预习手册 25《第6章概率的进一步认识第1节用树状图或表格求概率》预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦用树状图或表格求概率核心知识点，先回顾概率定义及简单计算，再系统讲解两步试验结果列举方法，区分放回与不放回试验差异，形成从基础到应用的完整知识支架。 资料通过规范树状图与表格书写步骤，结合摸球、转盘等生活实例，培养学生抽象能力与推理意识，经典例题与分层练习助力课中教学实施，课后学生可自主巩固，有效查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册25 《第6章概率的进一步认识第1节用树状图或表格求概率》预习讲义 一．学习目标 ( 1.会利用列表法（表格）、画树状图列举两步随机试验所有等可能的结果，做到不重复、不遗漏。 2.理解等可能事件的概率计算公式：P (事件) = 。 3.能区分放回试验与不放回试验，掌握两种情况下列表、画树状图的区别，正确计算对应概率。 4.规范书写树状图和表格，培养数形结合思想，能解决抛掷硬币、摸球、转盘、抽卡片等实际概率问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.使用列表法、树状图列举两步事件全部等可能结果； 2.利用公式计算简单事件发生的概率。 （二） 难点 1.区分放回型试验和不放回型试验，列举结果时避免重复或遗漏； 2.当先后抽取两个元素时，理解有序结果（先后顺序不同算两种结果）； 3.文字实际情境转化为表格或树状图模型。 ) 三．知识梳理 （一）知识回顾：概率的初步认识 1.概率是什么 概率就是一件事情发生的可能性大小。比如说，你每天早上出门的时候，遇到晴天、阴天或者下雨天的可能性就是不同的概率。我有一次早上出门，看了看天气预报说有30%的概率下雨。这30%就是下雨这个事件发生的概率。那这个概率是怎么来的呢？它是根据以往的天气数据、当前的气象条件等很多因素算出来的。概率的值在0到1之间，0表示这个事情绝对不会发生，像太阳从西边出来这种事概率就是0；1表示这个事情肯定会发生，就像每天都有白天黑夜这种事概率就是1。 2.简单概率的计算 如果一个试验所有可能的结果有n种，而事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝。例如，一个袋子里有5个红球和3个白球，从袋子里随便摸出一个球是红球的概率。这里n＝5+3＝8（总共有8种摸球的结果），m＝5（摸到红球有5种情况），所以摸到红球的概率P(摸到红球)＝。 （二）用树状图求概率 一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，求摸到标号为2的球的概率； （2） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（“画树状图”的方法写出分析过程） 【归纳】 1.概念 树状图用来分步列举两步、三步及以上试验的全部等可能结果，防止重复、遗漏。试验分几步，树状图就画几层分支。 适用场景： （1）两步试验（放回、不放回摸球、抽卡片、抛硬币、转盘游戏）； （2）三步及以上试验（三次抛硬币、三个人抽签），只能用树状图，列表法不方便。 2.画树状图四步规范 （1）定步骤：分清第一步、第二步（判断是放回试验还是不放回试验） ①放回：第二次选项和第一次完全一样； ②不放回：第二次去掉已经选取过的一项，选项数量变少。 （2）画第一层分支（第一次试验），标出所有可能结果； （3）画第二层分支（第二次试验），从第一层每一个结果再分出分支； （4）从树状图中我们可以很容易地数出所有可能的结果数n，以及我们关心的事件所包含的结果数m。然后就可以用概率公式P(A)＝来计算概率了。 【小试牛刀】：在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字).游戏规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数之和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数之和等于12,则为平局;若指针所指区域内两数和之大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一区域内为止). (1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的所有可能的结果; (2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率. （三）用表格求概率 先后抛掷两枚均匀硬币，一正一反的概率是多少？ 卡片数字：1，2，3，有放回抽取两次，乘积为偶数的概率是多少？ 【归纳】 1.适用条件 列表法适合两步试验（先后进行两次操作），例如：先后摸球、抽两张卡片、转动两个转盘、先后抛掷两次骰子等。 注意：三步及以上试验（抛三枚硬币）不适合列表法，只能用树状图。 2.列表格式规范（中考标准表格） （1）表格行代表第一次所有可能结果； （2）表格列代表第二次所有可能结果； （3）表格格子内写出有序组合(x,y)； （4）区分放回试验和不放回试验： ①放回：对角线位置可以存在（两次可以取相同元素）； ②不放回：对角线部分划去，不能选取同一个元素。 （5）统计：总结果数量n，符合题意的结果数量m； （6）概率公式：P(事件)＝。 【小试牛刀】：春节期间，某电影院上映了《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》三部电影．小明、小丽两人从中选取一部电影观看． (1)求小丽选取电影《哪吒之魔童闹海》观看的概率； (2)请用列表求小明、小丽两人选取同一部电影的概率． （四）树状图和表格求概率的比较 1.相同点 树状图和表格都是用来帮助我们求出一个试验中某个事件发生的概率的工具。它们都能把试验的所有可能结果清晰地展示出来，然后我们可以通过数结果的数量来计算概率。不管是用树状图还是表格，计算概率的公式都是P(A)＝ m/n，这里的n是所有可能的结果数，m是我们关心的事件所包含的结果数。 2.不同点 树状图更适合于那种分步骤进行的试验，就像我们前面说的猜硬币然后掷骰子的游戏，每一步都有不同的结果，用树状图可以很清楚地看到每一步的分支情况。而表格更适合于那种两个因素相互组合的试验，比如两个转盘的组合情况。树状图看起来更像一个动态的过程展示，表格则更像是一个静态的结果组合展示。 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）先后抛掷两枚均匀的硬币，一正一反的概率是（ ） A. B. C. D.1 例2.（2026南明区一模）从A、B、C三个软件中随机不放回选取两个，恰好选中A和C的概率为（ ） A. B. C. D.【答案】：A 例3.（2025花溪区期末）一个袋子里有1个红球，1个白球，有放回地摸两次，则两次颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 例4.（2026观山湖区二模·改编）用两个转盘做配紫色游戏（一个转盘红色、蓝色；另一个转盘红色、蓝色），一红一蓝可配成紫色，则配成紫色的概率为（ ） A. B. C. D. 例5.（2024‑2025清镇市期末）从数字1、2中不放回抽取两个数，组成两位数，这个两位数大于20的概率为________。 例6.（2026乌当区一模）将分别标有2、3的两张卡片，放回后连续抽取两次，两次数字之和为5的概率为________。 例7.（2025修文县期末）甲、乙两人各自从“跳绳、跑步”两项运动中随机选择一项，两人选择相同项目的概率为________。 例8.（2026开阳县二模）口袋有-1，0，1三个小球，有放回摸两次，点坐标(x,y)在第一象限的概率为________。 例9．小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 例10．书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． (1)甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）抛掷一枚硬币和一枚质地均匀的正方体骰子，硬币为正面，骰子点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 2.（2026云岩区一模）从1，3，5中不放回抽取两个数，求和，和为偶数的概率是（） A.1 B. C. D.0 3.（2025花溪区期末）甲、乙两名同学，随机选择A、B两个座位，两人坐同一座位的概率为（ ） A. B. C. D.1 4.（2026清镇市二模）一个口袋有2红1白，有放回摸两次，两次都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5.（2025乌当区期末）“配紫色”游戏，转盘A：红、蓝；转盘B：红、红、蓝，配成紫色（一红一蓝）的概率是（ ） A. B. C. D. 6.（2026息烽县一模）从四张卡片A、B、C、D中不放回抽取两张，抽到A和B的概率为（ ） A. B. C. D. 7．盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 8．将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（    ） A． B． C． D． （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）先后抛掷两枚骰子，点数和为7的概率为________。 10.（2026修文县一模）有-2，-1，1三张卡片，有放回抽取两次，两数之积大于0的概率为________。 11.（2025开阳县期末）两人石头、剪刀、布游戏，一局分出胜负的概率为________。 12.（2026云岩区二模）从2、4、6中不放回抽取两个数，组成两位数，能被4整除的概率为________。 13.（2025花溪区期末）一个袋子1红2白，不放回摸两次，摸到一红一白的概率为______。 14.（2026观山湖区三模）甲、乙各自从语文、数学、英语三科中随机选择一科补习，两人科目相同的概率为________。 15．一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣5，﹣3，0，4，现将它们背面朝上，从中任意抽取两张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为偶数的概率为　　． 16．在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别．从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．两次摸出的球都是红球的概率为 ． （三）解答题 17．一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是　 　； （2） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 18．小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．他们将纸牌背面朝上，充分洗匀后，从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和大于8，则小明获胜；当摸出的两张纸牌的牌面数字之和小于8，则小亮获胜． (1)请你用画树状图或列表的方法求小明获胜的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由． 19.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾． （1）写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）用列表法或画树状图法求小丽投放的两袋垃圾是不同类的概率 20．A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案： A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车． 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ (2)你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？ 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）甲、乙、丙三人随机站成一排拍照，甲站在最左侧的概率为（ ） A. B. C. D. 2.（2024-2025云岩区期末）在“配紫色”游戏中，转盘甲分为红色、黄色；转盘乙分为蓝色、红色、绿色，可配成紫色（一红一蓝）的概率为（ ） A. B. C. D. 3.（2026观山湖区一模）口袋有数字-2，0，1，有放回摸两次，点(x,y)在坐标轴上的概率为（ ） A. B. C. D. 4.（2025清镇市期末）从1，2，3，4中不放回抽取两个数，两数之差的绝对值等于2的概率为（ ） A. B. C. D. 5.（2025乌当区期末）一个不透明袋子内有3个红球，2个白球，有放回摸两次，颜色不同的概率为（） A. B. C. D. 6.（2026修文县二模）从A、B、C、D四名同学中随机抽取两名同学参加志愿服务，恰好抽到A、D的概率为（ ） A. B. C. D. 7.（2026南明区三模）甲、乙两人各从四个社团中任选一个，两人选择不同社团的概率为 （ ） A. B. C. D. 8.如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为4份，另一个转盘平均分为3份，两个转盘分别标有数字；同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为5的概率是（   ） A.    B.   C.   D. 9.四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（   ） A.     B.    C.   D. 10．中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某校开设了二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，小明和小丽随机选择其中的一个社团，则两人选择同一个社团的概率是（    ） A． B． C． D． （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）数字卡片-3，-1，2，不放回抽取两个，乘积为负数的概率为________。 12.（2026云岩区三模）两个转盘，转盘1：红、红、蓝；转盘2：红、蓝，配成紫色（一红一蓝）的概率为________。 13.（2025观山湖区期末）从1-4四张卡片中有放回抽取两张，两数和为偶数的概率为____。 14.（2026息烽县二模）周末小明和小丽各自在上午、下午两个时间段随机选择一个时间段去图书馆，两人时间段相同的概率为________。 15.为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是　　． 16．把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是 ． 17．将标有“最”“美”“铜”“梁”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字是“铜”和“梁”的概率是 ． 18．现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为 ． 19．已知有四张正面分别标有数字-2，0，-3，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 20．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是 ． （三）解答题 21．一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同，先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出一个球． （1）请用树状图或列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果； （2）求两次摸到不同颜色的球的概率． 22．学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，C．甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的． (1)甲同学选中名著B的概率是 ； (2)请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率． 23．某班“2016年联欢会”中，有一个摸奖游戏：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，2张是哭脸，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌． （1）现在小芳和小霞分别有一次翻牌机会，若正面是笑脸，则小芳获奖；若正面是哭脸，则小霞获奖，她们获奖的机会相同吗？判断并说明理由． （2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．翻牌规则：小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现笑脸就获奖．请问他们获奖的机会相等吗？判断并说明理由． 24.一个不透叨的口袋里装有分别标有汉字“好”、“心”、“茂”、“名”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“茂”的概率为 　 　； （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率P1； （3）乙从中任取一球，记下汉字后放回，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率为P2，则P1　 　P2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 25．小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 26．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册25 《第6章概率的进一步认识第1节用树状图或表格求概率》预习讲义 一．学习目标 ( 1.会利用列表法（表格）、画树状图列举两步随机试验所有等可能的结果，做到不重复、不遗漏。 2.理解等可能事件的概率计算公式：P (事件) = 。 3.能区分放回试验与不放回试验，掌握两种情况下列表、画树状图的区别，正确计算对应概率。 4.规范书写树状图和表格，培养数形结合思想，能解决抛掷硬币、摸球、转盘、抽卡片等实际概率问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.使用列表法、树状图列举两步事件全部等可能结果； 2.利用公式计算简单事件发生的概率。 （二） 难点 1.区分放回型试验和不放回型试验，列举结果时避免重复或遗漏； 2.当先后抽取两个元素时，理解有序结果（先后顺序不同算两种结果）； 3.文字实际情境转化为表格或树状图模型。 ) 三．知识梳理 （一）知识回顾：概率的初步认识 1.概率是什么 概率就是一件事情发生的可能性大小。比如说，你每天早上出门的时候，遇到晴天、阴天或者下雨天的可能性就是不同的概率。我有一次早上出门，看了看天气预报说有30%的概率下雨。这30%就是下雨这个事件发生的概率。那这个概率是怎么来的呢？它是根据以往的天气数据、当前的气象条件等很多因素算出来的。概率的值在0到1之间，0表示这个事情绝对不会发生，像太阳从西边出来这种事概率就是0；1表示这个事情肯定会发生，就像每天都有白天黑夜这种事概率就是1。 2.简单概率的计算 如果一个试验所有可能的结果有n种，而事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝。例如，一个袋子里有5个红球和3个白球，从袋子里随便摸出一个球是红球的概率。这里n＝5+3＝8（总共有8种摸球的结果），m＝5（摸到红球有5种情况），所以摸到红球的概率P(摸到红球)＝。 （二）用树状图求概率 一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，求摸到标号为2的球的概率； （2） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（“画树状图”的方法写出分析过程） 解：（1）P（2）= （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，∴两次摸到的球标号均小于3的概率为=． 【归纳】 1.概念 树状图用来分步列举两步、三步及以上试验的全部等可能结果，防止重复、遗漏。试验分几步，树状图就画几层分支。 适用场景： （1）两步试验（放回、不放回摸球、抽卡片、抛硬币、转盘游戏）； （2）三步及以上试验（三次抛硬币、三个人抽签），只能用树状图，列表法不方便。 2.画树状图四步规范 （1）定步骤：分清第一步、第二步（判断是放回试验还是不放回试验） ①放回：第二次选项和第一次完全一样； ②不放回：第二次去掉已经选取过的一项，选项数量变少。 （2）画第一层分支（第一次试验），标出所有可能结果； （3）画第二层分支（第二次试验），从第一层每一个结果再分出分支； （4）从树状图中我们可以很容易地数出所有可能的结果数n，以及我们关心的事件所包含的结果数m。然后就可以用概率公式P(A)＝来计算概率了。 【小试牛刀】：在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字).游戏规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数之和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数之和等于12,则为平局;若指针所指区域内两数和之大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一区域内为止). (1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的所有可能的结果; (2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率. 解:(1)画树状图: 则两数之和共有12种等可能的结果. (2) 由(1)可知,两数之和共有12种等可能的情况,其中和小于12的情况有6种,和大于12的情况有3种,∴李燕获胜的概率为=;刘凯获胜的概率为=. （三）用表格求概率 先后抛掷两枚均匀硬币，一正一反的概率是多少？ 解：第一次结果：正、反；第二次结果：正、反。 第一次\第二次 正 反 正 (正，正) (正，反) 反 (反，正) (反，反) 所有等可能结果共4种，一正一反的结果有2种。 P(一正一反)==。 卡片数字：1，2，3，有放回抽取两次，乘积为偶数的概率是多少？ 解： 第一次\第二次 1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 总结果9种；乘积为偶数的有5种。P=。 【归纳】 1.适用条件 列表法适合两步试验（先后进行两次操作），例如：先后摸球、抽两张卡片、转动两个转盘、先后抛掷两次骰子等。 注意：三步及以上试验（抛三枚硬币）不适合列表法，只能用树状图。 2.列表格式规范（中考标准表格） （1）表格行代表第一次所有可能结果； （2）表格列代表第二次所有可能结果； （3）表格格子内写出有序组合(x,y)； （4）区分放回试验和不放回试验： ①放回：对角线位置可以存在（两次可以取相同元素）； ②不放回：对角线部分划去，不能选取同一个元素。 （5）统计：总结果数量n，符合题意的结果数量m； （6）概率公式：P(事件)＝。 【小试牛刀】：春节期间，某电影院上映了《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》三部电影．小明、小丽两人从中选取一部电影观看． (1)求小丽选取电影《哪吒之魔童闹海》观看的概率； (2)请用列表求小明、小丽两人选取同一部电影的概率． 解：（1）∵一共有3部电影，《哪吒之魔童闹海》只有一部，且每部电影的概率相同， ∴小丽选取电影《哪吒之魔童闹海》观看的概率是 ． （2）设分别用A、B、C表示《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》，列表如下： A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中选取同一部电影的结果数有A，A；B，B；C，C；共3种，∴选取同一部电影的概率为 （四）树状图和表格求概率的比较 1.相同点 树状图和表格都是用来帮助我们求出一个试验中某个事件发生的概率的工具。它们都能把试验的所有可能结果清晰地展示出来，然后我们可以通过数结果的数量来计算概率。不管是用树状图还是表格，计算概率的公式都是P(A)＝ m/n，这里的n是所有可能的结果数，m是我们关心的事件所包含的结果数。 2.不同点 树状图更适合于那种分步骤进行的试验，就像我们前面说的猜硬币然后掷骰子的游戏，每一步都有不同的结果，用树状图可以很清楚地看到每一步的分支情况。而表格更适合于那种两个因素相互组合的试验，比如两个转盘的组合情况。树状图看起来更像一个动态的过程展示，表格则更像是一个静态的结果组合展示。 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）先后抛掷两枚均匀的硬币，一正一反的概率是（ ） A. B. C. D.1 【答案】：B 【解析】：列表可得全部结果：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，共4种等可能结果；满足一正一反有2种，P==。 例2.（2026南明区一模）从A、B、C三个软件中随机不放回选取两个，恰好选中A和C的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：树状图列举全部6种有序结果，符合条件共2种，P==。 例3.（2025花溪区期末）一个袋子里有1个红球，1个白球，有放回地摸两次，则两次颜色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：放回试验，列表共4种结果，颜色相同为(红，红)、(白，白)，2种情况，P== 例4.（2026观山湖区二模·改编）用两个转盘做配紫色游戏（一个转盘红色、蓝色；另一个转盘红色、蓝色），一红一蓝可配成紫色，则配成紫色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：列表共4种结果，能配成紫色的情况有2种，P==。 例5.（2024‑2025清镇市期末）从数字1、2中不放回抽取两个数，组成两位数，这个两位数大于20的概率为________。 【答案】： 【解析】：所有两位数：12、21，共2种；大于20的只有21，P=。 例6.（2026乌当区一模）将分别标有2、3的两张卡片，放回后连续抽取两次，两次数字之和为5的概率为________。 【答案】： 【解析】：列表结果：(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)；和为5的有2种，P==。 例7.（2025修文县期末）甲、乙两人各自从“跳绳、跑步”两项运动中随机选择一项，两人选择相同项目的概率为________。 【答案】： 【解析】：树状图共4种结果，项目相同有2种，P=。 例8.（2026开阳县二模）口袋有-1，0，1三个小球，有放回摸两次，点坐标(x,y)在第一象限的概率为________。 【答案】： 【解析】：列表一共9种等可能结果，只有(1,1)在第一象限，P=。 例9．小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 解：（1）画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况，∴； （2），故约有25人中奖．奖金共：（元）；设摊者获利：（元）；故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 例10．书院是中国古代教育机构，最早出现在唐玄宗时期，其中“应天书院”“岳麓书院”“嵩阳书院”和“白鹿洞书院”是我国的“四大书院”．某校开展“书院文化讲解员”风采展示活动，甲、乙两位同学分别从嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院古代四大书院中随机选择一个进行讲解．设嵩阳书院、应天书院、岳麓书院、白鹿洞书院分别用、、、表示． (1)甲选择讲解白鹿洞书院的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率． 解：（1）共有4个书院，甲选择讲解白鹿洞书院（）的概率是．故答案为：． （2）列表如下： 甲乙 共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”（）的结果有7种，即、、、、、、。 ∴甲、乙两位同学选择讲解的书院中有“应天书院”的概率为 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）抛掷一枚硬币和一枚质地均匀的正方体骰子，硬币为正面，骰子点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：硬币2种结果，骰子6种结果，总12种；符合条件：硬币正面且骰子点数2、4、6，共3种，P==。 2.（2026云岩区一模）从1，3，5中不放回抽取两个数，求和，和为偶数的概率是（） A.1 B. C. D.0 【答案】：D 【解析】：任意两个奇数相加都是偶数错误；1+3=4，1+5=6，3+5=8，全部和为偶数，修正：概率为1。答案A。 3.（2025花溪区期末）甲、乙两名同学，随机选择A、B两个座位，两人坐同一座位的概率为（ ） A. B. C. D.1 【答案】：B 【解析】：列表共4种结果，同座有2种，P=。 4.（2026清镇市二模）一个口袋有2红1白，有放回摸两次，两次都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：记红₁、红₂、白；总9种结果，两次红球共4种，P=。 5.（2025乌当区期末）“配紫色”游戏，转盘A：红、蓝；转盘B：红、红、蓝，配成紫色（一红一蓝）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：列表共6种等可能结果，能配成紫色共3种，P==。 6.（2026息烽县一模）从四张卡片A、B、C、D中不放回抽取两张，抽到A和B的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：树状图共12种有序结果，(A,B)、(B,A)两种，P==。 7．盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为，故选：D． 8．将分别标有“金”、“明”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画树状图为： 共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字能组成“金明”的概率是．故选：B． （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）先后抛掷两枚骰子，点数和为7的概率为________。 【答案】： 【解析】：总36种结果，点数和为7有6种：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，P== 10.（2026修文县一模）有-2，-1，1三张卡片，有放回抽取两次，两数之积大于0的概率为________。 