河北邯郸市永年区第二中学等校联考2025-2026学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

2025－2026学年第二学期质量检测 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B D C D C C ABD AC BCD 12．164.5 13． 14．7 15．解：（1）由已知得，1分 由余弦定理，得，4分 解得或．6分 （2）因为，，所以．8分 当时，，．10分 同理当时，．12分 综上，的面积为．13分 16．解：（1）由题可知，，3分 解得．6分 （2）设“学生甲答对”，“学生乙答对”，“学生丙答对”， 则，，．7分 设“甲、乙、丙三人中有且仅有两人答对”， 则 11分 ．15分 17．解：（1）证明：因为平面，所以，1分 又因为是正方形，所以，又， 所以平面，2分 又平面，则，3分 因为，且，所以平面，4分 又平面，所以平面平面．5分 （2）易得，．6分 由（1）知平面，所以即为与平面所成角，且，8分 在中，．9分 （3）证明：如图，连接交于点O，连接．10分 由勾股定理知，，．11分 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以．13分 因为，所以，14分 所以F为的中点．15分 18．解：（1）设三棱柱上、下底面的中心分别为，，连接，，则O为的中点， 易得，，2分 则，所以，3分 因为是正三角形，所以．4分 所以四棱锥的体积．6分 （2）取和的中点D，E，显然，平面平面，且是正三角形， 设中点为Q，连接，则平面．8分 在上取的中心G，则，10分 过G作平面的垂线，则该垂线在平面内，且该垂线上任意一点到三顶点的距离相等，11分 所以四棱锥的外接球球心在该垂线上．12分 设该垂线交于点H，所以， 则，，，14分 ， ，15分 所以点H到B，M，N，四点的距离相等， 又点H到P，M，N的距离也相等，所以H为四棱锥的外接球球心，16分 所以四棱锥的外接球的表面积．17分 19．解：（1）证明：由，得， 即，2分 整理得，3分 所以，即，所以．4分 （2）证明：因为，7分 所以，8分 则．9分 （3）因为，10分 即，11分 所以，12分 由余弦定理，得，14分 解得，所以，又， 解得，，16分 所以，则．17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025—2026学年第二学期质量检测 高一数学 班级________ 姓名________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于x轴对称，则 A． B． C． D． 2．样本数据1，2，5，6，m的平均数为4，则 A．6 B．7 C．8 D．9 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则 A． B． C． D． 4．已知向量，，若且，则 A．28 B．32 C．36 D．40 5．某高中学校共有学生2700人，其中高一900人，高二1000人，其余为高三学生．该校为了调查学生的睡眠情况，采用分层随机抽样的方式，从高一与高二的学生中共抽取38人，则应从高三学生中抽取 A．20人 B．18人 C．16人 D．12人 6．在中，点D在线段上，且，则 A． B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 8．已知点P在矩形的边及其内部运动，且，，，若的最小值为，则 A．3 B．4 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．已知复数，则 A． B．复数对应的点在第二象限 C． D． 11．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，x表示第一次抛掷骰子的点数，y表示第二次抛掷骰子的点数．记事件，，，，则 A．A与C互斥 B．C与D互斥 C．A与B相互独立 D．B与D相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某校高二（1）班有30名女生，其身高数据（单位：）按从小到大排序如下： 151 152 154 154 154 155 156 156 158 158 160 160 161 161 162 162 162 163 163 164 164 165 165 166 166 167 168 169 170 171 则这30名同学身高数据的第70百分位数为________． 13．已知向量与的夹角为，，，则________． 14．已知x，y是正实数，复数，，若的实部与虚部相等，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且，，． （1）求a的值； （2）求的面积． 16．（本小题满分15分） 某中学为普及学生的人工智能知识，组织高一学生开展使用方法培训，并为每位学生发放《使用学习手册》．培训结束后，学校组织了针对高一学生使用能力的测试，并随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分）整理后分成5组：，，，，，并绘制成如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值． （2）现设置一道测试题，从成绩区间中随机抽到学生甲作答，其答对该题的概率为0.7，从成绩区间中随机抽到学生乙作答，其答对该题的概率为0.8，从成绩区间中随机抽到学生丙作答，其答对该题的概率为0.9．已知甲、乙、丙三人是否答对该题相互独立，求甲、乙、丙三人中恰有两人答对该题的概率． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点E在棱上，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点F在棱上，且平面，证明：F为中点． 18．（本小题满分17分） 如图，已知正三棱柱的外接球球心为O，底面边长，三棱锥为正四面体，P为侧棱的中点，点M，N在棱上，且，为正三角形． （1）求四棱锥的体积； （2）求四棱锥的外接球的表面积． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义． （1）若，证明：； （2）已知向量，的夹角为，向量，的夹角为，若，证明：； （3）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边上，为角A的平分线，，，，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $