25.3实际问题与一元二次方程（第3课时循环制问题）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦单循环与双循环问题，通过回顾传播、下降率问题，联系握手、比赛等生活实例，搭建从单向传播到双向联系的学习支架，帮助学生理解两类问题的数量关系。 其亮点在于结合生活实例抽象数学模型，对比单循环与双循环公式培养逻辑推理，用表格总结区别规范表达，如排球邀请赛、中超联赛题提升建模能力，助力教师高效教学，学生发展数学思维与应用意识。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3.3 循环制问题 学 习 目 标 1 2 3 理解单循环与双循环问题的本质区别，掌握两类问题的数量关系公式. 能正确列出一元二次方程解决循环类实际问题，并检验解的合理性. 通过对比单循环与双循环的比赛规则，经历 “抽象 — 建模 — 求解 — 验证” 的过程，提升数学建模能力. 新课引入 思考 上节课我们学习了传播问题与下降率问题，你还记得这两种实际问题的数量关系吗？ 传播问题：（单向、指数增长） 下降率问题：（连续变化） 以上问题都是一个元素影响多个元素的单向传播问题，今天我们来学习另一类“两个元素之间相互影响”的问题. 大家想一想，生活中哪些事情是每两个对象之间都要发生一次联系的？ 如：握手、比赛、互赠礼物等，这节课我们就一起来学习如何用一元二次方程解决这类问题. 3 新知探究 探究一：单循环问题 探究 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式 (每两支球队之间比赛 1 场). 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 回顾：排球邀请赛原题 什么是单循环问题？ 队伍1 队伍2 只比一场 设应邀请支球队 列方程： 解得：(不合题意，舍去) 答：应邀请 8 支球队参赛。 4 新知探究 思考 你能总解单循环问题的通用公式吗？ 若有个元素参与，每两个元素之间只发生次相互联系，则总联系次数为： 强调： 存在重复计算，需除以 2，适用于 “两两之间仅发生一次无差别联系” 的场景。 单循环赛制演示 （提示：放映状态下点击图标） 5 新知巩固 单循环制问题 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【分析】设这个航空公司共有个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 解：设这航空公司共有个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 6 新知探究 探究二：双循环问题 探究 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300．他算得对吗？为什么？ 队伍1 队伍2 需比赛两场 双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛． 假设这个人算得对，即 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300. 如果有支球队参赛，那么比赛的总场数为 ． 列方程： 7 新知探究 整理得： 计算判别式： 想一想 1201 是完全平方数吗？能取到整数吗？ 由于 不是完全平方数，所以 不可能为整数． 因此，总场数不可能为 300，这个人算得不对． 注：由总场数为 可知，其必为两个连续正整数的乘积，如 利用该技巧可快速得出计算结果 8 知识小结 思考 你能总解双循环问题的通用公式吗？ 若有个元素参与，每两个元素之间发生 次不同的相互联系，则总联系次数为： 强调： 无重复计算，不需除以 2，适用于 “两两之间发生两次有差别的双向联系” 的场景。 双循环赛制演示 （提示：放映状态下点击图标） 9 新知巩固 双循环制问题 2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【分析】设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， （舍去） 答：本次联赛共有支球队 10 知识小结 思考 你能总结出这两种问题的不同之处吗？ 问题类型 两两联系次数 核心公式 本质区别 关键判断依据 单循环 1 次 存在重复计算 联系无方向性、无差别 双循环 2 次 无重复计算 联系有方向性、有差别 公式选择：判断 “是否存在重复计算”，而非仅看 “比赛”“握手” 等关键词。 解的检验：实际问题中必须为正整数，解出负数或非整数时需舍去。 11 巩固训练1 单循环问题 年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【分析】设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 12 巩固训练1 单循环问题 变式题 象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有_____________局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意， 得 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 13 巩固训练2 单循环问题 变式题 学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？ 解：设有个队参加了报名，则 解得，（经检验不符合题意）， 所以有12个队参加了报名。 14 巩固训练2 双循环问题 某地区足球联赛采用主客场双循环制（每两队在各自主场各赛 1 场），计划共安排 132 场比赛。请问共有多少支球队参加本次联赛？ 【分析】主客场双循环属于标准双循环模型，每两队比赛 2 场，总场数公式为 。设球队数为 ，列方程求解后检验正整数解。 解：设共有 支球队参赛。 列方程： 整理得： 因式分解： 解得：，（不合题意，舍去） 答：共有 12 支球队参赛。 15 巩固训练2 双循环问题 变式题 元旦期间，某班级同学互赠新年贺卡，每人都给其他同学送 1 张贺卡，全班共送出 210 张贺卡。求这个班级的学生人数。 解：设这个班级有 名学生。 列方程： 整理得： 因式分解： 解得：，（不合题意，舍去） 答：这个班级有 15 名学生。 16 巩固训练2 双循环问题 变式题 一条铁路线上有若干个车站，任意两个车站之间都有往返车票，铁路部门共印制了90种不同的车票。求这条铁路上车站的数量。 解：设这条铁路线上有个车站。 列方程： 整理得： 因式分解： 解得：，（不合题意，舍去） 答：这条铁路线上有10个车站。 17 课堂总结 本节课你学到了什么？ 18 感谢聆听! 19 $