精品解析：山东省烟台市蓬莱区（五四制）2025-2026学年六年级下学期期末数学试题

蓬莱区2025-2026学年第二学期期末学业水平考试初一数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 近日，中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需25微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．25微秒秒，将0.000025用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 射线和射线是同一条射线 B. 同角（或等角）的余角相等 C. 用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间，线段最短” D. 若，则点C是线段的中点 3. 下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，与属于同位角的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式的变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《算法统宗》里记载了这样一道题：有一批客人要住店，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，则该店有客房多少间？设该店有客房x间，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，以下说法中正确的个数为（ ） ①小明步行的速度是；②爸爸的速度是；③的值为12； ④当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 12. 若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 13. 如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 14. 已知关于的方程的解也是关于的方程的解，线段，在射线上取一点，恰好使，点为线段的中点，____． 15. 如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 16. 观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：______． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）（简便运算）； （3）． 18. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． 19. 阅读理解 我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即表格、图象及解析式． 这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系． 下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． （1）用表格表示： 时间 0.5 1 1.5 2 2.5 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______． （2）用图象表示：为更好的研究s随t的变化规律，它们之间的关系用图象表示为： 观察图象，并回答下列问题： ①当时，______． ②图中点A表示的意义是______ （3）用关系式表示：①设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．求s关于t的解析式． ②利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间______． 20. 小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． （1）一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． （2）第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 21. 如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． （1）与平行吗？为什么？ （2）若平分，，求的度数． 22. 解答以下问题 （1）填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值是__________． （2）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有__________颗黑色棋子； ②若表示黑色棋子的个数，表示第个图形，请写出关于的关系式； ③第几个图形中有6081颗黑色棋子？请说明理由． 23. 【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 （1）请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长．（用含的代数式表示） 24. “数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 （2）若x满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 25. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】：如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则_____°； （2）【探索证明】：如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】：如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2025-2026学年第二学期期末学业水平考试初一数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 近日，中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需25微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．25微秒秒，将0.000025用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 射线和射线是同一条射线 B. 同角（或等角）的余角相等 C. 用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间，线段最短” D. 若，则点C是线段的中点 【答案】B 【解析】 【分析】根据射线的定义、余角的性质、直线的性质和线段中点的定义，逐一分析各选项即可得到正确结论． 【详解】A、射线的端点是 射线的端点是，端点不同，延伸方向不同，不是同一条射线，故 A错误； B、余角的基本性质为同角（或等角）的余角相等，故B正确； C、用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点确定一条直线”，不是“两点之间，线段最短”，故 C错误； D、若点不在线段上，即使，点也不是线段的中点，故D错误． 故选：B． 3. 下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 4. 下列图形中，与属于同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可． 【详解】解：选项A是同位角，选项B、C、D不是同位角． 5. 一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设这个角的度数为未知数，根据余角定义和题干的数量关系列方程求出这个角，再根据补角定义计算所求补角的度数即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，列方程得， 解得， 即这个角为， ∴这个角的补角为． 6. 下列等式的变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵若，可得或，∴A变形错误； B选项：∵若，根据等式性质，两边同时加同一个数等式仍成立，可得，∴B变形错误； C选项：∵中分母不为，隐含条件，等式两边同乘可得，∴C变形正确； D选项：∵若，当时，与无意义，该变形不成立，∴D变形错误． 7. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长等于火车长，此时y最大，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 8. 我国古代数学著作《算法统宗》里记载了这样一道题：有一批客人要住店，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，则该店有客房多少间？设该店有客房x间，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程即可． 【详解】解：设该店有客房x间， ∵如果每一间客房住7人，还有7人无房可住， ∴住房的总人数为； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，则实际住了间房， ∴住房的总人数为， ∵住房的总人数不变， ∴． 9. 已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，以下说法中正确的个数为（ ） ①小明步行的速度是；②爸爸的速度是；③的值为12； ④当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键．根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a的值；即判断①②③；④分三种情况，然后分别计算出相应的时间，即可求解． 【详解】解：由图象可得，小明的速度为：，故①不正确； 爸爸的速度为：，故②正确； ，故③正确； 当小明与爸爸相距时，设小明出发后的时间为， 爸爸出发前：，解得； 爸爸出发后与小明相遇之前：，解得； 小明与爸爸相遇之后：，解得； 综上所述，当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或，故④正确． 故选：C． 10. 如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分三种情况：当点P在之间时，当点P在的下方时，当点P在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点P在之间时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A选项不符合题意； 当点P在的下方时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故B选项不符合题意； 当点P在的上方时，如图，过点P作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故C选项不符合题意；D选项符合题意； 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 12. 若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据在完全平方式中，两项是两个数或式的平方且符号相同，另一项是这两个数或式乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴，即． 13. 如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析单个圆环、两个圆环扣在一起时的长度，找出每增加一个圆环长度的变化规律，再据此列出个圆环扣紧时总长度与的关系式． 【详解】解：∵单个圆环的外圆直径为，环宽为， ∴每增加一个圆环，长度增加， ∵个圆环扣在一起时，第一个圆环长度为，后面还有个圆环， ∴总长度， ∵， ∴． 14. 已知关于的方程的解也是关于的方程的解，线段，在射线上取一点，恰好使，点为线段的中点，____． 【答案】或 【解析】 【分析】先求解关于的一元一次方程得到的值，根据同解方程的定义得到关于的方程中的值，代入求出的值，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，结合线段中点定义和线段和差关系计算的长度． 【详解】解：． 去分母得． 去括号得． 合并同类项得． 系数化为得． 关于的方程的解也是关于的方程的解． ． 将代入得∶． 解得． 由题意得，，分两种情况讨论∶ ①当点在线段上时∶ ． ，解得． 点为的中点． ． ． ②当点在线段的延长线上时∶ ，． ，解得． 点为的中点． ． ． 综上或． 15. 如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 17 【解析】 【分析】设正方形边长为，正方形边长为，根据面积差得出，观察图形可知阴影部分面积等于与面积之和，利用三角形面积公式及平方差公式求解.  【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，即； ∵四边形和均为正方形， ∴，，，， ∴点在同一直线上，且； ∵点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为， ∴点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为. ∴ ； ∵， ∴. 16. 观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到结果． 【详解】解：根据已知等式可得规律：， 设， 变形可得， 根据已知规律使，得：， 整理得， 等式两边同时除以，得：． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1）； （2）（简便运算）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再利用单项式乘以单项式的法则进行计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （3）先计算负整数指数幂、零指数幂、积的乘方，再计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1）， （2），11 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式运算法则以及完全平方公式进行化简，最后代入，计算即可得出结果； （2）括号内先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再计算多项式除以单项式，根据非负数的性质求出，，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ， 当时， 原式； 【小问2详解】 解： ， ， ， 整理得， ，， ，， 解得，， 把，代入得原式． 19. 阅读理解 我们可以用三种方式表示变量之间的关系，即表格、图象及解析式． 这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系． 下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． （1）用表格表示： 时间 0.5 1 1.5 2 2.5 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格可以直观的看到汽车行驶的路程和时间的关系．当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______． （2）用图象表示：为更好的研究s随t的变化规律，它们之间的关系用图象表示为： 观察图象，并回答下列问题： ①当时，______． ②图中点A表示的意义是______ （3）用关系式表示：①设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．求s关于t的解析式． ②利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的数值．如当时，所需时间______． 【答案】（1）120 （2）①150；②当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为 （3）①；②4 【解析】 【分析】（1）由表格求解即可； （2）①由图象求解即可；②由图象求解即可； （3）①由表格中的数据求解即可；②将代入求解即可． 【小问1详解】 解：由表格得，当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为； 【小问2详解】 解：①当时，； ②图中点A表示的意义是当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为； 【小问3详解】 解：①由表格得，，， ∴s关于t的解析式为； ②∵s关于t的解析式为 ∴当时， 解得． 20. 小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． （1）一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． （2）第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【答案】（1）小亮速度为，叔叔速度为； （2）． 【解析】 【分析】（1）设小亮的速度为，则叔叔的速度为，根据题意，两人反向出发后第一次相遇，两人路程和为，进而列方程求解即可； （2）设同向出发后，经过两人第一次相遇，根据同向跑首次相遇时，叔叔比小亮多跑1圈跑道长列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设小亮的速度为，则叔叔的速度为， 根据题意可知， 解得， 因此小亮速度为，叔叔速度为； 【小问2详解】 解：设同向出发后，经过两人第一次相遇， 根据题意列方程得：， 解得． 21. 如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． （1）与平行吗？为什么？ （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和同旁内角互补两直线平行，即可推导出结论； （2）根据两直线平行同位角相等和角平分线的定义可求得，然后根据两直线平行同旁内角互补，即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴． 22. 解答以下问题 （1）填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值是__________． （2）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有__________颗黑色棋子； ②若表示黑色棋子的个数，表示第个图形，请写出关于的关系式； ③第几个图形中有6081颗黑色棋子？请说明理由． 【答案】（1）900 （2）①18 ； ②； ③第2026个图形中有6081颗黑色棋子 理由：令， 解得， 第2026个图形中有6081颗黑色棋子． 【解析】 【分析】（1）根据图形写出，，…，由此即可得出规律； （2）①由图形可得第1个图形有黑色棋子颗，第2个图形有黑色棋子颗，第3个图形有黑色棋子颗，由此即可得出第5个图形黑色棋子颗数；②根据①得出规律即可；③令，求出的值即可． 【小问1详解】 解：由图形可得：，，，，，…， ． 【小问2详解】 解：①由图形可得：第1个图形有黑色棋子颗， 第2个图形有黑色棋子颗， 第3个图形有黑色棋子颗， ∴第5个图形有颗黑色棋子； ②由①可得第n个图形有黑色棋子颗， ∴； ③略． 23. 【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 （1）请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； （2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； （3）如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长．（用含的代数式表示） 【答案】（1）根据题意得， ； （2） （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）仿照题干的竖式运算方法进行计算即可； （2）仿照题干的竖式运算方法进行计算即可； （3）（i）根据长方形和正方形的周长公式，并结合长方形B的周长是长方形A的周长的3倍，计算即可得出结果；（ii）先求出长方形B的面积，再结合长方形的面积公式，仿照题干的竖式运算方法进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得， ∴另一个多项式为； 【小问3详解】 解：（i）根据题意得，， 解得； （ii）长方形B的长为，宽为， 长方形B的面积， ∵长方形C的一个边长为， ∴长方形C已知边长的邻边长为． 24. “数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 （2）若x满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）13 （2）10 （3）种草区域的面积和为60平方米． 【解析】 【分析】（1）利用公式求解即可； （2）设，则，进而得，利用公式变形，代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积，（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【小问1详解】 解：∵，而，， ∴， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； 【小问3详解】 解：设， 于点E，米， ，，，，， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 25. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】：如图（1），当三角尺的顶点在直线上时，若，则_____°； （2）【探索证明】：如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】：如图（3），把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数． 【答案】（1）34 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】(1) 过点作，利用平行线的传递性得到，根据内错角相等得到，，再由列等式求解． (2) 过点作，根据两直线平行同旁内角互补得，根据两直线平行内错角相等得，再结合建立等式求解． (3) 分两种情况讨论：当点在直线上方时，，则；当点在直线下方时，，则，由此解答即可． 【小问1详解】 解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 ，理由如下： 解：过点作， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 依题意有以下两种情况： ①当点在直线的上方时，如图（3）①所示： 三角尺的顶点放在直线上且保持不动， ， ，， ， ， ， 直线， ， 即射线与直线所夹锐角的度数为； ②当点在直线的下方时，如图（3）②所示： 三角尺的顶点放在直线上且保持不动， ， ，， ， ， ， 直线， ， 即射线与直线所夹锐角的度数为， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $