2.1认识一元二次方程第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及列方程，通过梯子滑动、连续整数平方和等实际问题导入，结合一元一次方程的知识回顾，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以情境化问题驱动学习，通过矩形地毯面积计算等实例抽象方程，培养抽象能力与模型观念。分情况讨论a≠0深化概念理解，发展推理意识。课堂小结系统梳理知识要点，助力学生构建体系，教师可直接用于教学提升效率。

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第1课时 章节导读 本章将在一元一次方程的基础上，进一步学习一元二次方程。你将经历从实际问题中抽象出一元二次方程的过程，研究一元二次方程的各种解法，运用一元二次方程解决一些简单实际问题，不断发展抽象能力、运算能力、模型观念等，增强应用意识. 一架斜靠在墙上的梯子，当其顶端下滑一段距离时，其底端也会滑动相同距离吗?五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能找出这样的一组整数吗?虽然这些问题看似毫无关系，但是解决它们的方法却有内在的联系. 学 习 目 标 1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是否为一元二次方程;（重点） 2.能够将一个一元二次方程化为一般形式，并能指出二次项系数、一次项系数和常数项; 3.能根据简单的实际问题列一元二次方程.(难点） 知识回顾 在一个方程中，只含有______________，且未知数的指数都是______，这样的方程叫做一元一次方程． 1.什么是一元一次方程？ 一个未知数 1 2.一元一次方程的一般形式是什么？ 一元一次方程的一般形式是：ax＋b＝0（a，b是常数，a 0）． ≠ 情境引入 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 你能求出四周未铺地毯的条形区域的宽度吗？ 你能找出其中的相等关系吗？ 地毯的长×宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 新知探究 上述问题中,如果设所求的宽度为 x m,那么你能列出怎样的方程？ 解:设所求的宽度为xm， 则中间地毯的宽表示为_________m, 长表示为________m, 根据题意，可得方程: ， 化简，得_________________. 探究一：一元二次方程的概念 (5-2x) (8-2x) (8-2x)(5-2x)=18 x x x x 2x2 - 13x + 11 = 0 观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142. 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？你能列出怎样的方程？ 新知探究 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， .　 根据题意，可得方程： 　　　　　 　　　, 化简，得 . x2 - 8x - 20＝0 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米？ 你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗？如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程？ 新知探究 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙　　　m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙 　　 m , 根据题意，可得方程： ， 化简，得 . 6 x+6 72 + (x + 6)2 = 102 1m xm x2 + 12 x - 15 = 0 6m 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 72 + (x + 6)2 = 102 新知探究 共同特点： ①只含有一个未知数; ②未知数的最高次数是2; ③整式方程． 这三个方程有什么共同特点？与同伴进行交流. 2x2 - 13x + 11 = 0 ； x2 - 8x - 20＝0； x2 + 12 x - 15 = 0. 化简整理 新知探究 知识归纳 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 我们把ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 一元二次方程的一般形式 新知探究 ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数. 知识归纳 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 一元二次方程的项及其系数 新知探究 当 a = 0 时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 当 a ≠ 0 ， c = 0时 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0 当b ≠ 0时，为 一元一次方程 一元二次方程 为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？ 新知探究 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再根据定义作判断. 1.下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（ ） C 含两个未知数 不是整式方程 化简整理得 x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 新知探究 探究二：建立一元二次方程模型 解:设剪去的正方形边长为x cm,则无盖方盒的底面的长为(25-2x) cm ，宽为(15-2x ) cm . 根据题意，可列方程为(25-2x)(15-2x)= 300, 整理得：4x2 -8x+75 ＝0. 桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？请根据题意列出方程． 15㎝ 25㎝ 300cm2 新知探究 列一元二次方程的基本思路： 知识归纳 (1)审清题意，弄清已知和未知，找出等量关系； (2)设未知数，一般求什么就设什么为x； (3)用含未知数的代数式表示等量关系中的量,将问题转化为方程,即列出方程． 新知探究 2.小明用30厘米长的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长为 厘米，列方程得 ，一般形式为 . 13cm (17-x) x2+(17-x)2=132 x2-17x十60=0 典例分析 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ 例1 (1)ax2-x=2x2； (2)(a-1)-2x-7=0. 解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0，所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程. (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 典例分析 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数. 例2 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为： 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号. 典例分析 如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程． 例3 解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程． 解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm. 根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81. 整理，得x2－17x＋51＝0(x＜)． 巩固练习 1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( ) ①x²-2xy+1=0； ②x²-x-=0；③x²+-2=0； ④x(x+3)=x²-1；⑤x²=6；⑥x³-x+4=0。 A.1 B.2 C.3 D.4 B 2.一元二次方程3x2-5-4x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A.3，-5，-4 B.3，-4，5 C.3，-4，-5 D.3，-5，4 C 巩固练习 3. 方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( ) A. x2－5x+5=0 B. x2+5x+5=0 C. x2+5x－5=0 D. x2+5=0 A 4.为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为xm,根据题意可列方程( ) A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 C 巩固练习 7.用一块长宽分别为8cm，6cm的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm2的长方体盒子，据上述题意，可得方程：　 　　　　　　　． (8-2x)(6-2x)=15 5.下列方程中：①-y=0；②2x2-x-3=0；③=3；④x2=2+3x；⑤x3-x+4=0；⑥t2=2；⑦x2+3x-=0；⑧=2.其中，是一元二次方程的是　　　 (填入序号即可).  ①②④⑥ 6.将方程x(3+x)=-2化成一元二次方程的一般形式为　　　　 .  x2+3x+2=0 巩固练习 8.关于x的方程(m-3)x=5是一元二次方程，求m的值. 解:因为已知原方程为一元二次方程， 所以m2-7=2且m-3≠0， 得 m=-3, 即当关于x的方程(m-3)x=5是一元二次方程时，m= -3. 巩固练习 9.把下列关于x的一元二次方程化成一般形式,并写出二次项系数、一次项系数及常数项. (1)(2x+1)2=(x+1)(x-1)+3; (2)x(x-a)=a(2x2+x). 解:(1)去括号,得 4x2+4x+1=x2-1+3. 移项，得4x2+4x+1-x2+1-3=0. 合并同类项,得 3x2+4x-1=0. ∴原方程的二次项系数为 3,一次项系数为 4,常数项为 -1. (2)去括号,得x2-ax= 2ax2+ax. 移项、合并同类项得(2a-1)x2+2ax=0. ∵已知原方程是一元二次方程， ∴2a-1≠0. ∴二次项系数为2a-1(这里a≠)， 一次项系数为2a,常数项为0. 巩固练习 10.若关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,求该方程的二次项系数。 解:(m-3)x2+m2x=9x+5可化为(m-3)x2+(m2-9)x-5=0， 由题意得m2-9=0且m-3 ≠0， 解得 m = -3. 故该关于x的一元二次方程的二次项系数为m-3=-3-3=-6. 巩固练习 解：答案不唯一。 例如，可设三边长分别为x-1，x，x+1(x>1)。 根据题意，得(x-1)²+x²=(x+1)²， 化成一般形式为x²-4x=0。 11.根据题意到出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。 我们把ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 课堂小结 认识一元二次方程-第1课时 一元二次方程的定义 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式 其中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数. 列一元二次方程的基本思路 (1)找等量关系； (2)设未知数； (3)列出方程． 作业布置 1.必做题：习题2.1第1，2题。 2.探究性作业：习题2.1第6题。 感谢聆听! $