第一章 特殊平行四边形【章末复习】课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的定义、性质、判定及关系，通过知识框架图呈现四边形分类逻辑，用表格对比对称性、对角线特征等核心内容，构建完整知识网络。 其亮点在于结合易错点总结强化概念辨析，设计分层练习（基础选择填空到综合证明、拓展应用），如菱形面积计算既练公式应用又渗透几何直观，培养学生推理能力与应用意识，助力教师精准复习，提升学生知识巩固效果。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 章末复习 第一章 特殊平行四边形 第一章 特殊平行四边形 单元综合练习题 第一章 特殊平行四边形 综合同步练习 章节核心知识点梳理：特殊平行四边形包含菱形、矩形、正方形，均为特殊平行四边形，具备平行四边形所有性质。矩形核心：四角为直角、对角线相等；菱形核心：四边相等、对角线互相垂直；正方形兼具矩形和菱形全部性质，是最特殊的平行四边形。解题关键：区分三类图形的性质与判定条件，明确判定前提，规避概念混淆、条件缺失等易错点。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列图形中，对角线互相垂直且相等的是（） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 2. 菱形具有但矩形不具有的性质是（） A. 对边平行 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 四个角为直角 3. 下列条件，不能判定平行四边形为矩形的是（） A. 对角线相等 B. 有一个角为直角 C. 邻边相等 D. 四角相等 4. 已知矩形对角线夹角为60°，较短边长4，则对角线长为（） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 下列说法正确的是（） A. 对角线垂直的四边形是菱形 B. 三个角为直角的四边形是矩形 C. 邻边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 6. 正方形、矩形、菱形都具有的性质是（） A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 四角为直角 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 对角线互相垂直的平行四边形是________。 2. 对角线相等的平行四边形是________。 3. 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是________。 4. 菱形面积的计算方法：底×高或________。 5. 直角三角形斜边上的________等于斜边的一半。 三、解答证明与计算题（共56分） 1. （12分）已知平行四边形ABCD，对角线AC⊥BD。求证：四边形ABCD是菱形。 2. （14分）已知平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。 3. （14分）已知矩形ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是正方形。 4. （16分）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，求菱形的边长、周长和面积。 四、拓展应用题（附加10分） 已知四边形ABCD对角线互相平分、相等且垂直，求证：四边形ABCD是正方形。 参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 二、填空题 1.菱形 2.矩形 3.正方形 4.对角线乘积的一半 5.中线 三、解答题详细解析 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线互相平分。又∵AC⊥BD，根据菱形判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴四边形ABCD是菱形。 2. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，根据矩形判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形。 3. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四个角均为直角。又∵AB=BC，即矩形一组邻边相等，根据正方形判定定理：一组邻边相等的矩形是正方形，∴四边形ABCD是正方形。 4. 解：菱形对角线互相垂直平分，可得半对角线长分别为3、4。由勾股定理得边长=$$\sqrt{3^2+4^2}=5$$。周长=4×5=20，面积=$$\frac{1}{2}×6×8=24$$。答：边长为5，周长为20，面积为24。 拓展应用题答案 证明：∵对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形。∵对角线相等，∴平行四边形是矩形；∵对角线互相垂直，∴平行四边形是菱形。既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故四边形ABCD是正方形。 章节易错点总结 1. 判定图形必须看清前提：普通四边形、平行四边形的判定条件不同，不可混用；2. 对角线相等不能直接判定矩形，对角线垂直不能直接判定菱形，需先为平行四边形；3. 正方形判定需同时满足矩形和菱形双重条件，单一条件无法判定；4. 菱形面积优先使用对角线乘积的一半计算，避免公式混淆。 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形的性质 菱形的判定 矩形的性质 矩形的判定 正方形的性质 正方形的判定 知识点1 特殊的平行四边形 1.定义： 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。 矩形：有一个角是直角的平行四边形。 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。 知识点1 特殊的平行四边形 2.四边形之间的关系 四边形 平行四边形 梯形 矩形 菱形 正方形 知识点1 特殊的平行四边形 3.菱形、矩形、正方形的对称性 图形 对称性 对称轴 对称轴条数 对角线所在直线 过对边中点的直线 对角线所在直线及过对边中点的直线 2条 2条 4条 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 知识点2 菱形的性质与判定 菱形的其他特殊性质： (1)菱形的每条对角线都平分一组对角。 (2)菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等。 1.菱形的性质 A C B D O 知识点2 菱形的性质与判定 2.菱形的面积 菱形的面积： 方法一：菱形的面积 = 底×高。 S菱形ABCD=BC·AE。 方法二：菱形的面积= 对角线乘积的一半。 S菱形ABCD=AC·BD。 A B C D E O 知识点2 菱形的性质与判定 3.菱形的判定 判定方法 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形是菱形。 ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形。 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形。 知识点2 菱形的性质与判定 四条边 。 对角线互相 。 有一组邻边 。 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 知识点3 矩形的性质与判定 矩形的其他性质： 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 1.矩形的性质 A B D C O 知识点3 矩形的性质与判定 2.矩形的判定 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴□ABCD是矩形。 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 A B D C O 知识点3 矩形的性质与判定 有三个角是 。 对角线 。 有一个角是 。 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 知识点4 正方形的性质与判定 1.正方形的性质 A B C D O 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 知识点4 正方形的性质与判定 2.正方形的判定 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点4 正方形的性质与判定 2.正方形的判定 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点4 正方形的性质与判定 3.中点四边形 形状：中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。 原四边形对角线关系 不相等 不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 图示 平行四边形 菱形 矩形 正方形 核心考点巩固 考点1 菱形的性质与判定 1.在菱形中，对角线，相交于点 ，下列结论中不一定正确 的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 17 2.[西工大附中期中] 如图，四边形 是菱 形，，，于点 ，则 的长是( ) C A. B.6 C. D.12 返回 中考考法 18 3.在中，对角线,相交于点，且平分 。若 ,的周长为16，则对角线 的长为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 19 4.如图，在中，点在上， ， 的平分线交于点，连接 。求证：四 边形 是菱形。 中考考法 20 证明： 四边形 是平行四边形， 。 。 平分， ， ， 。 ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形， 又, 四边形 是菱形。 返回 中考考法 21 5.[佛山期末] 如图，在中，对角线的垂直平分线与边 ， 分别相交于点， 。 （1）求证：四边形 是菱形； 中考考法 22 解：证明：在中， , 。 对角线的垂直平分线与边，分别相交于点， ， ， , ， ， ， 四边形 是平行四边形。 又, 四边形 是菱形。 中考考法 23 （2）若,, ，求 的长。 解： 四边形是菱形，, ， 。 ， ， 即，解得 。 的长为1.6。 返回 中考考法 24 考点2 矩形的性质与判定 （第6题） 6.如图，过矩形对角线的交点 ，且分别 交，于， ，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 25 （第7题） 7.如图，在矩形中，对角线, 相交于 点，点,分别是,的中点， , ，则 的周长为( ) D A.6 B.7 C. D. 返回 中考考法 26 8.[广州中考] 如图，菱形 的面积为10，点 ，，，分别为，，， 的中点， 则四边形 的面积为( ) B A. B.5 C.4 D.8 返回 中考考法 27 9. 如图，点在 的边 上， ，请从以下三个选项中，选择 一个合适的选项作为已知条件，使 为矩 形。 ；； 。 （1）你添加的条件是____________（填序号）； ①（或） 中考考法 28 （2）添加条件后，请证明 为矩形。 证明：（添加条件 ） 四边形 是平行四边形， ， 。 在和中， 。 。 ， 。 中考考法 29 。 为矩形。 （添加条件 ） 四边形 是平行四边形， ， 。 在和中， 。 。 中考考法 ， 。 。 为矩形。 返回 中考考法 考点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （第10题） 10. 如图，一个长的梯子 斜靠在 与地面垂直的墙上，为的中点，当梯子的一端 沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时， 的 长( ) D A.先增大，后减小 B.逐渐减小 C.逐渐增大 D.不变 返回 中考考法 32 （第11题） 11.如图，菱形的对角线，交于点，过点 作于点，连接，若， ，则 的长为( ) D A.2.5 B.2 C.3.5 D.3 返回 中考考法 33 考点4 正方形的性质与判定 12.满足下列条件的四边形一定是正方形的是( ) D A.对角线互相平分的四边形 B.有三个角是直角的四边形 C.有一组邻边相等的平行四边形 D.对角线相等的菱形 返回 中考考法 34 （第13题） 13.如图，正方形的对角线,交于点, 为边 上一点，且，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 35 （第14题） 14.如图，在边长为4的正方形中，是边 上 一点，是边延长线上一点，连接，， 平 分，交于点,连接。若 ， 则 ( ) D A.2 B. C. D. 返回 中考考法 36 $