2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册5《第2章一元二次方程第1节认识一元二次方程》预习讲义

本讲义聚焦一元二次方程的概念、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及根的含义，通过实际问题列整式方程，对比归纳定义（整式、一元、二次），再梳理一般形式中各项系数辨析要点，最后明确根的检验方法，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以矩形小路、正方形面积等实际情境引入，培养数学眼光，通过定义辨析（如二次项系数不为0）和参数方程判断等例题发展数学思维，分层练习结合本地期末真题，助力学生用数学语言表达实际问题。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化建模思想。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册5 《第2章一元二次方程第1节认识一元二次方程》预习讲义 一．学习目标 ( 1.能结合实际问题列出整式方程，对比方程形式，归纳一元二次方程的概念。 2.熟记一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项、常数项以及各项系数。 3.理解一元二次方程解（根）的含义，会检验一个数是不是方程的根。 4.初步体会把实际问题转化为数学方程的建模思想。 ) 二．重点难点 ( 1. 重点：一元二次方程的定义、一般形式，辨别各项及其系数。 2. 难点：从实际情境中抽象出一元二次方程；注意一般形式中二次项系数不能为0这个隐藏条件。 ) 三．知识梳理 （一）一元二次方程定义 1.根据实际问题列方程 一块矩形空地长8m，宽5m，在四周铺设等宽的小路，中间种植花草的面积是18㎡，设小路的宽度为x米。花草区域的长：(8-2x)，宽：(5-2x)，列方程：(8-2x)(5-2x)=18，整理得：4x2-26x+22=0 一个正方形的面积比边长的3倍多10，设正方形边长为x，列出方程：x2=3x+10，整理得：x2-3x-10=0 2.观察方程，归纳一元二次方程的概念 4x2-26x+22=0 x2-3x-10=0 2x2-19x+24=0 x2-x=0 观察上面整理后的两个整式方程，共同特征： ①都是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。 3.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 4.理解： （1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”这句话是指对方程“整理合并”之后而言的. （2）化简后同时满足4个条件的整式方程： ① 整式方程：分母不含未知数，无根号内含未知数； ② 一元：只含1个未知数（通常为x）； ③ 二次：未知数最高次数为2； ④ 二次项系数不能等于0。 （二）一元二次方程一般形式 一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) 1.ax2：二次项，a为二次项系数（a≠0）； 2.bx：一次项，b为一次项系数； 3.c：常数项（不含未知数）； 4.注意： （1）a 一定不能等于0，若a=0，方程最高次数变为1，就变成一元一次方程。 （2）整理时必须移项使等式右侧为0，再判断各项。 （三）一元二次方程的根 1.定义：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，看数值是否相等。 例：判断x=5是不是方程 x2-3x-10=0 的根。左边=52-3×5-10=25-15-10=0=右边，因此x=5是方程的根。 四．经典例题 例1.（2025贵阳市南明区九年级期末） 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A.x-2y=0 B.x2+=3 C.2x2=5 D.ax+2bx+c=0 例2.（2026贵阳市云岩区九年级一模） 将方程(x-3)(x+2)=9化为一般形式，二次项系数、一次项系数分别为（ ） A.1，-1 B.1，1 C.2，-1 D.1，-6 例3.（2025贵阳市花溪区期中） 若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 例4.（2026贵阳市观山湖区二模） 已知x=2是一元二次方程x2-kx-6=0的一个根，则k的值是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 例5.（2026乌当区一模） 矩形面积为30，长比宽多1，设宽为x，列出一元二次方程：________。 例6.（2025南明区月考） 若x=1是方程ax2+bx-2=0的根，则代数式a+b=____。 例7.（2026花溪区三模） 把方程2x(x-1)=5(x+3)化成一般形式：____________。 例8. 3、-2、是不是一元二次方程的根？ 例9.当取何值时，方程是一元二次方程. 例10.把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1）； （2）. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025南明区期中） 下列方程不属于一元二次方程的是（ ） A.x2=0 B.3x2-2x=0 C.x2+=5 D.(x+1)2=6 2.（2025云岩区期末） 方程5x2=4x化为一般式后，一次项是（ ） A.4x B.-4x C.4 D.-4 3.（2025花溪区一模） 若(a+1)x2-2x=1是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A.a≠0 B.a≠-1 C.a>-1 D.a≥-1 4.（2025清镇市期末） 已知x=-1是方程2x2+mx-4=0的根，则m=（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 5.（2025观山湖区月考） 一元二次方程2x2-x-3=0的各项系数依次为（ ） A.2，-1，-3 B.2，1，3 C.2，-1，3 D.-2，1，-3 6.（2025乌当区期中） 把(2x-1)^2=4展开整理后的一般形式为（ ） A.4x2-4x-3=0 B.4x2-4x+5=0 C.2x2-2x-3=0 D.4x2=5 7.（2026南明区二模） 某正方形边长增加2之后面积为36，设原边长为x，方程是（ ） A.x2+2=36 B.(x+2)2=36 C.x2+4=36 D.x(x+2)=36 8.（2026云岩区二模） 若代数式x2-2x的值等于3，对应的方程是（ ） A.x2-2x-3=0 B.x2-2x+3=0 C.x2-2x=0 D.x2=3 （二）填空题 9.（2025花溪区期末） 方程x2-6x=0的二次项系数是____。 10.（2025清镇市一模） 已知x=3是方程x2-ax-3=0的根，则a=____。 11.（2025观山湖区期末） 方程x(x+5)=7的常数项是____。 12.（2025乌当区期末） 若(m-1)xm2+1-3x=0是一元二次方程，则m=____。 13.（2026南明区三模） 直角三角形两条直角边相差3，面积为9，设短直角边为x，列方程：________。 14.（2026云岩区一模） 将3(x-2)=x2化为一般形式：________。 15.（2026花溪区二模） 若a是方程x2-2x=4的根，则a2-2a=____。 16.（2026清镇市二模） 一元二次方程的一般形式是________________（写明限制条件）。 （三）解答题 17.（2025贵阳市乌当区九年级期末） 已知方程(m2-4)x2+(m+2)x-1=0。 (1) 当m取何值时，方程为一元一次方程； (2) 当m取何值时，方程为一元二次方程。 18.（2025贵阳市花溪区一模） 检验x=4和x=-2是不是方程x2-2x-8=0的根。 (1) 代入x=4判断； (2) 代入x=-2判断。 19.（2026贵阳市观山湖区一模） 某小区矩形绿化带长12m，宽8m，向外拓宽相同宽度x，新矩形面积为140m2。 (1) 用x表示新矩形的长、宽； (2) 列出方程并整理成一元二次方程的一般形式。 20.（2026贵阳市南明区二模） 已知关于x的一元二次方程x2-(t+1)x+2t=0有一个根是x=2。 (1) 求字母t的值； (2) 将t代入，写出这个方程的完整一般形式。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026贵阳市南明区三模） 下列各式中，一定是一元二次方程的是（ ） A.+x=2 B.k2x2+kx+1=0 C.(x+1)(x-2)=x2 D.x2=5 2．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 3.（2026清镇市三模） 若x=-3是方程ax2-3x-9=0的根，则a的值为（ ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 4.（2026乌当区二模） 一元二次方程(x-5)2=9展开后的一次项系数是（） A.-10 B.10 C.-25 D.16 5.（2026观山湖区三模） 某数比它的平方小6，设这个数为x，所列方程正确的是（ ） A.x2-x=6 B.x-x2=6 C.x2+x=6 D.x2=6-x 6.（2026南明区一模） 方程(m-3)x2+mx+1=0不可能是（ ） A.一元二次方程 B.一元一次方程 C.整式方程 D.分式方程 7.（2026云岩区二模） 将方程4x=2x2-1按降幂整理，正确的一般形式是（ ） A.2x2-4x+1=0 B.2x2-4x-1=0 C.-2x2+4x+1=0 D.4x-2x2+1=0 8.（2026清镇市二模） 下列说法正确的是（ ） A.只要是整式方程就是一元二次方程 B.含有未知数x的二次方程叫一元二次方程 C.一元二次方程最高次数必须是2，且只有一个未知数 D.ax2+bx+c=0是标准的一元二次方程 9．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 （二）填空题 11.（2026南明区一模） 方程4x2-7x=5的二次项系数：____，一次项系数：____，常数项：____。 12.（2026云岩区三模） 若(n+2)xn2-2-3x=0是一元二次方程，则n=____。 13.（2026花溪区三模） 若x=5是方程x2-kx-10=0的根，则代数式k=____。 14．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 15. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________． 16. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 17．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 18．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为　 　． 19．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2025﹣m2+3m＝　 　． 20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++9的值等于　 　． （三）解答题 21.（2026贵阳市南明区中考三模） 已知方程(k2-9)x2+(k-3)x+2=0。 (1) k取何值时，方程是一元一次方程； (2) k取何值时，方程是一元二次方程。 22.（2026贵阳市花溪区中考一模） 一块长15m、宽10m的矩形场地，内部修建等宽的十字小路，剩余绿化面积104m2，设小路宽度为x。 (1) 平移后绿化区域可拼成一个新矩形，写出新矩形的长与宽； (2) 列出一元二次方程，并整理成标准一般形式。 23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 24.已知这样一道题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题． (1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式(只写序号)? ①x2－x－2＝0； ②－x2＋x＋2＝0； ③x2－2x＝4； ④－x2＋2x＋4＝0； ⑤x2－2x－4＝0. (2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 25．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x． 26．阅读理解： 定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册5 《第2章一元二次方程第1节认识一元二次方程》预习讲义 一．学习目标 ( 1.能结合实际问题列出整式方程，对比方程形式，归纳一元二次方程的概念。 2.熟记一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项、常数项以及各项系数。 3.理解一元二次方程解（根）的含义，会检验一个数是不是方程的根。 4.初步体会把实际问题转化为数学方程的建模思想。 ) 二．重点难点 ( 1. 重点：一元二次方程的定义、一般形式，辨别各项及其系数。 2. 难点：从实际情境中抽象出一元二次方程；注意一般形式中二次项系数不能为0这个隐藏条件。 ) 三．知识梳理 （一）一元二次方程定义 1.根据实际问题列方程 一块矩形空地长8m，宽5m，在四周铺设等宽的小路，中间种植花草的面积是18㎡，设小路的宽度为x米。花草区域的长：(8-2x)，宽：(5-2x)，列方程：(8-2x)(5-2x)=18，整理得：4x2-26x+22=0 一个正方形的面积比边长的3倍多10，设正方形边长为x，列出方程：x2=3x+10，整理得：x2-3x-10=0 2.观察方程，归纳一元二次方程的概念 4x2-26x+22=0 x2-3x-10=0 2x2-19x+24=0 x2-x=0 观察上面整理后的两个整式方程，共同特征： ①都是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。 3.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 4.理解： （1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”这句话是指对方程“整理合并”之后而言的. （2）化简后同时满足4个条件的整式方程： ① 整式方程：分母不含未知数，无根号内含未知数； ② 一元：只含1个未知数（通常为x）； ③ 二次：未知数最高次数为2； ④ 二次项系数不能等于0。 （二）一元二次方程一般形式 一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) 1.ax2：二次项，a为二次项系数（a≠0）； 2.bx：一次项，b为一次项系数； 3.c：常数项（不含未知数）； 4.注意： （1）a 一定不能等于0，若a=0，方程最高次数变为1，就变成一元一次方程。 （2）整理时必须移项使等式右侧为0，再判断各项。 （三）一元二次方程的根 1.定义：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，看数值是否相等。 例：判断x=5是不是方程 x2-3x-10=0 的根。左边=52-3×5-10=25-15-10=0=右边，因此x=5是方程的根。 四．经典例题 例1.（2025贵阳市南明区九年级期末） 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A.x-2y=0 B.x2+=3 C.2x2=5 D.ax+2bx+c=0 【答案】：C 【解析】：A含两个未知数；B是分式方程；D未说明a≠0，不一定是二次方程；C满足一元、整式、最高次数为2。 例2.（2026贵阳市云岩区九年级一模） 将方程(x-3)(x+2)=9化为一般形式，二次项系数、一次项系数分别为（ ） A.1，-1 B.1，1 C.2，-1 D.1，-6 【答案】：A 【解析】：展开整理：x2-x-6-9=0，即x2-x-15=0，二次项系数1，一次项系数-1。 例3.（2025贵阳市花溪区期中） 若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 【答案】：B 【解析】：满足|m|=2并且m-2≠0，解得m=-2。 例4.（2026贵阳市观山湖区二模） 已知x=2是一元二次方程x2-kx-6=0的一个根，则k的值是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】：B 【解析】：把x=2代入，4-2k-6=0，-2k=2，k=-1，选B。 例5.（2026乌当区一模） 矩形面积为30，长比宽多1，设宽为x，列出一元二次方程：________。 【答案】：x(x+1)=30（或x2+x-30=0） 【解析】：宽x，长x+1，矩形面积=长×宽，直接列式。 例6.（2025南明区月考） 若x=1是方程ax2+bx-2=0的根，则代数式a+b=____。 【答案】：2 【解析】：代入x=1得a+b-2=0，所以a+b=2。 例7.（2026花溪区三模） 把方程2x(x-1)=5(x+3)化成一般形式：____________。 【答案】：2x2-7x-15=0 【解析】：去括号2x2-2x=5x+15，移项合并同类项得到结果。 例8. 3、-2、是不是一元二次方程的根？ 解: 3，是这个方程的根；-2不是这个方程的根. 例9.当取何值时，方程是一元二次方程. 解:根据题意得解方程组得. 例10.把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1）； （2）. 解：（1）去括号合并同类项后得，所以二次项是，系数是4；一次项是，一次项系数是-2，常数项是-5. （2）去括号合并同类项得，所以二次项是，系数是；一次项是，系数是-1；常数项是 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025南明区期中） 下列方程不属于一元二次方程的是（ ） A.x2=0 B.3x2-2x=0 C.x2+=5 D.(x+1)2=6 【答案】：C 【解析】：根号下含未知数，不是整式方程，不符合定义。 2.（2025云岩区期末） 方程5x2=4x化为一般式后，一次项是（ ） A.4x B.-4x C.4 D.-4 【答案】：B 【解析】：整理5x2-4x=0，一次项为-4x。 3.（2025花溪区一模） 若(a+1)x2-2x=1是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A.a≠0 B.a≠-1 C.a>-1 D.a≥-1 【答案】：B 【解析】：二次项系数不能为0，a+1≠0，即a≠-1。 4.（2025清镇市期末） 已知x=-1是方程2x2+mx-4=0的根，则m=（ ） A.-2 B.2 C.-4 D.4 【答案】：A 【解析】：代入2×1 -m -4=0，解得m=-2。 5.（2025观山湖区月考） 一元二次方程2x2-x-3=0的各项系数依次为（ ） A.2，-1，-3 B.2，1，3 C.2，-1，3 D.-2，1，-3 【答案】：A 【解析】：对照ax2+bx+c=0，直接读取系数。 6.（2025乌当区期中） 把(2x-1)^2=4展开整理后的一般形式为（ ） A.4x2-4x-3=0 B.4x2-4x+5=0 C.2x2-2x-3=0 D.4x2=5 【答案】：A 【解析】：4x2-4x+1=4，移项得4x2-4x-3=0。 7.（2026南明区二模） 某正方形边长增加2之后面积为36，设原边长为x，方程是（ ） A.x2+2=36 B.(x+2)2=36 C.x2+4=36 D.x(x+2)=36 【答案】：B 【解析】：新边长x+2，面积等于边长平方。 8.（2026云岩区二模） 若代数式x2-2x的值等于3，对应的方程是（ ） A.x2-2x-3=0 B.x2-2x+3=0 C.x2-2x=0 D.x2=3 【答案】：A 【解析】：由题意直接列出x2-2x=3，移项即可。 （二）填空题 9.（2025花溪区期末） 方程x2-6x=0的二次项系数是____。 【答案】：1 【解析】：标准形式二次项系数默认为1。 10.（2025清镇市一模） 已知x=3是方程x2-ax-3=0的根，则a=____。 【答案】：2 【解析】：代入9-3a-3=0，解得a=2。 11.（2025观山湖区期末） 方程x(x+5)=7的常数项是____。 【答案】：-7 【解析】：整理为x2+5x-7=0，常数项为-7。 12.（2025乌当区期末） 若(m-1)xm2+1-3x=0是一元二次方程，则m=____。 【答案】：-1 【解析】：m2+1=2并且m-1≠0，解得m=-1。 13.（2026南明区三模） 直角三角形两条直角边相差3，面积为9，设短直角边为x，列方程：________。 【答案】：x(x+3)=9（整理：x2+3x-18=0） 【解析】：长直角边x+3，利用三角形面积公式列式。 14.（2026云岩区一模） 将3(x-2)=x2化为一般形式：________。 【答案】：x2-3x+6=0 【解析】：移项x2-3x+6=0。 15.（2026花溪区二模） 若a是方程x2-2x=4的根，则a2-2a=____。 【答案】：4 【解析】：根据方程根的定义，直接可得代数式的值。 16.（2026清镇市二模） 一元二次方程的一般形式是________________（写明限制条件）。 【答案】：ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0) 【解析】：教材标准定义，必须注明二次项系数不为0。 （三）解答题 17.（2025贵阳市乌当区九年级期末） 已知方程(m2-4)x2+(m+2)x-1=0。 (1) 当m取何值时，方程为一元一次方程； (2) 当m取何值时，方程为一元二次方程。 【答案】：(1)m=2；(2)m≠±2 【解析】：(1) 二次项系数为0，一次项系数不为0：m2-4=0，m+2≠0，得m=2； (2) 二次项系数不为0，即m^2-4≠0。 18.（2025贵阳市花溪区一模） 检验x=4和x=-2是不是方程x2-2x-8=0的根。 (1) 代入x=4判断； (2) 代入x=-2判断。 【答案】：两个数都是方程的根 【解析】：(1) 左边=16-8-8=0，等于右边，是根；(2) 左边=4+4-8=0，等于右边，是根。 19.（2026贵阳市观山湖区一模） 某小区矩形绿化带长12m，宽8m，向外拓宽相同宽度x，新矩形面积为140m2。 (1) 用x表示新矩形的长、宽； (2) 列出方程并整理成一元二次方程的一般形式。 【答案】：(1)长(12+2x)，宽(8+2x)；(2)x2+10x-11=0 【解析】：四周拓宽，长宽各增加2x；(12+2x)(8+2x)=140，展开化简得4x2+40x+96=140，同除以4得x2+10x-11=0。 20.（2026贵阳市南明区二模） 已知关于x的一元二次方程x2-(t+1)x+2t=0有一个根是x=2。 (1) 求字母t的值； (2) 将t代入，写出这个方程的完整一般形式。 【答案】：(1)t=2；(2)x2-3x+4=0 【解析】：(1) 把x=2代入：4-2(t+1)+2t=0，计算求得t=2； (2) 将t=2代入原式，整理得到标准方程。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026贵阳市南明区三模） 下列各式中，一定是一元二次方程的是（ ） A.+x=2 B.k2x2+kx+1=0 C.(x+1)(x-2)=x2 D.x2=5 【答案】：D 【解析】：A分式方程；Bk=0时不是二次方程；C化简之后二次项抵消，是一元一次方程；D符合全部条件。 2．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】：C 【解析】：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3， ∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C． 3.（2026清镇市三模） 若x=-3是方程ax2-3x-9=0的根，则a的值为（ ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】：C 【解析】：代入9a+9-9=0，9a=9，a=1。 4.（2026乌当区二模） 一元二次方程(x-5)2=9展开后的一次项系数是（） A.-10 B.10 C.-25 D.16 【答案】：A 【解析】：x2-10x+25=9，即x2-10x+16=0，一次项系数-10。 5.（2026观山湖区三模） 某数比它的平方小6，设这个数为x，所列方程正确的是（ ） A.x2-x=6 B.x-x2=6 C.x2+x=6 D.x2=6-x 【答案】：A 【解析】：平方减去自身等于6，即x2-x=6。 6.（2026南明区一模） 方程(m-3)x2+mx+1=0不可能是（ ） A.一元二次方程 B.一元一次方程 C.整式方程 D.分式方程 【答案】：D 【解析】：未知数不在分母上，永远是整式方程。 7.（2026云岩区二模） 将方程4x=2x2-1按降幂整理，正确的一般形式是（ ） A.2x2-4x+1=0 B.2x2-4x-1=0 C.-2x2+4x+1=0 D.4x-2x2+1=0 【答案】：A 【解析】：移项把二次项放最前面，2x2-4x+1=0。 8.（2026清镇市二模） 下列说法正确的是（ ） A.只要是整式方程就是一元二次方程 B.含有未知数x的二次方程叫一元二次方程 C.一元二次方程最高次数必须是2，且只有一个未知数 D.ax2+bx+c=0是标准的一元二次方程 【答案】：C 【解析】：紧扣一元二次方程的三条判定条件，其余选项都缺少限制条件。 9．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 【答案】A 【解析】：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣2x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5＝ac﹣ac﹣0.5＝﹣0.5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A． 10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 【答案】B 【解析】：根据“和谐”方程和“美好”方程的定义得2＋m＋n＝0，2－m＋n＝0，解得m＝0，n＝－2，所以mn＝0. （二）填空题 11.（2026南明区一模） 方程4x2-7x=5的二次项系数：____，一次项系数：____，常数项：____。 【答案】：4，-7，-5 【解析】：整理成4x2-7x-5=0，直接读取系数。 12.（2026云岩区三模） 若(n+2)xn2-2-3x=0是一元二次方程，则n=____。 【答案】：2 【解析】：n2-2=2并且n+2≠0，n2=4，n=2。 13.（2026花溪区三模） 若x=5是方程x2-kx-10=0的根，则代数式k=____。 【答案】：3 【解析】：25-5k-10=0，5k=15，k=3。 14．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 【答案】：2026 【解析】：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2030﹣2（a﹣b）＝2030﹣2×2＝2030﹣4＝2026， 15. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________． 【答案】x(x－1)＝15　 【解析】 共有x个班级参赛，每个班都要赛(x－1)场，但每两班之间只有一场比赛，由题意得x(x－1)＝15. 16. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 【答案】a＋b＝－1　 【解析】设两个方程相同的根为x＝m.根据题意，得m2＋am＋b＝0①，m2＋bm＋a＝0②.①－②，得m(a－b)＋(b－a)＝0.∵a≠b，∴a－b≠0，∴两边同除以(a－b)，得m＝1，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1. 17．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 【答案】﹣ 【解析】∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣5＝0，∴m2＝3m+5，＝m﹣（3m+5）＝m﹣m﹣＝﹣．故答案为﹣． 18．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为　 　． 【答案】m＝1 【解析】把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1． 19．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2025﹣m2+3m＝　 　． 【答案】2026 【解析】∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴m2﹣3m+1＝0，∴m2＝3m﹣1，∴2025﹣m2+3m＝2025﹣（3m﹣1）+3m＝2025﹣3m+1﹣3m＝2026．故答案为2026． 20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++9的值等于　 　． 【答案】2026 【解析】∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，∴m2﹣2018m+1＝0，∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，∴m2﹣2017m++8＝2018m﹣1﹣2017m++9＝m++8＝+8＝+8＝2018+8＝2026．故答案为2026． （三）解答题 21.（2026贵阳市南明区中考三模） 已知方程(k2-9)x2+(k-3)x+2=0。 (1) k取何值时，方程是一元一次方程； (2) k取何值时，方程是一元二次方程。 【答案】：(1)k=-3；(2)k≠3且k≠-3 【解析】：(1) 二次项系数为0，一次项系数不为0：k2-9=0，k-3≠0，得k=-3； （2）k2-9≠0，即k≠±3。 22.（2026贵阳市花溪区中考一模） 一块长15m、宽10m的矩形场地，内部修建等宽的十字小路，剩余绿化面积104m2，设小路宽度为x。 (1) 平移后绿化区域可拼成一个新矩形，写出新矩形的长与宽； (2) 列出一元二次方程，并整理成标准一般形式。 【答案】：(1)长(15-x)，宽(10-x)；(2)x2-25x+46=0 【解析】：十字路平移拼接，长宽各自减去路宽；(15-x)(10-x)=104，展开化简得到方程。 23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 24.已知这样一道题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题． (1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式(只写序号)? ①x2－x－2＝0； ②－x2＋x＋2＝0； ③x2－2x＝4； ④－x2＋2x＋4＝0； ⑤x2－2x－4＝0. (2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 解：(1)①②④⑤. (2)把方程x2－x＝2化为一般形式x2－2x－4＝0，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有的关系为：二次项系数∶一次项系数∶常数项＝1∶(－2)∶(－4)． 25．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x． 解：（1）依题意得，4x2＝25，化为一元二次方程的一般形式得，4x2−25＝0． （2）依题意得，x（x−2）＝100，化为一元二次方程的一般形式得，x2−2x−100＝0． （3）依题意得，x·1=（1-x）2，化为一元二次方程的一般形式得，x2−3x+1＝0 26．阅读理解： 定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $