2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册24《第5章二次函数第4节二次函数与一元二次方程》预习讲义

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，从具体函数实例入手，梳理抛物线与x轴交点横坐标即方程根的关系，通过判别式判断交点个数，延伸至不等式解集及直线与抛物线交点问题，构建递进式学习支架。 资料以归纳总结和中考真题为例，如用y=x²-2x-3归纳联系，改编云岩区期末题，分层设计练习。通过图像分析培养几何直观（数学眼光），用判别式推理发展推理意识（数学思维），助力课中教学与课后查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册24 《第5章二次函数第4节二次函数与一元二次方程》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解二次函数 y=ax 2 +bx+c(a ≠ 0) 与一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的内在联系；知道抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。 2.会利用判别式 △ =b 2 -4ac判断抛物线与x轴的交点个数：两个交点、一个交点、无交点。 3.能够利用二次函数的图像估算一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想。 4.理解二次函数值大于0、小于0时，自变量x的取值范围（抛物线在x轴上方、下方对应的x解集）。 5.掌握抛物线与直线交点问题：联立解析式，转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的关系； 2.利用 △ =b 2 -4ac判断抛物线与x轴交点的个数； 3.根据二次函数图像，确定不等式ax 2 +bx+c>0、ax 2 +bx+c<0的解集。 （二） 难点 1.区分二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系； 2.抛物线与一次函数相交问题，联立方程后利用判别式判断交点个数； 3.含参数a,b,c时，根据交点情况反求字母取值范围。 ) 三．知识梳理 （一）二次函数与一元二次方程的联系 以二次函数 y=x2-2x-3 为例当抛物线与x轴相交时，y=0，令y=0，得到方程：x2-2x-3=0，解方程：(x-3)(x+1)=0，解得 x1=-1,x2=3。则抛物线与x轴交点坐标为(-1,0)、(3,0)。 【归纳】： （1）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）当函数值时的特殊情况. （2）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根。 （二）判别式△=b2-4ac决定交点个数 一元二次方程ax²+bx+c=0是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 判别式 △=b2-4ac 二次函数 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0） 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于，点， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根 △＜0 抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解(或称无实数根) 【归纳】 （1）当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根． （2）当时，图象与轴只有一个交点； （3） 当时，图象与轴没有交点. ①当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； ② 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． （三）用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1). 画出函数y=x2+2x-1的图象,如图. 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间. 先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表: x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4. 同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根. 方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根. 【归纳】用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 （1）原理：求一元二次方程 ax2+bx+c=0的解，可转化为：求二次函数y=ax2+bx+c的图像与 x 轴交点的横坐标。当抛物线与x轴交点横坐标不是整数时，我们通过估算，得到方程的近似根。 （2）步骤 ①构造二次函数：令 y=ax2+bx+c； ②列表取值，计算不同x对应的函数y值，找到函数值由正变负（或负变正）的相邻两个x，方程的根就在这两个x之间； ③在这两个数之间继续取值，不断缩小范围，逼近y=0，得到近似解；若题目要求精确到0.1，则保留一位小数。 （四）直线与抛物线的交点（拓展） 1.轴与抛物线得交点为(0, ). 2.与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 3.抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 4.平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 5.一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. 6.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故： 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】：C 【解析】：△=b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0，方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有2个交点。 例2.（2026南明区一模·改编）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于(-2,0)和(4,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为（ ） A.x1=-2,x2=4 B.x1=2,x2=-4 C.1x=-2,,x2=-4 D.x1=2,x2=4 【答案】：A 【解析】：抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 例3.（2025花溪区期末）二次函数y=-x2+2x-m的图像与x轴只有一个交点，则m的值为（） A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】：B 【解析】：抛物线与x轴仅有一个交点，△=0；△=22-4×(-1)×(-m)=4-4m=0，解得m=1。 例4.（2026观山湖区二模·改编）抛物线y=x2-2x-3，当y<0时，x的取值范围是（ ） A.x<-1或x>3 B.-1<x<3 C.x<1或x>3 D.1<x<3 【答案】：B 【解析】：抛物线开口向上，与x轴交点(-1,0),(3,0)；图像在x轴下方时，取两根之间的区间。 例5．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】抛物线开口向下， ，∵，∴，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故①符合题意；，故②符合题意；观察函数图象，可知： 当时，，，故③符合题意；抛物线与轴有2个交点，，故④符合题意．故选：D． 例6.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=2x2-6x-8与x轴交点坐标为________。 【答案】：(-1,0),(4,0) 【解析】：令y=0，2x2-6x-8=0，化简x2-3x-4=0，解得x1=-1,x2=4。 例7.（2026乌当区一模）若一元二次方程x2-6x+k=0无实数根，则二次函数y=x2-6x+k的图像与x轴交点个数为________。 【答案】：0 【解析】：方程无实数根，△<0，抛物线与x轴没有交点。 例8.（2025修文县期末）抛物线y=x2-4x+n与x轴交于一点，则n=________。 【答案】：4 【解析】：△=(-4)2-4n=0，解得n=4。 例9.（2026开阳县二模）联立抛物线y=x2与直线y=2x+3，得到的一元二次方程为________。 【答案】：x2-2x-3=0 【解析】：消去y，x2=2x+3，整理为x2-2x-3=0。 例10.（2024-2025南明区期末·改编）已知二次函数y=x2-2x-8。 (1)求抛物线与x轴的交点坐标； (2)当y>0时，直接写出x的取值范围。 解：(1)令y=0，x^2-2x-8=0，(x-4)(x+2)=0，解得x1=-2,x2=4；交点坐标(-2,0),(4,0)。 (2)抛物线开口向上；当y>0时，x<-2或x>4。 例11.（2026花溪区三模·改编）求证：抛物线y=-x2+4x-5与x轴没有交点；若将抛物线沿y轴向上平移k个单位后，抛物线与x轴有一个交点，求k的值。 (1)证明抛物线与x轴无交点； (2)写出平移后的解析式； (3)求k值。 解：(1)△=42-4×(-1)×(-5)=16-20=-4<0，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点。 (2)平移后解析式：y=-x2+4x-5+k。 (3)平移后与x轴有一个交点，△=0，16-4×(-1)(k-5)=0，16+4(k-5)=0，解得k=1。 例12．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 解：∵对应的函数是，在平面直角坐标系内画出函数图象，如下： ∵函数与轴的交点坐标为，， ∴的近似根为：，． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）二次函数y=2x2-3x+1，△的值为（ ） A.1 B.-1 C.17 D.-17 【答案】：A 【解析】：△=(-3)2-4×2×1=9-8=1。 2.（2026云岩区一模）抛物线y=-2x2+5x-1，则抛物线与x轴交点情况是（ ） A.无交点 B.一个交点 C.两个交点 D.无法判断 【答案】：C 【解析】：△=25-4×(-2)×(-1)=17>0，有两个交点。 3.（2026清镇市二模）抛物线y=x2-6x+5，当y<0时，x取值范围（ ） A.1<x<5 B.x<1或x>5 C.-1<x<5 D.1<x<-5 【答案】：A 【解析】：令y=0，解得x1=1,x2=5；开口向上，y<0取两根之间。 4.（2025乌当区期末）抛物线y=x2-2x+m与直线y=1只有一个交点，则m值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】：B 【解析】：联立x2-2x+m=1，x2-2x+m-1=0；△=4-4(m-1)=0，m=2。 5.（2026息烽县一模）对于y=-x2+3x-2，下列结论错误的是（ ） A.开口向下 B.与x轴交点(1,0),(2,0) C.当1<x<2时，y>0 D.当x<1时，y随x增大而减小 【答案】：D 【解析】：对称轴x=；开口向下，x<时，y随x增大而增大，D错误。 6．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】∵，∴，∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标，∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，，故B正确．故选：B． 7．如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴；由图象知，∴，故A不符合题意；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，故B不符合题意；∵抛物线与轴的一个交点坐标为，∴，故C不符合题意；∵抛物线对称轴为直线 ∴，即，故D符合题意，故选：D． 8．已知二次函数（是常数，），当时，，若此一元二次方程有两个不相等的实数根，则该二次函数的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】当时，有两个不相等的实根，∴，即二次函数图象与轴有两个交点，∴根据图示可得，A、与轴无交点，不符合题意；B、与轴有一个交代，不符合题意；C、与轴有两个交点，符合题意；D、与轴有一个交代，不符合题意；故选：C ． （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-x2+9与x轴交点坐标：________。 【答案】：(-3,0),(3,0) 【解析】：令y=0，-x2+9=0，x=±3。 10.（2026修文县一模）二次函数y=x2-2x+k与x轴有两个交点，则k的取值范围是________。 【答案】：k<1 【解析】：△=4-4k>0，解得k<1。 11.（2025开阳县期末）抛物线y=3x2-12x与x轴的两个交点之间的距离为________。 【答案】：4 【解析】：令y=0，3x(x-4)=0，x1=0,x2=4；距离4-0=4。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=x2-4x+4与x轴交点个数为________。 【答案】：1 【解析】：△=16-16=0，顶点在x轴上，只有1个交点。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=x2-5x+6，当x________时，y>0。 【答案】：x<2或x>3 【解析】：交点(2,0),(3,0)，开口向上，y>0取两根外侧。 14.（2026观山湖区三模）抛物线y=ax2+bx-1与直线y=2x联立后得到ax2+(b-2)x-1=0，若有唯一交点，则△=________。 【答案】：(b-2)2+4a 【解析】：△=(b-2)2-4·a·(-1)=(b-2)2+4a。 15．二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ．    【答案】， 【解析】由图象可知，抛物线与轴的交点坐标为，∴当或时，，∴方程的解是，；故答案为：，． 16．如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由图可知，当时，抛物线在直线上方，因此不等式的解集是，故答案为：． （三）解答题 17.（2024-2025清镇市期末）已知二次函数y=-x2+4x+5。 (1)求抛物线与x轴交点坐标； (2)求不等式-x2+4x+5>0的解集。 解：(1)令y=0，-x2+4x+5=0，x2-4x-5=0，解得x1=-1,x2=5；交点(-1,0),(5,0)。 (2)a=-1<0，开口向下；不等式大于0，取两根之间，-1<x<5。 18.（2026乌当区一模）已知抛物线y=x2-(m+2)x+2m。 (1)求证：抛物线一定与x轴有交点； (2)若抛物线经过原点，求m的值； (3)当抛物线与x轴只有一个交点时，求m的值。 解：(1)△=(m+2)2-8m=(m-2)2≥0，∴抛物线一定和x轴有交点。 (2)过原点(0,0)，代入得2m=0，m=0。 (3)△=(m-2)2=0，解得m=2。 19．已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点． (2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上． (3)已知点，线段AB与函数的图象有公共点，则a的取值范围是　 　． 解：（1）证明：∵， 所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点； （2）证明：， 二次函数的顶点坐标为 当时，， 所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上； （3）当时，，解得， 当且时，线段AB与函数的图象有公共点， 所以a的范围为． 20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．   (1)求这个二次函数的解析式； (2)一次函数的图象也经过点，，结合图象，若成立，则的取值范围是_______． 解：（1）解：将，分别代入中， 得，，解得：，∴这个二次函数的解析式为． （2）结合图象，若成立，则的取值范围是． 故答案为：．    六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c图像全部在x轴上方，则（ ） A.a>0, △>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 【答案】：B 【解析】：图像全部在x轴上方，开口向上a>0，和x轴无交点△<0。 2.（2024-2025云岩区期末）一元二次方程-x2+3x-1=0的根，可看作抛物线y=-x2+3x-1与（ ）交点的横坐标。 A.x轴 B.y轴 C.直线x=1 D.直线y=1 【答案】：A 【解析】：令y=0，得到方程，交点横坐标即为方程的根。 3.（2026观山湖区一模）抛物线y=x2-4x-5，当0≤x≤6时，y<0的x范围是（ ） A.-1<x<5 B.0≤x<5 C.5<x≤6 D.-1<x<0 【答案】：B 【解析】：抛物线与x轴交点(-1,0),(5,0)；结合自变量范围0≤x≤6，取0≤x<5。 4.（2025清镇市期末）抛物线y=2x2-4x+k与直线y=-1有两个不同交点，则k取值范围（ ） A.k<1 B.k>1 C.k<0 D.k>0 【答案】：A 【解析】：联立2x2-4x+k=-1，2x2-4x+k+1=0；△=16-8(k+1)>0，解得k<1。 5.（2026开阳县一模）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点横坐标为-2、4，对称轴为（ ） A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 【答案】：A 【解析】：对称轴为两根中点，x==1。 6.（2025乌当区期末）若二次函数y=(m-1)x2+2x+1与x轴无交点，则m的取值范围（ ） A.m>2 B.m<2 C.m≥2 D.m≤2 【答案】：A 【解析】：m-1≠0，\Delta=4-4(m-1)<0，解得m>2。 7.（2026修文县二模）将抛物线y=x2-6x+5向上平移4个单位后，抛物线与x轴交点个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.无法判断 【答案】：B 【解析】：原抛物线y=(x-3)2-4，上移4个单位后y=(x-3)2，顶点在x轴上，只有1个交点。 8、抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝ C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为 【答案】C 【解析】由表格可得，，解得，∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意； 该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，∵当x＝﹣2时，y＝0，∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；故选：C． 9、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0 【答案】B 【解析】∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0．∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0．∴abc＞0．∴A不合题意．∵抛物线过点A（1，0）．∴a+b+c＝0．∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴B符合题意．由图知：当x＝2时，y＜0．∴4a+2b+c＜0．∴C不合题意．∵b＝2a，∴2a﹣b＝0．∴D不合题意．故选：B． 10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，由图象可知a＞0，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确；由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，∴y1＞y2＞y3；故③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），令a（x+）（x﹣）＝，则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，如图，作y＝，由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；由题意可知：M，N到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即≤﹣，∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，∴c＝﹣a，b＝﹣2a，∴≤﹣，解得：a≥，故⑤错误；故选：B． （二）填空题 11.（2026云岩区三模）抛物线y=-x2+mx-1与x轴有两个交点，则m的取值范围是________。 【答案】：m<-2或m>2 【解析】：△=m2-4>0，解得m>2或m<-2。 12.（2025观山湖区期末）已知抛物线y=x2+bx+3经过(1,0)，则一元二次方程x^2+bx+3=0的另一个根为________。 【答案】：3 【解析】：把(1,0)代入，1+b+3=0,b=-4；方程x2-4x+3=0，另一根为3。 13.（2026息烽县二模）抛物线y=x2-2x-3，当0<y≤5时，x的取值范围是________。 【答案】：-2≤x<-1或3<x≤4 【解析】：令y=5，x2-2x-3=5，解得x=-2,x=4；结合y>0的区间-1<x<3，得到解集。 14.（2025清镇市期末）抛物线y=ax2+bx+c满足a+b+c=0，则抛物线必过点________。 【答案】：(1,0) 【解析】：当x=1时，y=a+b+c=0，必过(1,0)。 15.（2026乌当区三模）抛物线y=3x2-6x+k与x轴相切，则k=________。 【答案】：3 【解析】：△=36-12k=0，解得k=3。 16、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　． 【答案】 4 【解析】当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1， 当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4． 17、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 　 　．（填写代表正确结论的序号） 【答案】①②③． 【解析】①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴，故a+b＝0，故③正确；④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②③．故答案为：①②③． 18、小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 　 　.（填序号，多选、少选、错选都不得分） 【答案】①②③ 【解析】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤错误． 故答案为：①②③． 19、如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为 　 　． 【答案】 2 【解析】过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，如右图所示：则四边形OCDA是矩形，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），∴OB＝2，OA＝1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，由图可知，阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2．故答案为：2． 20、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有 　 　（填序号）． 【答案】 ①②④ 【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），∴c＝3，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1，0之间，∴与x轴的另一个一个交点在2，3之间，∴方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，故④正确，故答案为：①②④． （三）解答题 21.（2026花溪区三模）已知抛物线y=x2-4x-m。 (1)若抛物线与x轴有两个不同交点，求m的取值范围； (2)若抛物线过点(5,0)，求m的值； (3)在(2)的条件下，直接写出不等式x2-4x-m<0的解集。 解：(1)△=16+4m>0，解得m>-4。 (2)将(5,0)代入解析式，25-20-m=0，m=5。 (3)抛物线解析式y=x2-4x-5，令y=0，解得x1=-1,x2=5；开口向上，不等式解集：-1<x<5。 22．如图所示，抛物线的顶点坐标（1，4）,与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当=-5时，求自变量x的值为______； (3)当0<x<3时，的取值范围是________； (4)当时，x的取值范围是________． 解：（1）抛物线交轴于点，顶点坐标为，设该抛物线解析式为，，解得，该抛物线解析式为，即该抛物线解析式为； （2）当时，，解得或，故答案为：4或； （3）由函数图象可知，当时，，故答案为：； （4）由函数图象知，当时，或，故答案为：或． 23、如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值． 解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，∴C（0，3），B（3，0），设点A（m，0），∴抛物线对称轴为x＝（3+m），∴点D（+，﹣m+），∵S△ABD＝4，∴（3﹣m）（﹣m+）＝4，解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），∴点A（﹣1，0），将A，B，C三点坐标代入解析式得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE∥OC，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE，∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝时，PE最大值为，∴PF最大＝PE最大＝×＝，∴点P到直线BC的距离的最大值为． 24．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中__________． … -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … … 3 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 … (2)根据表格数据，请画出该函数图象． (3)观察函数图象，写出函数的一条性质________________________________________； (4)进一步探究函数图象解决问题： ①方程有__________个实数根； ②在（2）的图象所在坐标系中画出直线，根据图象写出方程的一个正数根约为__________．（精确到0.1） 解：（1）把代入，得，即． 答案： （2）如图所示；    （3）由函数图象知：当时，随的增大而增大（答案不唯一） （4）①由函数图象知，函数图象与直线有4个交点，所以对应的方程有4个实数根．答案：4 ②如图，    由图象和表格可知方程的一个正数根约为． 答案： 25、若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1． （1）抛物线的开口方向　 　（填“上”或“下”）； （2）求直线l相应的函数表达式； （3）求该二次函数的表达式． 解：（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．∴y＝ax2+bx+2，令y＝0，则ax2+bx+2＝0，∵0＜x1＜x2，∴＞0，∴a＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：上；（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，∴C（﹣2，0），N（2，0）， 设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得，解得， ∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；（3）过B点作BH⊥x轴于H，S1＝，S2＝，∵S2＝S1，∴BH＝OA，∵OA＝2，∴BH＝5，即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，∴B（3，5）， 将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2． 26、已知函数y＝y1•y2，其中y1＝x+1，y2＝x﹣1，请对该函数及其图象进行如下探究：解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：　 　； （1）函数图象探究：①根据解析式，完成上表：m＝　 　n＝　 　； ②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出当x≤0时的函数图象； （2）结合画出的函数图象，解决问题： ①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；则y1　 　y2（用＜、＝、＞填空）； ②写出关于x的方程y1•y2＝﹣x+3的近似解（精确到0.1）． 解：（1）∵y1＝x+1，y2＝x﹣1，∴y＝y1•y2＝（x+1）（x﹣1）＝x3﹣1，∴该函数解析式为y＝x3﹣1，故答案为：y＝x3﹣1，①当x＝﹣2时，y＝×（﹣8）﹣1＝﹣2，当x＝﹣1时，y＝×（﹣1）﹣1＝﹣，故m＝﹣2，n＝﹣，故答案为﹣2，﹣；②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出当x≤0时的函数图象． （2）①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；由图象可知则y1＜y2； 故答案为＜；②由图象可知关于x的方程y1•y2＝﹣x+3的近似解为2.4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册24 《第5章二次函数第4节二次函数与一元二次方程》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解二次函数 y=ax 2 +bx+c(a ≠ 0) 与一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的内在联系；知道抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根。 2.会利用判别式 △ =b 2 -4ac判断抛物线与x轴的交点个数：两个交点、一个交点、无交点。 3.能够利用二次函数的图像估算一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想。 4.理解二次函数值大于0、小于0时，自变量x的取值范围（抛物线在x轴上方、下方对应的x解集）。 5.掌握抛物线与直线交点问题：联立解析式，转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的关系； 2.利用 △ =b 2 -4ac判断抛物线与x轴交点的个数； 3.根据二次函数图像，确定不等式ax 2 +bx+c>0、ax 2 +bx+c<0的解集。 （二） 难点 1.区分二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系； 2.抛物线与一次函数相交问题，联立方程后利用判别式判断交点个数； 3.含参数a,b,c时，根据交点情况反求字母取值范围。 ) 三．知识梳理 （一）二次函数与一元二次方程的联系 以二次函数 y=x2-2x-3 为例当抛物线与x轴相交时，y=0，令y=0，得到方程：x2-2x-3=0，解方程：(x-3)(x+1)=0，解得 x1=-1,x2=3。则抛物线与x轴交点坐标为(-1,0)、(3,0)。 【归纳】： （1）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）当函数值时的特殊情况. （2）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根。 （二）判别式△=b2-4ac决定交点个数 一元二次方程ax²+bx+c=0是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 判别式 △=b2-4ac 二次函数 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0） 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于，点， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根 △＜0 抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解(或称无实数根) 【归纳】 （1）当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根． （2）当时，图象与轴只有一个交点； （3） 当时，图象与轴没有交点. ①当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； ② 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． （三）用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1). 画出函数y=x2+2x-1的图象,如图. 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间. 先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表: x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4. 同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根. 方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根. 【归纳】用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 （1）原理：求一元二次方程 ax2+bx+c=0的解，可转化为：求二次函数y=ax2+bx+c的图像与 x 轴交点的横坐标。当抛物线与x轴交点横坐标不是整数时，我们通过估算，得到方程的近似根。 （2）步骤 ①构造二次函数：令 y=ax2+bx+c； ②列表取值，计算不同x对应的函数y值，找到函数值由正变负（或负变正）的相邻两个x，方程的根就在这两个x之间； ③在这两个数之间继续取值，不断缩小范围，逼近y=0，得到近似解；若题目要求精确到0.1，则保留一位小数。 （四）直线与抛物线的交点（拓展） 1.轴与抛物线得交点为(0, ). 2.与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 3.抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 4.平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 5.一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. 6.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故： 四．经典例题 例1.（2024-2025云岩区期末）抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 例2.（2026南明区一模·改编）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于(-2,0)和(4,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为（ ） A.x1=-2,x2=4 B.x1=2,x2=-4 C.1x=-2,,x2=-4 D.x1=2,x2=4 例3.（2025花溪区期末）二次函数y=-x2+2x-m的图像与x轴只有一个交点，则m的值为（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 例4.（2026观山湖区二模·改编）抛物线y=x2-2x-3，当y<0时，x的取值范围是（ ） A.x<-1或x>3 B.-1<x<3 C.x<1或x>3 D.1<x<3 例5．二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例6.（2024-2025清镇市期末）抛物线y=2x2-6x-8与x轴交点坐标为________。 例7.（2026乌当区一模）若一元二次方程x2-6x+k=0无实数根，则二次函数y=x2-6x+k的图像与x轴交点个数为________。 例8.（2025修文县期末）抛物线y=x2-4x+n与x轴交于一点，则n=________。 例9.（2026开阳县二模）联立抛物线y=x2与直线y=2x+3，得到的一元二次方程为________。 例10.（2024-2025南明区期末·改编）已知二次函数y=x2-2x-8。 (1)求抛物线与x轴的交点坐标； (2)当y>0时，直接写出x的取值范围。 例11.（2026花溪区三模·改编）求证：抛物线y=-x2+4x-5与x轴没有交点；若将抛物线沿y轴向上平移k个单位后，抛物线与x轴有一个交点，求k的值。 (1)证明抛物线与x轴无交点； (2)写出平移后的解析式； (3)求k值。 例12．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025观山湖区期末）二次函数y=2x2-3x+1，△的值为（ ） A.1 B.-1 C.17 D.-17 2.（2026云岩区一模）抛物线y=-2x2+5x-1，则抛物线与x轴交点情况是（ ） A.无交点 B.一个交点 C.两个交点 D.无法判断 3.（2026清镇市二模）抛物线y=x2-6x+5，当y<0时，x取值范围（ ） A.1<x<5 B.x<1或x>5 C.-1<x<5 D.1<x<-5 4.（2025乌当区期末）抛物线y=x2-2x+m与直线y=1只有一个交点，则m值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.（2026息烽县一模）对于y=-x2+3x-2，下列结论错误的是（ ） A.开口向下 B.与x轴交点(1,0),(2,0) C.当1<x<2时，y>0 D.当x<1时，y随x增大而减小 6．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ）    A．， B．， C．， D．， 7．如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 8．已知二次函数（是常数，），当时，，若此一元二次方程有两个不相等的实数根，则该二次函数的图象可能是（ ） A．B．C．D． （二）填空题 9.（2024-2025南明区期末）抛物线y=-x2+9与x轴交点坐标：________。 10.（2026修文县一模）二次函数y=x2-2x+k与x轴有两个交点，则k的取值范围是________。 11.（2025开阳县期末）抛物线y=3x2-12x与x轴的两个交点之间的距离为________。 12.（2026云岩区二模）抛物线y=x2-4x+4与x轴交点个数为________。 13.（2025花溪区期末）抛物线y=x2-5x+6，当x________时，y>0。 14.（2026观山湖区三模）抛物线y=ax2+bx-1与直线y=2x联立后得到ax2+(b-2)x-1=0，若有唯一交点，则△=________。 15．二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ．    16．如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ． （三）解答题 17.（2024-2025清镇市期末）已知二次函数y=-x2+4x+5。 (1)求抛物线与x轴交点坐标； (2)求不等式-x2+4x+5>0的解集。 18.（2026乌当区一模）已知抛物线y=x2-(m+2)x+2m。 (1)求证：抛物线一定与x轴有交点； (2)若抛物线经过原点，求m的值； (3)当抛物线与x轴只有一个交点时，求m的值。 19．已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点． (2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上． (3)已知点，线段AB与函数的图象有公共点，则a的取值范围是　 　． 20．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．   (1)求这个二次函数的解析式； (2)一次函数的图象也经过点，，结合图象，若成立，则的取值范围是_______． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026花溪区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c图像全部在x轴上方，则（ ） A.a>0, △>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 2.（2024-2025云岩区期末）一元二次方程-x2+3x-1=0的根，可看作抛物线y=-x2+3x-1与（ ）交点的横坐标。 A.x轴 B.y轴 C.直线x=1 D.直线y=1 3.（2026观山湖区一模）抛物线y=x2-4x-5，当0≤x≤6时，y<0的x范围是（ ） A.-1<x<5 B.0≤x<5 C.5<x≤6 D.-1<x<0 4.（2025清镇市期末）抛物线y=2x2-4x+k与直线y=-1有两个不同交点，则k取值范围（ ） A.k<1 B.k>1 C.k<0 D.k>0 5.（2026开阳县一模）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点横坐标为-2、4，对称轴为（ ） A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 6.（2025乌当区期末）若二次函数y=(m-1)x2+2x+1与x轴无交点，则m的取值范围（ ） A.m>2 B.m<2 C.m≥2 D.m≤2 7.（2026修文县二模）将抛物线y=x2-6x+5向上平移4个单位后，抛物线与x轴交点个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.无法判断 8、抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝ C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为 9、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0 10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （二）填空题 11.（2026云岩区三模）抛物线y=-x2+mx-1与x轴有两个交点，则m的取值范围是________。 12.（2025观山湖区期末）已知抛物线y=x2+bx+3经过(1,0)，则一元二次方程x^2+bx+3=0的另一个根为________。 13.（2026息烽县二模）抛物线y=x2-2x-3，当0<y≤5时，x的取值范围是________。 14.（2025清镇市期末）抛物线y=ax2+bx+c满足a+b+c=0，则抛物线必过点________。 15.（2026乌当区三模）抛物线y=3x2-6x+k与x轴相切，则k=________。 16、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　． 17、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 　 　．（填写代表正确结论的序号） 18、小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 　 　.（填序号，多选、少选、错选都不得分） 19、如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为 　 　． 20、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有 　 　（填序号）． （三）解答题 21.（2026花溪区三模）已知抛物线y=x2-4x-m。 (1)若抛物线与x轴有两个不同交点，求m的取值范围； (2)若抛物线过点(5,0)，求m的值； (3)在(2)的条件下，直接写出不等式x2-4x-m<0的解集。 22．如图所示，抛物线的顶点坐标（1，4）,与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当=-5时，求自变量x的值为______； (3)当0<x<3时，的取值范围是________； (4)当时，x的取值范围是________． 23、如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值． 24．某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中__________． … -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … … 3 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 … (2)根据表格数据，请画出该函数图象． (3)观察函数图象，写出函数的一条性质________________________________________； (4)进一步探究函数图象解决问题： ①方程有__________个实数根； ②在（2）的图象所在坐标系中画出直线，根据图象写出方程的一个正数根约为__________．（精确到0.1） 25、若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1． （1）抛物线的开口方向　 　（填“上”或“下”）； （2）求直线l相应的函数表达式； （3）求该二次函数的表达式． 26、已知函数y＝y1•y2，其中y1＝x+1，y2＝x﹣1，请对该函数及其图象进行如下探究：解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：　 　； （1）函数图象探究：①根据解析式，完成上表：m＝　 　n＝　 　； ②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出当x≤0时的函数图象； （2）结合画出的函数图象，解决问题： ①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；则y1　 　y2（用＜、＝、＞填空）； ②写出关于x的方程y1•y2＝﹣x+3的近似解（精确到0.1）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $