1.4.1正方形的性质-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“正方形的性质”核心知识点，通过活动菱形框架变直角、矩形纸片折叠等操作导入，引导学生回顾正方形定义，建立与菱形、矩形的性质联系，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于融合操作探究与逻辑推理，以折叠观察、框架演示培养学生几何直观与空间观念，通过性质证明题（如求证对角线相等且垂直）发展推理能力，例题与随堂练习结合勾股定理应用，帮助学生系统掌握知识。学生能深化理解，教师可高效开展教学。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 1.4.1正方形的性质 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级上册1.4.1 正方形的性质 练习题 1.4.1 正方形的性质 同步练习题 知识点核心：正方形是兼具矩形和菱形所有性质的特殊平行四边形。核心性质：四条边相等，四个角都是直角；对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角。正方形既是矩形又是菱形，拥有两者全部特征，是特殊的平行四边形。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相平分 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对边平行 3. 正方形的对角线夹角为（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 已知正方形边长为4，则其周长为（） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 正方形对角线长为$$4\sqrt{2}$$，则边长为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 下列关于正方形的说法错误的是（） A. 对角线互相垂直平分 B. 对角线平分一组对角 C. 邻边互相垂直 D. 对角线不相等 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 正方形的四条边______，四个角都是______。 2. 正方形的对角线互相垂直、平分且______。 3. 正方形的每条对角线平分一组______。 4. 边长为5的正方形面积为______。 5. 正方形对角线相交形成的四个角都是______度。 三、解答证明与计算题（共56分） 1. （12分）求证：正方形的两条对角线相等且互相垂直。 2. （14分）已知正方形ABCD的边长为6，求该正方形的对角线长和面积。 3. （14分）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，求证：∠BAD=∠ABC=90°，AB=BC。 4. （16分）已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，求证：△AOB是等腰直角三角形。 四、拓展应用题（附加10分） 已知一个正方形的对角线长为10，求该正方形的边长与面积。 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 二、填空题 1.相等、直角 2.相等 3.对角 4.25 5.90 三、解答题详细解析 1. 证明：∵正方形是特殊矩形，∴对角线相等；又∵正方形是特殊菱形，∴对角线互相垂直。综上，正方形对角线相等且互相垂直。 2. 解：正方形边长为6，由勾股定理，对角线长=$$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$。正方形面积=$$6\times6=36$$。答：对角线长为$$6\sqrt{2}$$，面积为36。 3. 证明：根据正方形的性质，正方形四条边相等，四个内角均为直角。∴AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°。 4. 证明：∵正方形对角线互相垂直平分且相等，∴OA=OB，∠AOB=90°。∴△AOB是等腰直角三角形。 拓展应用题答案 解：设正方形边长为x，由勾股定理得$$x^2+x^2=10^2$$，解得$$x=5\sqrt{2}$$。正方形面积=$$(5\sqrt{2})^2=50$$。答：边长为$$5\sqrt{2}$$，面积为50。 课时知识点总结 正方形集矩形、菱形性质于一体：边，四边相等、对边平行；角，四角均为直角；对角线，相等、垂直、平分且平分对角。解题关键：正方形题目可直接套用矩形和菱形的所有结论，计算常结合勾股定理求边长、对角线与面积，证明题多证等腰直角三角形、线段相等、角度为45°或90°。 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 菱形 正方形 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状。 2 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，得到一个四边形。 矩形 展开 正方形 3 知识点 正方形的性质 问题1 正方形是菱形吗?正方形是矩形吗? 由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 问题2 你认为正方形有哪些特殊的性质? 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 你能证明这两个结论吗? 知识点 正方形的性质 A D C B O 证明结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 已知：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC。 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。 A D C B 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°， ∴AD//BC，AB//DC， ∠D=∠B=90°， ∴ ∠A+ ∠B =180°， ∠B + ∠C=180°， ∴ ∠A= ∠C=90°， ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB= BC， ∴ AB =BC=CD=DA。 知识点 正方形的性质 证明结论：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB=BC，∠ABC=90°。 求证：AC=BD，AC⊥BD，OA=OC， OB=OD。 A B C D O 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴ BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°， ∴ AC⊥BD，∠AOB=90°。 ∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°， ∴∠OBA=∠BAC， ∴OA=OB， ∵AC=2AO，BD=2BO， ∴ AC=BD。 知识点 正方形的性质 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=AD。 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD。 A B C D O 知识点 正方形的性质 A B C D 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 A B C D O 知识点 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 例1 解：BE=DF，且BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC，∠BCE =90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°。 ∴∠BCE=∠DCF。 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF。 ∴BE=DF。 A B D C F E 知识点 正方形的性质 例1 （2）延长BE，交DF于点M（如图）。 ∵△BCE≌△DCF ， ∴∠CBE =∠CDF。 ∵∠DCF =90°， ∴∠CDF +∠F =90°。 ∴∠CBE+∠F=90°。 ∴∠BMF=180°-（∠CBE+∠F）=180°-90°=90°。 ∴BE⊥DF。 A B D C F E M 知识点 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 问题3 如图，四边形ABCD是正方形。 (1)若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合。 画图如图所示。 菱形的另外两个顶点需要在正方形的对角线BD所在的直线上，且到正方形ABCD两条对角线交点的距离相等。 A D C B 知识点 正方形的性质 A D C B (2)若在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形 ABCD的边AB，BC，CD，AD上。 矩形EFGH的四个顶点需满足AE=AH=CF=CG。 A D C B E F G H 知识点 正方形的性质 1. 正方形具有而菱形不具有的性质是(　C　) A. 对角线互相垂直平分 B. 内角之和为360° C. 对角线相等 D. 一条对角线平分一组对角 C 随堂练习 2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O. (1)∠ABO＝ °，∠AOB＝ °； 45　 90　 (2)若正方形ABCD的面积为9，则AB＝ ，对 角线BD的长为 ⁠； (3)图中共有 个等腰直角三角形. 3　 3 　 8　 随堂练习 3. 如图，正方形ABCD的顶点B，C都在x轴上， 若点A的坐标是(－2，8)，点C的坐标是(6，0)，则 点D的坐标是 ⁠. (6，8)　 随堂练习 4. 如图，E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等 边三角形，则∠ADE＝ ⁠°. 75　 随堂练习 5. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C 到直线l的距离分别为3和5，则正方形ABCD的面积 为 ⁠. 34　 随堂练习 ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，BD垂直平分AC. ∴AP＝CP. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，BD垂直平分AC. ∴AP＝CP. ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°. ∴四边形PECF为矩形. ∴CP＝EF. ∴AP＝EF. 6. 如图，过正方形ABCD的对角线BD上一点P， 作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP， EF. 求证：AP＝EF. 证明：如图，连接AC，PC. 随堂练习 知识点1 正方形的边、角性质 （第1题） 1.如图，边长为3的正方形 的两边与坐标轴正半轴 重合，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 20 （第2题） 2.如图，点在正方形的边上，若 ， ，则正方形 的面积为( ) B A. B.4 C.6 D. 返回 中考考法 21 3.如图，在正方形外侧作等边三角形 ， 连接，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 22 4.［教材例1变式］ 如图，在正方形中，点，分别在 ， 上，且，与相交于点 。 （1）求证： ； 中考考法 23 解：证明： 四边形 是正方形， ， 。 ， ，即 。 在和 中， 。 中考考法 24 （2）求 的大小。 解：由（1）知 ， ， ， 。 返回 中考考法 25 知识点2 正方形对角线的性质 （第5题） 5.如图，正方形的对角线与相交于点 ， 则下列说法不正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 26 6.［教材习题 变式］ 若正方形的对角线长为6，则此正方形的面 积是( ) C A.36 B.24 C.18 D.12 返回 中考考法 27 7.如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点 的直线分 别交，于点， ，则阴影部分的面积是___。 1 （第7题） 返回 中考考法 28 正方形的特殊性质 角：正方形的四个角都是直角； 边：正方形的四条边相等； 对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长的乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3. 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 A B C D O $