【答案】： 【解析】：一共9种结果，乘积大于0有5种，P=。 11.（2025开阳县期末）两人石头、剪刀、布游戏，一局分出胜负的概率为________。 【答案】： 【解析】：全部9种结果，平局3种，分出胜负6种，P==。 12.（2026云岩区二模）从2、4、6中不放回抽取两个数，组成两位数，能被4整除的概率为________。 【答案】： 【解析】：所有两位数：24，26，42，46，62，64；能被4整除：24，64，共2种，P== 13.（2025花溪区期末）一个袋子1红2白，不放回摸两次，摸到一红一白的概率为______。 【答案】： 【解析】：树状图共6种结果，一红一白4种，P==。 14.（2026观山湖区三模）甲、乙各自从语文、数学、英语三科中随机选择一科补习，两人科目相同的概率为________。 【答案】： 【解析】：总9种结果，科目相同有3种，P==。 15．一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣5，﹣3，0，4，现将它们背面朝上，从中任意抽取两张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为偶数的概率为　　． 【答案】 【解析】列表如下： ﹣5 ﹣3 0 4 ﹣5 （﹣5，﹣3） （﹣5，0） （﹣5，4） ﹣3 （﹣3，﹣5） （﹣3，0） （﹣3，4） 0 （0，﹣5） （0，﹣3） （0，4） 4 （4，﹣5） （4，﹣3） （4，0） 共有12种等可能的结果，其中抽出的两张卡片上的数字之积为偶数的结果有：（﹣5，0），（﹣5，4），（﹣3，0），（﹣3，4），（0，﹣5），（0，﹣3），（0，4），（4，﹣5），（4，﹣3），（4，0），共10种，∴抽出的两张卡片上的数字之积为偶数的概率为=． 16．在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别．从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．两次摸出的球都是红球的概率为 ． 【答案】 【解析】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球都是红球的结果数为4，所以两次摸出的小球都是红球的概率．故答案为：． （三）解答题 17．一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是　 　； （2） 将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 解：（1） （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为=． 18．小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．他们将纸牌背面朝上，充分洗匀后，从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和大于8，则小明获胜；当摸出的两张纸牌的牌面数字之和小于8，则小亮获胜． (1)请你用画树状图或列表的方法求小明获胜的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由． 解：(1)列表得： 和 3 4 5 3 6 7 8 4 7 8 9 5 8 9 10 由表格可以看出，所有等可能出现的结果有 9种，其中两张纸牌的牌面数字之和大于8的结果有3种，所以小明获胜的概率为＝． (2)这个游戏公平．理由如下：P(小明获胜)＝，P(小亮获胜)＝＝， ∵=，∴这个游戏公平． 19.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾． （1）写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）用列表法或画树状图法求小丽投放的两袋垃圾是不同类的概率 解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，C，D， ∵小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是B类的概率为 （2）画树状图如下： 由树状图知，小丽投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为 = ． 20．A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案： A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车． 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ (2)你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？ 解：（1）列表： 三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能； （2）解：A采用的方案使自己乘上等车的结果有2种；B采用的方案使自己乘上等车的结果有3种，则B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）甲、乙、丙三人随机站成一排拍照，甲站在最左侧的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：总排列6种，甲在左侧共2种，P==。 2.（2024-2025云岩区期末）在“配紫色”游戏中，转盘甲分为红色、黄色；转盘乙分为蓝色、红色、绿色，可配成紫色（一红一蓝）的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：列表一共6种结果，满足一红一蓝共2种，P==。 3.（2026观山湖区一模）口袋有数字-2，0，1，有放回摸两次，点(x,y)在坐标轴上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：C 【解析】：全部9种结果；x=0或y=0共5种，P=。 4.（2025清镇市期末）从1，2，3，4中不放回抽取两个数，两数之差的绝对值等于2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：总12种有序结果；差值绝对值等于2有4种，P==。 5.（2025乌当区期末）一个不透明袋子内有3个红球，2个白球，有放回摸两次，颜色不同的概率为（） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：总25种结果；(红，白)、(白，红)共12种，P=。 6.（2026修文县二模）从A、B、C、D四名同学中随机抽取两名同学参加志愿服务，恰好抽到A、D的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：树状图12种有序结果，(A,D)、(D,A)两种，P==。 7.（2026南明区三模）甲、乙两人各从四个社团中任选一个，两人选择不同社团的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：总16种结果；选择相同共4种，不同12种，P==。 8.如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为4份，另一个转盘平均分为3份，两个转盘分别标有数字；同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为5的概率是（   ） A.    B.   C.   D. 【答案】 C 【解析】画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两数字之和为5的结果数为3，所以指针所指区域内的数字之和为5的概率＝＝ .故答案为：C. 9.四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（   ） A.     B.    C.   D. 【答案】C 【解析】分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形和圆， 画树状图得 ∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况， ∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为 =。故答案为：C. 10．中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某校开设了二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，小明和小丽随机选择其中的一个社团，则两人选择同一个社团的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用表示二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，列表如下 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中，两人选择同一个社团的情况有4种，∴；故选C． （二）填空题 11.（2024-2025花溪区期末）数字卡片-3，-1，2，不放回抽取两个，乘积为负数的概率为________。 【答案】： 【解析】：一共6种结果，乘积为负的有4种，P==。 12.（2026云岩区三模）两个转盘，转盘1：红、红、蓝；转盘2：红、蓝，配成紫色（一红一蓝）的概率为________。 【答案】： 【解析】：列表共6种结果，能配成紫色3种，P=。 13.（2025观山湖区期末）从1-4四张卡片中有放回抽取两张，两数和为偶数的概率为____。 【答案】： 【解析】：16种结果；奇偶性相同和为偶数，共8种，P=。 14.（2026息烽县二模）周末小明和小丽各自在上午、下午两个时间段随机选择一个时间段去图书馆，两人时间段相同的概率为________。 【答案】： 【解析】：4种结果，时间段相同2种，P=。 15.为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是　　． 【答案】　 【解析】　分别记“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团为A，B，C，D，甲、乙两人随机各选一个社团，他们选到社团的情况列表如下： 甲乙 A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择相同社团的结果数有4种， ∴他们选择相同社团的概率为=， 16．把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是 ． 【答案】 【解析】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为．故答案为：． 17．将标有“最”“美”“铜”“梁”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字是“铜”和“梁”的概率是 ． 【答案】 【解析】列表如下： 最 美 铜 梁 最 (最，最) (最，美) (最，铜) (最，梁) 美 (美，最) (美，美) (美，铜) (美，梁) 铜 (铜，最) (铜，美) (铜，铜) (铜，梁) 梁 (梁，最) (梁，美) (梁，铜) (梁，梁) ∵共有16种等可能的情况数，其中符合题意的情况数有2种，∴摸到的球上的汉字是“铜”和“梁”的概率是，故答案为：． 18．现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为 ． 【答案】 【解析】树状图如下： 共计12种结果，能组成“友善”的有2种，因此总概率为=．故答案为：． 19．已知有四张正面分别标有数字-2，0，-3，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 【答案】 【解析】列表如下： -2 0 -2 4 -2 （-2，-2） （-2，0） （-2，-3） （-2，4） 0 （0，-2） （0，0） （0，-3） （0，4） -3 （-3，-2） （-3，0） （-3，-3） （-3，4） 4 （4，-2） （4，0） （4，-3） （4，4） 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种，∴两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率P==． 20．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是 ． 【答案】 【解析】由题意，画出树状图如下： 由图可知，同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种， 则配成紫色的概率为P=， （三）解答题 21．一个不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同，先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出一个球． （1）请用树状图或列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果； （2）求两次摸到不同颜色的球的概率． 解：（1）画树状图如下： （2）由（1）知，共有6种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的球的结果有4种， ∴两次摸到不同颜色的球的概率为=． 22．学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，C．甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的． (1)甲同学选中名著B的概率是 ； (2)请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率． 解：（1） (2)根据题意画树状图： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选中的名著不相同的结果有6种，则甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率为＝． 23．某班“2016年联欢会”中，有一个摸奖游戏：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张是笑脸，2张是哭脸，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌． （1）现在小芳和小霞分别有一次翻牌机会，若正面是笑脸，则小芳获奖；若正面是哭脸，则小霞获奖，她们获奖的机会相同吗？判断并说明理由． （2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．翻牌规则：小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现笑脸就获奖．请问他们获奖的机会相等吗？判断并说明理由． 解：（1）∵有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸，翻一次牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，∴她们获奖的概率都是，∴她们获奖机会相同； （2）他们获奖机会不相等，理由如下： 小芳： 笑1 笑2 哭1 哭2 笑1 笑1，笑1 笑2，笑1 哭1，笑1 哭2，笑1 笑2 笑1，笑2 笑2，笑2 哭1，笑2 哭2，笑2 哭1 笑1，哭1 笑2，哭1 哭1，哭1 哭2，哭1 哭2 笑1，哭2 笑2，哭2 哭1，哭2 哭2，哭2 ∵共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只要出现笑脸的有12种情况， ∴P（小芳获奖）==； 小明： 笑1 笑2 哭1 哭2 笑1 笑2，笑1 哭1，笑1 哭2，笑1 笑2 笑1，笑2 哭1，笑2 哭2，笑2 哭1 笑1，哭1 笑2，哭1 哭2，哭1 哭2 笑1，哭2 笑2，哭2 哭1，哭2 ∵共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只要出现笑脸的有10种情况，∴P（小明获奖）==，∵P（小芳获奖）≠P（小明获奖），∴他们获奖的机会不相等． 24.一个不透叨的口袋里装有分别标有汉字“好”、“心”、“茂”、“名”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“茂”的概率为 　 　； （2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率P1； （3）乙从中任取一球，记下汉字后放回，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率为P2，则P1　 　P2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有汉字“好”、“心”、“茂”、“名”的四个小球，∴从中任取一个球，球上的汉字刚好是“茂”的概率为．故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的结果有4种，∴甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率是P1==． （3）根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的结果有4种，则乙取出的两个球上的汉字恰好能组成“好心”或“茂名”的概率为P2== ∵>∴P1＞P2．故答案为：＞． 25．小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 解：（1）画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况，∴； （2），故约有25人中奖．奖金共：（元）；设摊者获利：（元）；故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 26．某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 解：（1）对于方案一，列表如下． 由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2． 故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为． （2）由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元． 对于方案二，列表如下． 由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9．所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为．平均收益为元． ∵，∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $