1.4.2 正方形的判定-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，核心知识点包括定义法、矩形基础（邻边相等或对角线垂直）、菱形基础（直角或对角线相等）及对角线法。通过回顾矩形、菱形性质，以问题引导猜想判定条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以推理意识和几何直观为核心，通过“猜想-证明”模式（如矩形添加邻边相等得正方形的证明）培养逻辑思维，结合中点四边形探究（如原四边形对角线垂直且相等时中点四边形为正方形）发展空间观念。丰富的例题、练习及详细证明过程，助力学生用数学语言表达推理，也为教师提供系统教学资源，提升教学效果。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 1.4.2正方形的判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级上册1.4.2 正方形的判定 练习题 1.4.2 正方形的判定 同步练习题 知识点核心：正方形判定主要有四种常用方法。1. 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；2. 矩形基础：一组邻边相等的矩形是正方形；3. 菱形基础：有一个角是直角的菱形是正方形；4. 对角线法：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。易错点：判定必须满足双重特殊条件，同时具备矩形和菱形的核心特征。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列条件中，能判定平行四边形是正方形的是（） A. 一组邻边相等 B. 一个角为直角 C. 一组邻边相等且一个角为直角 D. 对角线互相平分 2. 有一组邻边相等的矩形是（） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. 有一个角是直角的菱形是（） A. 正方形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 任意四边形 4. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是（） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 普通平行四边形 5. 下列说法正确的是（） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 四角相等的四边形是正方形 C. 对角线垂直的矩形是正方形 D. 对角线相等的菱形不是正方形 6. 已知四边形是矩形，添加哪个条件可判定为正方形（） A. 对边相等 B. 邻边相等 C. 对角线相等 D. 四个角为直角 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 有一组邻边相等且有一个角是直角的________是正方形。 2. 有一组________相等的矩形是正方形。 3. 有一个角是________的菱形是正方形。 4. 对角线互相垂直且________的平行四边形是正方形。 5. 既是菱形又是矩形的四边形一定是________。 三、解答证明与计算题（共56分） 1. （12分）已知：在平行四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°。求证：四边形ABCD是正方形。 2. （14分）已知：矩形ABCD中，AB=AD。求证：该矩形为正方形。 3. （14分）已知：菱形ABCD中，∠A=90°。求证：该菱形为正方形。 4. （16分）已知平行四边形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD，求证：四边形ABCD是正方形。 四、拓展应用题（附加10分） 已知四边形ABCD对角线互相平分、相等且互相垂直，求证：四边形ABCD是正方形。 参考答案 一、选择题 1.C 2.D 3.A 4.C 5.C 6.B 二、填空题 1.平行四边形 2.邻边 3.直角 4.相等 5.正方形 三、解答题详细解析 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形。又∵∠ABC=90°，有一个角是直角的菱形是正方形，∴四边形ABCD是正方形。 2. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四个角都是直角，对边相等。又∵AB=AD，即矩形一组邻边相等，根据判定定理，一组邻边相等的矩形是正方形，故四边形ABCD是正方形。 3. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四条边相等，对角相等。又∵∠A=90°，根据判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，故四边形ABCD是正方形。 4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形。又∵AC⊥BD，对角线互相垂直的矩形是正方形，因此四边形ABCD是正方形。 拓展应用题答案 证明：∵四边形ABCD对角线互相平分，∴四边形是平行四边形。∵对角线相等，∴平行四边形是矩形；∵对角线互相垂直，∴平行四边形是菱形。既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故四边形ABCD是正方形。 课时知识点总结 正方形判定核心：必须同时满足矩形和菱形的核心性质。解题优先判断基础图形：平行四边形需同时满足邻边相等+一个直角（或对角线垂直+相等）；矩形只需证邻边相等或对角线垂直；菱形只需证有一个直角或对角线相等。切记单一条件无法判定正方形，避免解题漏条件出错。 正方形的判定： 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 知识点1 正方形的判定 A B C D ∟ 问题1 满足什么条件的矩形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A D B C O 知识点1 正方形的判定 平行四边形 四个角为90° 对角线相等 邻边相等（利用正方形的定义猜想） 对角线垂直（利用正方形的性质猜想） 猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 A D B C O 求证：有一组邻边相等的矩形是正方形。 如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。 ∵AB=BC， ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 A B C D ∟ 知识点1 正方形的判定 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。 如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，且AC⊥BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=90°，OB=OD。 ∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD。 ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 正方形的判定定理 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点1 正方形的判定 问题2 满足什么条件的菱形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A C B D O 知识点1 正方形的判定 平行四边形 四边相等 对角线互相垂直 有一个角是直角（利用正方形的定义猜想） 对角线相等（利用正方形的性质猜想） A D B C O 猜想：有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形。 求证:有一个角是直角的菱形是正方形。 如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=90°。 求证:四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC。 ∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 求证：对角线相等的菱形是正方形。 如图，已知菱形ABCD的对角线为AC，BD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形， AD=BC=AB，AD∥BC。 ∵AB=BA，BD=AC， ∴△ABD≌△BAC， ∴∠DAB=∠CBA。 ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°， ∴∠DAB=∠CBA=90°， 又∵四边形ABCD是平行四边形，AD=AB， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 正方形的判定定理 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点1 正方形的判定 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。 例1 证明:∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，∠DCB=90°。 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°。 ∴∠EBC=∠ECB。∴EB=EC。 ∴□ BECF是菱形(菱形的定义)。 在△EBC中， ∵∠EBC=45°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=180°- ∠EBC- ∠ECB= 180°- 45°- 45°=90°。 ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。 知识点1 正方形的判定 知识点2 中点四边形 思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜测：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点组成的图形是正方形。 你能证明这个猜想吗? 证明：连接AC ，BD交于点 O，AC交 A1D1于点M，BD交 A1B1于点N 。 在△ABC 中，∵ A1、B1 分别是 AB、BC 的中点， ∴ A1B1 ∥AC，且 A1B1 =AC。 同理，在△ADC 中，C1D1 ∥AC，且C1D1 =AC， 在△ABD中， A1D1 ∥BD，且 A1D1 =BD。 ∴ A1B1 ∥C1D1，A1B1=C1D1， ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 AC⊥BD。 ∴ A1B1=A1D1 ，∠AOB=90°。 ∵A1B1 ∥AC， A1D1 ∥BD， 知识点2 中点四边形 M N ∴四边形A1MON是平行四边形， ∴∠MA1N=∠AOB=90°。 ∴四边形A1B1C1D1是正方形（正方形的定义）。 知识点2 中点四边形 思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜测：任意画一个矩形，以四边的中点为顶点组成的图形是菱形。 思考 (2)类比上述问题，你还能提出什么问题? 菱形 平行四边形 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ 知识点2 中点四边形 中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形。 如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形。 知识点2 中点四边形 思考 (3)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系? 知识点2 中点四边形 对角线垂直 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形。 对角线相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。 对角线不垂直也不相等 以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。 矩形 菱形 平行四边形 对角线垂直且相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。 正方形 知识点2 中点四边形 中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，具体如下表所示。 18 1. 当矩形的对角线互相垂直时，此矩形将变成 (　C　) A. 菱形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 无法确定 C 2. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形， 那么这个条件可以是(　D　) A. ∠D＝90° B. AB＝CD C. AD＝BC D. BC＝CD D 随堂练习 3. 如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O. 若不添加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 ⁠. AC＝BD(答案不唯一) 4. 在▱ABCD中，AC，BD为对角线，如果AB＝ BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是 ⁠. 正方形　 随堂练习 5. 如图，EG，FH都过正方形ABCD对角线的交 点O，且EG⊥FH. 求证：四边形EFGH是正方 形. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°， ∠BOC＝90°， 即∠COH＋∠BOH＝90°. ∵EG⊥FH， 随堂练习 ∴∠EOH＝90°，即∠BOE＋∠BOH＝90°. ∴∠COH＝∠BOE. 在△CHO和△BEO中，∵ ∴△CHO≌△BEO. ∴OE＝OH. 在△CHO和△BEO中，∵ ∴△CHO≌△BEO. ∴OE＝OH. 同理可证：OE＝OF＝OG，∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴EG＝HF，四边形EFGH是平行四边形. ∴四边形EFGH是矩形. 又∵EG⊥FH， ∴四边形EFGH是正方形. 随堂练习 知识点1 在平行四边形的基础上判定正方形 1.在中，连接对角线,,若 ，添加下列条件， 能使 为正方形的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 23 2.如图，中，，，分别是，，的中点。若 ， 则满足_____时，四边形 是正方形。 （第2题） 返回 中考考法 24 知识点2 在特殊四边形的基础上判定正方形 题型1 在矩形的基础上判定正方形 3.如图，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为 。 若沿剪开，则将折叠部分展开得到的四边形 是一个正方形，其 数学原理是( ) A （第3题） A.有一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 返回 中考考法 25 4.如图，在中，于点， 于 点，，求证：四边形 是正方形。 中考考法 26 证明： 四边形 是平行四边形， 。 ， ， 。 ， , ， 四边形 是矩形。 又， 矩形 是正方形。 返回 中考考法 27 题型2 在菱形的基础上判定正方形 5. 如图，菱形的对角线，相交于点 ，不 添加任何辅助线，要使四边形 是正方形，则需要添加的一个条件 是____________________________（填一个即可）。 （答案不唯一） 返回 中考考法 28 6.[西安期中] 如图，四边形的对角线,互相平分, ， ，求证：四边形 是正方形。 中考考法 29 证明：，互相平分，且 ， 四边形 是菱形。 ， ， ， 。 又， 互相平分， ， 。 四边形 是正方形。 返回 中考考法 30 知识点3 中点四边形 7.［教材习题变式］如图，在任意四边形中，，，， 分别是边，，，的中点，连接，，对于四边形 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结 论，其中错误的是( ) D A.四边形 一定是平行四边形 B.若，则四边形 为菱形 C.若，则四边形 为矩形 D.若与互相平分，且，则四边形 是 正方形 返回 中考考法 31 正方形的判定 定义法 对角线：对角线相等的菱形是正方形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 定理 边：有一组邻边相等的矩形是正方形 角：有一个角是直角的菱形是正方形 对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形 $