1.4.1 正方形的性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 基础导学 1.菱形矩形正方形 2.轴对称两条两条四条中心对称 课后演练 1.C2.D3.(1)菱形(2)正方形 4.两组对边分别相等（答案不唯一） 5.C6.A7.A8.C9.5 10.∠AEB=70°11.6 12.(1)证明略(2)4v3 13.(1)CE⊥BF.理由略(2)CD=DG.理由略 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础导学 1.(2)相等(3)垂直平分 一组对角 (4)轴对称中心对称 2.底×高两对角线长度乘积的一半 课后演练 1.D2.B3.C4.B5.A6.207.3 8.证明略9.(1)证明略(2)证明略 10.8511.1212.C13.(5,0)14.22 15.PE+PB的最小值为3√3 16.(1)证明略(2)∠GD=120°(3)证明略 第2课时菱形的判定 基础导学 1.(1)四条边(2)互相垂直(3)邻边 【拓展】(1)互相垂直平分 课后演练 1.B2.D 3.(1)证明略(2)菱形BNDM的周长为52. 4.C 5.A 6.AB=CD 7.(1)证明略(2)证明略8.209.①②④ 10.(1)证明略(2)证明略 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步叁考管案 11.(1)四边形ABDF是菱形.理由略(2)证明略 .四边形ADBF是平行四边形， 3.B4.证明略5.D6.B7.C8.①②③④ 3矩形的性质与判定 AB=AC,D是BC的中点， 9.3√210.3-√311.正方形8√2 .AD⊥BC,∴.∠ADB=90°， 12.(1)证明略(2)CE+CG的值为定值，理由略 第1课时矩形的性质 .四边形ADBF是矩形 13.(1)证明略(2)90° 理由略 基础导学 12 1.(2)直角(3)相等互相平分 11. 12.4 回顾与思考 (4)轴对称中心对称 13.(1)证明略 课后演练 2.斜边 (2)当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF 1.C2.A3.A4.A5.B6.52024 课后演练 是矩形.理由略 14.(1)45°(2)∠BDG=60° 7.208.29.(1)证明略(2)FE=2√37 1.A2.C3A41059 10.(1)证明略(2)OE=2 4正方形的性质与判定 6.(1)证明略 11.√3712.16 (2)解：由(1)知：△ABE≌△DCF, 第1课时正方形的性质 13.(1)证明略(2)BH=√2AE,证明略 ∴.AE=DF=13,又，AB=12,∠B=90°， 基础导学 14.(1)AB=6(2)证明略 ∴.BE=√/AE2-AB=5. 1.(2)直角相等(3)垂直平分相等一组对 角(4)轴对称中心对称4对角线的交点 第二章一元二次方程 7.B8.A9.D10.75° 11.(1)证明：BD、CE分别是AC、AB边上的高，F 课后演练 1认识一元二次方程 是BC的中点， 1.D2.D3.B4.C5.B6.57.72 ∴EF=DF-号BC,∴△DEF是等腹三角形， 8.正方形ABCD的周长为4X6=24 第1课时一元二次方程的概念 9.(1)证明略 基础导学 (2)BC=2m (2)解：四边形BEDF为正方形，∴.BF⊥AB, 2.a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)ax2 12.5613.号 .BF·AB=20,.又AB=5,BF=4, a bx b c .CF=CD-DF=5-4=1, 课后演练 14.(1)证明略 (2PQ-号 在Rt△BCF中，CF2+BF=BC, 1.D2.C3.C4.C5.5y2-y-4=0 ∴.BC=√I7(负值已舍去) 15.(1)证明略 2深-2g 6,解：1)由题意，得一？m=4,方程的二 m-2≠0， 第2课时矩形的判定 10.61.(-26 次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11. 基础导学 12.（1)证明略(2)S平行四边形EH=2. 1m-2=1, m-2=0, (2)由题意，得 或 1.(1)直角平行四边形 13.(1)DE=2-√2(2)BF=2-√2 m-2+m+1≠0，m+1≠0， (2)相等 平行四边形 (3)直角 第2课时正方形的判定 ∴.m=3或m=2. 课后演练 基础导学 7.x2-70x+825=0 1.C2.D3.90°矩形48cm2 1.(1)相等 (2)互相垂直(3)直角 (4)相等 8.(1)一般形式为x2一2x一3=0. 4.此题答案不唯一，∠ABC=90°或∠ADC=90° (5)相等且互相垂直 二次项系数为1，一次项系数为一2，常数项为 或∠BAD=90°或∠BCD=90°或AC=BD等 课后演练 -3. 5.(1)证明略(2)OE=5,BG=2. 1.AB=BC(答案不唯一) (2)一般形式为x2一7x十8=0， 6.C7.A8.D9.EB=DC(答案不唯一) 2.(1)证明略 二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为8. 10.(1)证明略 (2)△ABC满足∠BAC=90时， (3)一般形式为25x2-50x+9=0. (2).AF=BD,AF∥BD, 四边形AEDF是正方形，理由略 二次项系数为25，一次项系数为一50，常数项 34指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 4 正方形的性质与判定 第1课时 长为 正方形的性质 A.√2 B.22 基 础 导 学 C.√2+1 D.22+1 1.正方形的性质： (1)正方形具有平行四边形的性质， (2)正方形的四个角都是 ,四条边 (3)正方形对角线互相 第3题图 第4题图 ,并且每条对角线平分 4.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形 (4)正方形是 图形，又是 ADE.AC,BE相交于点F,则∠BFC的度数 图形.它有 条对称轴，它的对称中 为 ) 心是 A.45° B.55° 演 练 C.60° D.75 5.如图，正方形ABCD的边 【基础过关】 长为9，将正方形折叠，使 顶点D落在BC边上的点 知识点①正方形的定义及性质 E处，折痕为GH.若BE: 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 EC=2:1,则线段CH的长为 ( A.3 B.4 A.对角相等 B.对角线相等 C.5 D.6 C.邻边互相垂直 D.对角线互相垂直 6.如图，点E在正方形ABCD的边CD上.若 2.下列结论中，正确的有 ( △ABE的面积为8，CE=3,则线段BE的长 ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正 为 方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱 形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正 方形有4条对称轴， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第6题图 第7题图 知识点2利用正方形的性质进行计算 7.如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为 3.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两 直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF 边中点连线EF为边的正方形EFGH的周 5,BE=DF=12,则EF的长是 ·16· 第一章精殊平行四边形 知识点③)利用正方形的性质进行证明 11.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 8.四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，连 的边AB在x轴上，点B的坐标为(1,0)，点 接AE,过点B作BF⊥AE于点F,∠ABF= E在边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D 30°且BF=3√5，求正方形ABCD的周长， 落在点F处.若点F的坐标为(0,3)，则点E 的坐标为 D OB 12.如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别 在BC,CD上，点G在CD的延长线上，且 BE=CF=DG.以线段AE,AG为邻边作 □AEHG. 9.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别 (1)求证：四边形BEHF是平行四边形； 在边AB,CD上，且四边形BEDF为正方形 (2)若四边形ABCD与AEHG的面积分别 (1)求证：AE=CF; 为16,18，试求四边形BEHF的面积. (2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB 1 =5,求BC的长. 【能力提升】 10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是 AB边上的一点，且AE=3,点Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为 ·17· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 【创新拓展】 第2课时 正方形的判定 13.如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接 基础 导学 AC,BD交于点O,CE平分∠ACD交BD于 点E 1.正方形的判定定理： (1)求DE的长； (1)有一组邻边 的矩形是正方形； (2)过点E作EF⊥CE,交AB于点F,求BF (2)对角线 的矩形是正方形； 的长， (3)有一个角是 的菱形是正方形； (4)对角线 的菱形是正方形； (5)对角线 的平行四 边形是正方形 2.借助图形记忆正方形的判定定理 有一个角是直角且 有一组邻边相等 正方形 平行四边形 对角线相等 且互相垂直 正方形 有一组邻边相等 正方形 矩形 对角线互相垂直 方形 有一个角是直角 正方形 菱形 对角线相等 压方形 课 后 演 练 【基础过关】 知识点①从矩形出发判定正方形 1.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请 你添加一个适当的条件 ,使其成为正方形（只填一个即可） 2.(兴安盟中考)如图，AD是△ABC的角平分 线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,连 接EF,EF与AD相交于点H. ·18·