第一章 特殊平行四边形章末总结课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦特殊平行四边形，系统梳理菱形、矩形、正方形的定义、性质、判定及四边形关系，通过韦恩图展示概念脉络，以平行四边形为基础构建知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于结合几何直观与推理能力，用表格对比图形性质判定，例题提供多解法（如例3三种证菱形方法），融入折叠、对称等问题发展空间观念。学生能深化逻辑思维，教师可依托资料高效开展教学。

第一章 特殊平行四边形 章末总结 九上数学北师 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形的性质 菱形的判定 矩形的性质 矩形的判定 正方形的性质 正方形的判定 单元知识梳理 知识点1 特殊的平行四边形 1.定义： 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。 矩形：有一个角是直角的平行四边形。 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。 单元知识梳理 知识点1 特殊的平行四边形 2.四边形之间的关系 四边形 平行四边形 梯形 矩形 菱形 正方形 单元知识梳理 知识点1 特殊的平行四边形 3.菱形、矩形、正方形的对称性 图形 对称性 对称轴 对称轴条数 对角线所在直线 过对边中点的直线 对角线所在直线及过对边中点的直线 2条 2条 4条 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 单元知识梳理 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，BE=DF。 (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)AC交EF于点O，延长AC至点G，使EG=AE。求证:四边形AEGF是菱形。 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AD//BC，AB//DC，∠BAD=90°，AB=AD， ∴ ∠B+∠BAD=180°， ∠D+∠BAD=180°， ∴ ∠B=∠D=90°。 ∵ BE=DF，AB=AD， ∴ △ABE≌△ADF(SAS)。 例1 单元知识梳理 证明:(2)∵四边形ABCD是正方形， ∴ BC=DC。 ∵ BE=DF， ∴ CE=CF， ∴点C在EF的垂直平分线上。 ∵ △ABE≌△ADF， ∴ AE=AF， ∴点A在EF的垂直平分线上， 如图，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在边BC和CD上，BE=DF。(1)求证：△ABE≌△ADF。 (2)AC交EF于点O，延长AC至点G，使EG=AE。求证：四边形AEGF是菱形。 例1 ∴ AC垂直平分EF， ∴ EG=FG。 ∵ EG=AE， ∴ AF=EG，AE=FG， ∴四边形AEGF是平行四边形。 ∵ EG=AE， ∴四边形AEGF是菱形。 单元知识梳理 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，AC上的点，G是AB延长线上的点，且EF//CD， ∠BEG= ∠CDF。 求证：DF=EG。 证明:如图，连接BF。 ∵ AC所在直线是菱形ABCD的对称轴， ∴ ∠CDF=∠CBF，DF=BF。 ∵ ∠BEG=∠CDF， ∴ ∠BEG=∠CBF， ∴ BF//EG。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ DC//AB，又EF//CD， ∴ EF//BG， ∴四边形FBGE是平行四边形， ∴ BF=EG， ∴ DF=EG。 例2 单元知识梳理 知识点2 菱形的性质与判定 1.菱形的性质 定理1：菱形的四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD。 定理2：菱形的对角线互相垂直。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD。 A C B D O 四边形 边 角 对角线 对称性 菱形 对边平行， 四条边相等 互相垂直平分 对角相等 中心对称图形， 轴对称图形 单元知识梳理 知识点2 菱形的性质与判定 菱形的其他特殊性质： (1)菱形的每条对角线都平分一组对角。 (2)菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等。 1.菱形的性质 A C B D O 单元知识梳理 知识点2 菱形的性质与判定 2.菱形的面积 菱形的面积： 方法一：菱形的面积 = 底×高。 S菱形ABCD=BC·AE。 方法二：菱形的面积= 对角线乘积的一半。 S菱形ABCD=AC·BD。 A B C D E O 单元知识梳理 知识点2 菱形的性质与判定 3.菱形的判定 判定方法 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形是菱形。 ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形。 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形。 单元知识梳理 知识点2 菱形的性质与判定 四条边 。 对角线互相 。 有一组邻边 。 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 单元知识梳理 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB 的平行线，交AC于点E，交AB于点F。求证：四边形AEDF是菱形。 解：方法一 ∵DE//AC，DF//AB， ∴四边形AEDF为平行四边形。 ∵AD是△ABC的角平分线，　 ∴∠BAD=∠CAD， 又∵DE//AC， ∴∠EDA =∠FAD， ∴∠EDA =∠BAD ， ∴AE=DE， ∴四边形AEDF为菱形。 例3 知识点2 菱形的性质与判定 方法二 ∵AD是△ABC的角平分线，　 ∴∠EAD=∠FAD， ∵DE//AC，DF//AB， ∴∠EDA =∠FAD，∠EAD =∠ADF， ∴∠EDA =∠EAD =∠ADF=∠FAD， ∴AE=DE，AF=DF。 ∵AD=AD，∴△AED≌△AFD， ∴AE=DE=AF=DF。 ∴四边形AEDF为菱形。 单元知识梳理 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB 的平行线，交AC于点E，交AB于点F。求证：四边形AEDF是菱形。 解：方法三 连接EF。 ∵DE//AC，DF//AB， ∴四边形AEDF为平行四边形。 ∵AD是△ABC的角平分线，　 ∴∠EAD=∠FAD， ∵DE//AC，DF//AB， ∴∠EDA =∠FAD，∠EAD =∠ADF， ∴∠EDA =∠EAD ，∠ADF=∠FAD， ∴AE=DE，AF=DF。 例3 知识点2 菱形的性质与判定 ∴EF垂直平分AD, ∴EF⊥AD， ∴四边形AEDF为菱形。 单元知识梳理 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是AB的 中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF。若 A′E与菱形ABCD的对角线平行，求DF的长。 解：情况一：如图，连接AC，过点E作EG⊥AD于点G。 在菱形ABCD中，AD=DC，DC∥AB， ∴∠DAC=∠DCA，∠CAB=∠DCA， ∴∠DAC=∠CAB=∠DAB＝30°。 当A′E∥AC时，∠CAE=∠A′EB＝30°， ∴∠AEA′=150°，∴∠AEF=∠A′EF=75°， ∴∠AFE=180°-∠DAB-∠AEF=45°， 例4 知识点2 菱形的性质与判定 单元知识梳理 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是AB的 中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF。若 A′E与菱形ABCD的对角线平行，求DF的长。 ∴∠GEF=90°-∠AFE=45°=∠AFE， ∴GF=GE, ∵点E是AB的中点，∴AE=AB=2， ∵∠DAB＝60°，∴∠GEA＝30°， ∴AG=AE=1，∴GE=, ∴AF=1+， ∴DF=3-。 例4 知识点2 菱形的性质与判定 单元知识梳理 情况二：如图，连接BD。 将△AEF沿EF折叠，点A落在AD上的A′处， ∴∠AA′E=∠BAD＝60°， 在菱形ABCD中，AD=AB，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°=∠AA′E， ∴将△AEF沿EF折叠，点A落在AD上的A′处时，A′E//BD， ∴DF=AD-AF=4-1=3。 知识点2 菱形的性质与判定 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E是AB的 中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF。若 A′E与菱形ABCD的对角线平行，求DF的长。 例4 单元知识梳理 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，P是对角线BD上一动点。若M，N分别是边BC，CD的中点，求PM+PN的最小值。 如图，作点M关于BD的对称点Q，连接NQ，PQ。 由轴对称的性质，知PQ=PM， ∴PM+PN=PQ+PN。 根据两点之间线段最短，知PM+PN的最小值为QN的长。 由菱形的对称性及M是BC的中点，易知Q为AB的中点， ∴ AQ=AB。 ∵N为CD的中点， ∴DN= CD。 ∵四边形ABCD为菱形， 例5 知识点2 菱形的性质与判定 单元知识梳理 ∴ AB=CD， ∴ AQ=DN。 又∵ AQ//DN， ∴四边形AQND是平行四边形， ∴ AD=NQ。 ∵四边形ABCD为菱形，AC=6，BD=8， ∴ OA=3，OD=4，∠AOD=90°。 在Rt△OAD中，由勾股定理，得AD== =5， ∴ QN=5，即PM+PN的最小值为5。 知识点2 菱形的性质与判定 单元知识梳理 知识点3 矩形的性质与判定 1.矩形的性质 定理1：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理2：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且 相等 互相平分且相等 四个角都是 直角 中心对称图形， 轴对称图形 单元知识梳理 知识点3 矩形的性质与判定 矩形的其他性质： 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 1.矩形的性质 A B D C O 单元知识梳理 知识点3 矩形的性质与判定 2.矩形的判定 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴□ABCD是矩形。 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 A B D C O 单元知识梳理 知识点3 矩形的性质与判定 有三个角是 。 对角线 。 有一个角是 。 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 单元知识梳理 知识点3 矩形的性质与判定 3. 直角三角形斜边上中线的性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO为AC上的中线， ∴BO=AC。 C B A O 单元知识梳理 如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，沿EF折叠，点B恰好与点D重合，点C落在点G处，求折痕EF的长度。 解：由折叠可知，∠DEF=∠BEF，DE=BE。 在矩形ABCD中，CD//AB ， ∴∠DFE=∠FEB，即∠DEF=∠DFE， ∴DF=DE=BE，设BE=x，则DE=DF=x，则AE=8-x。 在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2。 ∴62+(8-x)2=x2，解得x=，∴AE=。 过点E作EH⊥CD于点H， 在Rt△EHF中，HF2+HE2=EF2, ∴62+2=EF2，∴EF=。 H 知识点3 矩形的性质与判定 例6 单元知识梳理 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P。若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE=( ) A.95° B.100° C.110° D.145° C 知识点3 矩形的性质与判定 例7 单元知识梳理 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE//BD，过点D作DE//AC，CE与DE交于点E。 (1)求证:四边形CODE是矩形。 (2)若AB= ，CE=2DE，求四边形CODE的周长。 (1)证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形CODE是平行四边形。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD， ∴∠COD=90°， ∴四边形CODE是矩形。 知识点3 矩形的性质与判定 例8 单元知识梳理 (2)解:由(1)知四边形CODE是矩形， ∴∠E=90°，DO=CE，CO=DE。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD。 在Rt△DCE中，CD²=CE²+DE²， 又AB=，CE=2DE， ∴ 5=4DE²+DE²，解得DE=1(负值已舍去)， ∴四边形CODE的周长为2(CE+DE)=6。 知识点3 矩形的性质与判定 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE//BD，过点D作DE//AC，CE与DE交于点E。 (1)求证:四边形CODE是矩形。 (2)若AB= ，CE=2DE，求四边形CODE的周长。 例8 单元知识梳理 知识点4 正方形的性质与判定 1.正方形的性质 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC， AB=BC=CD=AD。 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD。 A B C D O 四边形 边 角 对角线 对称性 正方形 对边平行， 四条边都等 对角线互相垂直平分且相等 四个角都是 直角 中心对称图形， 轴对称图形 单元知识梳理 知识点4 正方形的性质与判定 1.正方形的性质 A B C D O 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 单元知识梳理 知识点4 正方形的性质与判定 2.正方形的判定 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 单元知识梳理 知识点4 正方形的性质与判定 2.正方形的判定 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 单元知识梳理 知识点4 正方形的性质与判定 3.中点四边形 定义:顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形。 如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形。 单元知识梳理 知识点4 正方形的性质与判定 3.中点四边形 形状：中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。 原四边形对角线关系 不相等 不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 图示 平行四边形 菱形 矩形 正方形 单元知识梳理 1.如图，四边形ABCD的两条对角线分别为AC 和BD，且满足AC⊥BD，AC·BD＝18，那么依次连接它的各边中点得到的四边形EFGH的面积为_______。 随堂练习 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F。求证：四边形CEDF是正方形。 解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形CEDF是矩形。 ∵CD是△ABC的角平分线， 且DF⊥AC，DE⊥BC，　 ∴DF＝DE，　 ∴四边形CEDF是正方形。 随堂练习 3.如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG。求证:矩形DEFG是正方形。 证明:(1)如图，分别过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N， 则∠EMF=∠ENC=∠DNE=90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MCN=90°， ∴四边形EMCN是矩形， ∴∠MEN=90°， ∵在矩形DEFG中， ∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF=90° -∠FEN。 随堂练习 由正方形的轴对称性可知∠DCA=∠BCA。 又∵ EM⊥BC，EN⊥CD， ∴ EM=EN。 在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠EMF，EN=EM，∠DEN=∠MEF， ∴ △DEN≌△FEM(ASA)， ∴ DE=EF。 又∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形。 3.已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG. 求证:矩形DEFG是正方形. 随堂练习 $