解法 第二章 一元二次方程 北师大版八年级数学2.2.4 因式分解法 同步讲义与习题 本节课学习解一元二次方程的最简快捷方法——因式分解法，相比于配方法、公式法，因式分解法计算量小、解题速度快，是考试首选简便解法。核心思路是将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，适用于可因式分解的方程，是期末基础计算高频考点。 一、核心知识点精讲 1. 因式分解法核心原理 若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0。 数学逻辑：若$$AB=0$$，则 $$A=0$$ 或 $$B=0$$。 利用该原理，将一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0$$ 分解为 $$(mx+n)(px+q)=0$$ 的形式，直接拆分求解两个根。 2. 因式分解法常用两种方法 - 提公因式法：方程各项有公共因式，直接提取公因式分解（最基础、最常用） - 十字相乘法：针对二次三项式 $$x^2+px+q=0$$，拆分常数项凑一次项，快速因式分解 3. 因式分解法标准解题四步骤 1. 移项：将方程所有项移到左边，右边化为0（必备前提） 2. 分解：将左边多项式因式分解，化为两个一次因式乘积形式 3. 拆分：根据积为0的原理，拆分为两个一元一次方程 4. 求解：分别解一次方程，得到方程的两个根 4. 适用条件与不适用情况 - 适用：方程可通过提公因式、十字相乘快速分解，计算简便 - 不适用：无法因式分解的方程，需改用公式法求解 5. 高频易错点（扣分重点） - 解方程严禁直接两边除以含未知数的式子，会丢失根 - 必须保证方程右边为0，再进行因式分解 - 十字相乘分解符号易出错，需核对一次项系数 二、经典例题示范（满分标准步骤） 例1 提公因式法：解方程 $$x^2-3x=0$$ 解：提公因式得：$$x(x-3)=0$$ ∴ $$x=0$$ 或 $$x-3=0$$ 解得：$$x_1=0,\ \ x_2=3$$ 例2 十字相乘法：解方程 $$x^2-5x+6=0$$ 解：因式分解得：$$(x-2)(x-3)=0$$ ∴ $$x-2=0$$ 或 $$x-3=0$$ 解得：$$x_1=2,\ \ x_2=3$$ 例3 移项后分解：解方程 $$(x+2)^2=4$$ 解：移项得：$$(x+2)^2-4=0$$ 平方差分解：$$(x+2+2)(x+2-2)=0$$ 化简得：$$x(x+4)=0$$ 解得：$$x_1=0,\ \ x_2=-4$$ 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 解方程 $$x(x-1)=0$$ 的根是（ ） A. $$x=0$$ B. $$x=1$$ C. $$x_1=0,x_2=1$$ D. 无解 2. 用因式分解法解 $$x^2-4x=0$$，提取的公因式是（ ） A. $$x$$ B. $$x-4$$ C. $$4x$$ D. $$x^2$$ 3. 方程 $$x^2+2x-3=0$$ 因式分解正确的是（ ） A. $$(x-1)(x+3)=0$$ B. $$(x+1)(x-3)=0$$ C. $$(x-1)(x-3)=0$$ D. $$(x+1)(x+3)=0$$ 4. 解方程 $$(x-2)^2=x-2$$ 最容易丢失的根是（ ） A. $$x=0$$ B. $$x=2$$ C. $$x=3$$ D. 无丢根 5. 下列方程适合用因式分解法求解的是（ ） A. $$x^2-2x-2=0$$ B. $$2x^2+3x+1=0$$ C. $$x^2+2x+2=0$$ D. $$3x^2-x-1=0$$ （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 若 $$(x+1)(x-5)=0$$，则方程的两根为________。 2. 因式分解法解方程的前提是把方程右边化为________。 3. 方程 $$2x^2-6x=0$$ 提公因式后为________，根为________。 4. 方程 $$x^2-9=0$$ 用平方差分解为________，根为________。 5. 解方程 $$x^2-7x+12=0$$，十字相乘分解为________。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）用因式分解法解下列方程： （1）$$x^2+5x=0$$ （2）$$3x^2-6x=0$$ 2.（16分）用十字相乘法解方程：$$x^2-2x-8=0$$ 3.（18分）用因式分解法解方程：$$(x-3)^2=2(x-3)$$ 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.C 解析：乘积为0，两个因式分别为0，得两根。 2.A 解析：两项均含公因式$$x$$。 3.A 解析：十字相乘，-1和3相乘为-3，相加为2，符合一次项系数。 4.B 解析：若直接两边除以$$x-2$$，会丢失$$x=2$$这个根。 5.B 解析：B选项可十字相乘分解，其余无法整数因式分解。 （二）填空题 1. $$x_1=-1，x_2=5$$ 2. 0 3. $$2x(x-3)=0$$；$$x_1=0，x_2=3$$ 4. $$(x+3)(x-3)=0$$；$$x_1=3，x_2=-3$$ 5. $$(x-3)(x-4)=0$$ （三）解答题 1. 解：（1）提公因式得 $$x(x+5)=0$$，解得 $$x_1=0，x_2=-5$$ （2）提公因式得 $$3x(x-2)=0$$，解得 $$x_1=0，x_2=2$$ 2. 解：因式分解得 $$(x-4)(x+2)=0$$ 则 $$x-4=0$$ 或 $$x+2=0$$ 解得：$$x_1=4，x_2=-2$$ 3. 解：移项得 $$(x-3)^2-2(x-3)=0$$ 提公因式$$(x-3)$$得：$$(x-3)(x-3-2)=0$$ 化简：$$(x-3)(x-5)=0$$ 解得：$$x_1=3，x_2=5$$ 五、课时小结 1. 因式分解法是解一元二次方程最快的方法，核心口诀：右化0、左分解、各为0、解两根； 2. 常用分解技巧：提公因式、平方差公式、十字相乘法； 3. 核心禁忌：绝不随意除以含未知数的因式，避免丢根，是考试最易扣分点。 1.理解用因式分解法解方程的依据。 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程。 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。 学习目标 2 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h (单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 3 问题1 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 设小球经过t s落回地面，此时h=0，于是可得方程 15t-5t²=0。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小颖的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 因此 t=， 所以 t1=0，t2=3。 小颖的解法是正确的，她运用了公式法解方程。 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小明的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²=15t。 两边都约去 5t， 得 t=3。 小明的解法是错误的，他进行的方程变形不是同解变形。同解变形要求方程两边同时除以同一个不为0的数，他的做法漏掉了根为0的情况。 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小亮的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 即 5t(t-3)=0。 于是t=0，或t-3=0。 所以 t1=0，t2=3。 这样做的依据是什么？ 如果a · b=0，那么 a=0或 b=0. 小亮让方程一边为0，另一边分解成两个一次因式乘积的形式。 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小亮的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 即 5t(t-3)=0。 于是t=0，或t-3=0。 所以 t1=0，t2=3。 小亮的解法是正确的，他用的是本节要学的因式分解法。 当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 适用范围：一元二次方程的一边为 0 ，另一边易于分解成两个一次因式的乘积。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 解方程： (1)5x²=4x； 解：(1)原方程可变形为 5x²-4x=0， x(5x-4)=0。 x=0，5x-4=0。 所以 x1=0，x2=。 例1 (2)原方程可变形为 x(x-2)-(x-2)=0， (x-2)(x-1)=0。 x-2=0，或x-1=0。 所以 x1=2，x2=1。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 (2)x(x-2)=x-2。 思考 (1)解方程：x²-4=0，(x+1)²-25=0，x²+2x-3=0，x²+6x-8=0。 x²-4=0，因式分解，得(x+2)(x-2)=0， 所以x+2=0，或x-2=0， 所以x1=-2，x2=2。 (x+1)²-25=0，因式分解，得(x+6)(x-4)=0， 所以x+6=0，或x-4=0， 所以x1=-6，x2=4。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 思考：这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 还可以用直接开平方法解方程。 思考 (1)解方程：x²-4=0，(x+1)²-25=0，x²+2x-3=0，x²+6x-8=0。 x²+2x-3=0，配方，得x²+2x+1-1-3=0， 即(x+1)²=4， 开平方，得x+1=±2， 所以x1=1，x2=-3。 x²+6x-8=0，配方，得x²+6x+9-9-8=0， 即(x+3)²=17，开平方，得x+3=±， 所以x1=-3+，x2=-3-。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 思考 (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程? 用到了因式分解法、配方法。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解?   配方法 （直接开平方法） 公式法 因式分解法 各自 特点 共性 将一元二次方程转化为(x+m)²=n的形式；是解一元二次方程的通法。 是配方法的一般 化，将a，b，c直接代入求根公式求解；是解一元二次方程的通法。 将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，只能求特殊形式的方程。 都进行了恒等变形；都运用了转化思想，即将一元二次方程转化为一次方程或可直接求解的形式，即“降次”。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 一元二次方程的解法选择思路： 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 返回 考试考法 17 2. 若的两根分别是 与5,则多 项式 可以分解为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 18 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3. 方程 的解是( ) D A. B. C. , D. , 4. 用因式分解法解方程 ,若将左边分解后有一 个因式是,则 的值是( ) B A. B. 1 C. D. 5 返回 考试考法 19 5. 已知，，则 的值为 ___. 3 当题目中出现两个方程（含两个未知数）时，优先 用“代入消元”法将方程转化为只含一个未知数的方程，再求 解.注意本题中由，可得，隐含了 的限 制，解出结果后需验证是否符合隐含条件. . . 返回 考试考法 20 6.用因式分解法解下列方程： （1） ； 【解】原方程可变形为 ， ， 即 ， , . 考试考法 21 （2） . 原方程可变形为 . . 或 ， 解得， . 返回 考试考法 22 因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 一般步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。 课堂小结 $