北京市通州区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年北京通州七年级（下）期末数学试卷，以代数、几何、统计知识为核心，结合世乒赛、新能源充电桩等现实情境，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养学生数学抽象、运算能力与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题16分|因式分解、平行线判定、幂运算|结合“行走绿心”活动考众数，基础概念辨析| |填空题|8题16分|整式除法、对顶角、完全平方公式|停车场收费方案考分段函数应用，知识迁移| |解答题|11题63分|二元一次方程组、统计分析、几何证明|新能源充电桩方案设计（不等式组）、高线公园满意度调查（数据处理），体现应用意识与推理能力|

2025-2026学年北京市通州区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题2分，共16分）每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（2分）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．18x2y＝2x•3x•3y B．x2+4x+4＝（x+2）2 C．（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9 D．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3 2．（2分）2026年4月20日，通州区300多名中小学生走进城市绿心公园，开展“行走绿心画说节气”的主题实践活动．某校随机抽取了10名参加活动的学生进行知识问答，成绩绘制成如图所示的统计图，那么参加学生成绩的众数是（　　） A．90 B．92.5 C．95 D．100 3．（2分）如图，OA⊥OC，∠1＝35°，点B，O，D在同一条直线上，那么∠2的度数是（　　） A．55° B．65° C．135° D．125° 4．（2分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（a﹣1）的是（　　） A．a2﹣1 B．a2﹣a C．a2+2a+1 D．a2﹣2a+1 5．（2分）在解关于x，y的二元一次方程组时，如果①+②可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是（　　） A．m+n＝0 B．m•n＝1 C．m+n＝1 D．m＝n 6．（2分）如图，在下列给出的条件中，能直接判定AB∥DF的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠A＝∠1 D．∠2+∠4＝180° 7．（2分）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，现给出a，b，c之间的四个关系式：①a+b＝c；②c＝a+2；③c﹣b＝1；④a+b＝2c﹣3．其中正确的关系式是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（2分）当x＜2时，对于x的每一个值，3x的值都小于2x﹣1+m的值，那么m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≥3 C．m＞3 D．m＜3 二、填空题（每小题2分，共16分） 9．（2分）计算（8a2b﹣4ab）÷4ab的正确结果是　 　 ． 10．（2分）已知直线AB，CD相交于点O．如果∠BOD＝47°，那么∠AOC的度数是　 　 ． 11．（2分）已知x﹣y＝2，那么x2﹣2xy+y2的值是　 　 ． 12．（2分）如果能说明命题“若a＜b，则”是一个假命题，那么c的值可以是　 　 ． 13．（2分）某班7个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是　 　 ． 14．（2分）已知关于x，y的方程组，那么y＝　 　 （用只含x的代数式表示）． 15．（2分）已知2a﹣b＝3，那么代数式4a2﹣b2﹣6b的值是　 　 ． 16．（2分）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时． 甲停车场收费标准是： 停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）． 若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为　 　 小时． 三、解答题（本题共63分，第17、19、20、21、23每小题5分，第22、24、25、26每小题5分，第27、28题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）计算：． 18．（5分）解方程组：． 19．（5分）先化简再求值：（x+3）2﹣（x+1）（x﹣1）+4（x﹣2），其中． 20．（5分）如图，在四边形ABCD中，点F在线段CD上，射线AF与BC延长线交于点E，若∠1+∠2＝180°，∠B＝∠D．求证：AD∥BE． 证明： ∵∠1+∠2＝180°， ∠2＝∠AFC（　 　 ）， ∴∠1+∠AFC＝180°， ∴　 　 ∥CD（　 　 ）， ∴∠B＝∠3（　 　 ）， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠3， ∴AD∥BE（　 　 ）． 21．（6分）列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为2：3，杯身高比6层底座高多13cm，垫台高与杯身高之和是43cm，求这届斯韦思林杯的总高度． 22．（5分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B+∠BCD＝90°，点E，F分别为边AB，AC上的点，且∠AFE＝∠B．求证：EF∥CD． 23．（6分）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为2m2和1m2，已知新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元．若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 24．（6分）2026年5月1日，通州六环高线公园暨“京华福满园（福园）”正式开放，该园结合社交媒体游客评价与实地反馈，从环境、设施、文化、服务、交通五大维度综合评估游客满意度，为公园后续运营优化提供依据．某社团为了解本校学生对通州高线公园的满意程度，现从本校有相关游览经历的小学生和初中生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分成四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 小学20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 初中20名学生的评分在D组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，99，100，100． 小学、初中抽取的学生评分统计表 学段 平均数 中位数 众数 小学 91.7 93 a 初中 91.7 b 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ． （2）根据以上数据分析，你认为该校小学、初中哪个学段的学生更喜欢通州高线公园？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校小学、初中共有800名学生，请估计该校非常喜欢（90≤x≤100）通州高线公园的学生人数． 25．（6分）配方是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合平方的非负性来解决一些问题． 例如，把二次三项式x2+2x+5进行配方． 解：x2+2x+5＝x2+2x+12+4＝（x+1）2+4． （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+　 　 ； （2）若多项式A＝（m﹣1）（2m﹣4）+4n+10，B＝（m+n）（m﹣n），试比较A，B的大小． 26．（7分）如图，M为射线BC上一点，∠ABC＝α，∠BMN＝β（α＞β）．根据以上条件解答下列问题： （1）若α＝120°，β＝70°，过点B在∠ABC内部画射线BD，使∠ABD＝50°（如图1）．请判断BD与MN的位置关系并说明理由； （2）E是AB上的一点，过点E作PQ∥MN（如图2），求∠AEQ的度数（用含α和β的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，过点E作射线EF⊥AB，若α＝110°，β＝60°，直接写出∠FEP的度数． 27．（7分）给出定义：已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，a≠0，b≠0且a≠b≠c），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程ax+cy＝b称为原方程ax+by＝c的“组本方程”，例如方程6x+3y＝7的“组本方程”为6x+7y＝3． （1）写出2x﹣3y＝﹣1的“组本方程”是　 　 ，由该方程和其“组本方程”组成的方程组的解是　 　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，a≠0，b≠0且a≠b≠c）的系数满足a+b+c＝0． ①求该方程与其“组本方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝2026的一个解，求代数式m（n﹣m）+2026（2026﹣n）+2027的值． 2025-2026学年北京市通州区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题2分，共16分）每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（2分）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．18x2y＝2x•3x•3y B．x2+4x+4＝（x+2）2 C．（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9 D．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【解答】解：18x2y＝2x•3x•3y中等号左边是单项式，则A不符合题意， x2+4x+4＝（x+2）2符合因式分解的定义，则B符合题意， （x﹣3）（x+3）＝x2﹣9是乘法运算，则C不符合题意， x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2分）2026年4月20日，通州区300多名中小学生走进城市绿心公园，开展“行走绿心画说节气”的主题实践活动．某校随机抽取了10名参加活动的学生进行知识问答，成绩绘制成如图所示的统计图，那么参加学生成绩的众数是（　　） A．90 B．92.5 C．95 D．100 【分析】根据众数的定义解答即可． 【解答】解：由统计图可知95分出现的次数最多， 所以参加学生成绩的众数是95． 故选：C． 【点评】本题考查了众数，关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 3．（2分）如图，OA⊥OC，∠1＝35°，点B，O，D在同一条直线上，那么∠2的度数是（　　） A．55° B．65° C．135° D．125° 【分析】根据垂线的定义得出∠AOC＝90°，即可求出∠BOC的度数，再根据邻补角互补可求出∠2的度数． 【解答】解：∵OA⊥OC， ∴∠AOC＝90°， ∵∠1＝35°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠1＝90°﹣35°＝55°， ∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣55°＝125°， 故选：D． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 4．（2分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（a﹣1）的是（　　） A．a2﹣1 B．a2﹣a C．a2+2a+1 D．a2﹣2a+1 【分析】分别把每个选项分解因式，再根据题意判断即可． 【解答】解：A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），故此选项不符合题意； B、a2﹣a＝a（a﹣1），故此选项不符合题意； C、a2+2a+1＝（a+1）2，故此选项符合题意； D、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法、运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 5．（2分）在解关于x，y的二元一次方程组时，如果①+②可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是（　　） A．m+n＝0 B．m•n＝1 C．m+n＝1 D．m＝n 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：关于x，y的二元一次方程组， ①+②，得6x+（m+n）y＝6， ∵①+②可直接消去未知数y， ∴m+n＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 6．（2分）如图，在下列给出的条件中，能直接判定AB∥DF的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠A＝∠1 D．∠2+∠4＝180° 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：A．若∠3＝∠4，则DE∥AC（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； B．若∠1＝∠4，则AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故符合题意； C．若∠1＝∠A，则DE∥AC（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； D．若∠2+∠4＝180°，则DE∥AC（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键． 7．（2分）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，现给出a，b，c之间的四个关系式：①a+b＝c；②c＝a+2；③c﹣b＝1；④a+b＝2c﹣3．其中正确的关系式是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①由已知得出2a×2b＝3×6，再根据同底数幂的乘法计算即可得出2a+b＝18，结合2c＝12即可判断； ②根据同底数幂的乘法法则计算得出2a+2＝12，结合2c＝12即可判断； ③根据同底数幂的除法法则计算得出2c﹣b＝2，即可判断； ④根据同底数幂的乘法计算即可得出2a+b＝18，再根据幂的乘方法则、同底数幂的除法法则得出22c﹣3＝18，即可判断． 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6， ∴2a×2b＝3×6， ∴2a+b＝18， ∵2c＝12， ∴a+b≠c， 故①错误； ∵2a＝3， ∴2a×22＝3×22， ∴2a+2＝12， ∵2c＝12， ∴c＝a+2， 故②正确； ∵2b＝6，2c＝12， ∴2c÷2b＝12÷6， ∴2c﹣b＝2， ∴c﹣b＝1， 故③正确； ∵2a＝3，2b＝6， ∴2a×2b＝3×6， ∴2a+b＝18， ∵2c＝12， ∴（2c）2＝122， ∴22c＝144， ∴22c÷23＝144÷23＝144÷8， ∴22c﹣3＝18， ∴a+b＝2c﹣3， 故④正确； 所以正确的关系式是②③④， 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2分）当x＜2时，对于x的每一个值，3x的值都小于2x﹣1+m的值，那么m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≥3 C．m＞3 D．m＜3 【分析】由题意列得不等式，解不等式再根据题意求得m的取值范围即可． 【解答】解：由题意得3x＜2x﹣1+m， 整理得：x＜m﹣1， ∵当x＜2时，对于x的每一个值，3x的值都小于2x﹣1+m的值， ∴m﹣1≥2， 解得：m≥3， 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9．（2分）计算（8a2b﹣4ab）÷4ab的正确结果是　2a﹣1　 ． 【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：（8a2b﹣4ab）÷4ab ＝8a2b÷4ab﹣4ab÷4ab ＝2a﹣1， 故答案为：2a﹣1． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（2分）已知直线AB，CD相交于点O．如果∠BOD＝47°，那么∠AOC的度数是　47°　 ． 【分析】根据对顶角相等计算即可． 【解答】解：如图， ∵∠AOC与∠BOD是对顶角， ∴∠AOC＝∠BOD＝47°， 故答案为：47°． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键． 11．（2分）已知x﹣y＝2，那么x2﹣2xy+y2的值是　4　 ． 【分析】根据完全平方公式将x2﹣2xy+y2写成（x﹣y）2，再代入计算即可． 【解答】解：∵x﹣y＝2， ∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝22＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 12．（2分）如果能说明命题“若a＜b，则”是一个假命题，那么c的值可以是　﹣1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据不等式的性质、假命题的概念解答． 【解答】解：当c＝﹣1，a＜b时，， 说明命题“若a＜b，则”是一个假命题， 则c的值可以是﹣1， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 13．（2分）某班7个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是　4　 ． 【分析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【解答】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5， ∵这组数据的平均数是4， ∴x＝4×7﹣4﹣3﹣5﹣3﹣6﹣5＝2， ∴这一组数从小到大排列为：2，3，3，4，5，5，6， ∴这组数据的中位数是4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了平均数的定义． 14．（2分）已知关于x，y的方程组，那么y＝　7﹣x （用只含x的代数式表示）． 【分析】把第二个方程中的m值代入第一个方程，得出关于x，y的二元一次方程，进而得出答案． 【解答】解：， 把②代入①，得x+y﹣2＝5， ∴x+y＝7， ∴y＝7﹣x． 故答案为：7﹣x． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，等式的性质，掌握解二元一次方程组的方法，等式的性质是解题的关键． 15．（2分）已知2a﹣b＝3，那么代数式4a2﹣b2﹣6b的值是　9　 ． 【分析】利用平方差公式将原式变形并计算，然后代入数值计算即可． 【解答】解：∵2a﹣b＝3， ∴4a2﹣b2﹣6b ＝（2a+b）（2a﹣b）﹣6b ＝3（2a+b）﹣6b ＝6a+3b﹣6b ＝6a﹣3b ＝3（2a﹣b） ＝3×3 ＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查平方差公式，将原式进行正确地变形是解题的关键． 16．（2分）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时． 甲停车场收费标准是： 停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）． 若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为　7　 小时． 【分析】设小林停车时间为x小时，分0＜x≤1，1＜x≤3，3＜x≤6，6＜x≤9，9＜x≤12及12＜x≤24六种情况考虑，根据停到乙停车场的停车费比停在甲停车场更优惠，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中最大的整数值，即可得出结论． 【解答】解：设小林停车时间为x小时， 当0＜x≤1时，显然在甲停车场更优惠； 当1＜x≤3时，2x＜5， 解得：x， ∴此时x的最大值为2； 当3＜x≤6时，2x＜10， 解得：x＜5， ∴此时x的最大值为4； 当6＜x≤9时，2x＜15， 解得：x， ∴此时x的最大值为7； 当9＜x≤12时，2x＜18， 解得：x＜9（不符合题意，舍去）； 当12＜x≤24时，2x＜24， 解得：x＜12（不符合题意，舍去）， ∴小林停车时间最长为7小时． 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 三、解答题（本题共63分，第17、19、20、21、23每小题5分，第22、24、25、26每小题5分，第27、28题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）计算：． 【分析】先根据零指数幂、有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【解答】解： ＝1+8 ＝9． 【点评】本题考查了零指数幂、有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂、有理数加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（5分）解方程组：． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①×2，得4x+6y＝10③， ②×3，得15x﹣6y＝9④， ③+④，得19x＝19， 解得：x＝1， 把x＝1代入①，得2×1+3y＝5， 解得：y＝1， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19．（5分）先化简再求值：（x+3）2﹣（x+1）（x﹣1）+4（x﹣2），其中． 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式计算，再去括号，然后合并同类项，最后代入求值即可． 【解答】解：（x+3）2﹣（x+1）（x﹣1）+4（x﹣2） ＝（x2+6x+9）﹣（x2﹣1）+4x﹣8 ＝x2+6x+9﹣x2+1+4x﹣8 ＝10x+2， 当时， 原式＝1015+2＝17． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，正确计算是解题的关键． 20．（5分）如图，在四边形ABCD中，点F在线段CD上，射线AF与BC延长线交于点E，若∠1+∠2＝180°，∠B＝∠D．求证：AD∥BE． 证明： ∵∠1+∠2＝180°， ∠2＝∠AFC（　对顶角相等　 ）， ∴∠1+∠AFC＝180°， ∴AB ∥CD（　同旁内角互补，两直线平行　 ）， ∴∠B＝∠3（　两直线平行，同位角相等　 ）， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠3， ∴AD∥BE（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可． 【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠2＝∠AFC（对顶角相等）， ∴∠1+∠AFC＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠3（等量代换）， ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 21．（6分）列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为2：3，杯身高比6层底座高多13cm，垫台高与杯身高之和是43cm，求这届斯韦思林杯的总高度． 【分析】设垫台高为2xcm，底座高为3xcm，杯身高为ycm，则6层底座高为18xcm，根据杯身高比6层底座高多13cm，垫台高与杯身高之和是43cm列方程组，即可得到结论． 【解答】解：设垫台高为2xcm，底座高为3xcm，杯身高为ycm，则6层底座高为18xcm， 根据题意得， 解得， ∴这届斯韦思林杯的总高度为2x+18x+y＝70cm． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意是解题的关键． 22．（5分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B+∠BCD＝90°，点E，F分别为边AB，AC上的点，且∠AFE＝∠B．求证：EF∥CD． 【分析】先根据∠ACB＝90°得出∠B+∠A＝90°，再由∠AFE＝∠B得出∠AFE+∠A＝90°，故∠AEF＝90°，即EF⊥AB，再由∠B+∠BCD＝90°得出∠BDC＝90°，故CD⊥AB，据此可得出结论． 【解答】证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∵∠AFE＝∠B， ∴∠AFE+∠A＝90°， ∴∠AEF＝90°，即EF⊥AB， ∵∠B+∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∴EF∥CD． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 23．（6分）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为2m2和1m2，已知新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元．若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 【分析】设新建地上充电桩m个，则新建地下充电桩（60﹣m）个，根据该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论． 【解答】解：设新建地上充电桩m个，则新建地下充电桩（60﹣m）个， 根据题意得：， 解得：17≤m≤18， 又∵m为正整数， ∴m可以为17，18， ∴共有2种建造方案： ①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩； ②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 24．（6分）2026年5月1日，通州六环高线公园暨“京华福满园（福园）”正式开放，该园结合社交媒体游客评价与实地反馈，从环境、设施、文化、服务、交通五大维度综合评估游客满意度，为公园后续运营优化提供依据．某社团为了解本校学生对通州高线公园的满意程度，现从本校有相关游览经历的小学生和初中生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分成四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 小学20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 初中20名学生的评分在D组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，99，100，100． 小学、初中抽取的学生评分统计表 学段 平均数 中位数 众数 小学 91.7 93 a 初中 91.7 b 99 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，a＝　100　 ，b＝　92.5　 ，m＝　4　 ． （2）根据以上数据分析，你认为该校小学、初中哪个学段的学生更喜欢通州高线公园？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校小学、初中共有800名学生，请估计该校非常喜欢（90≤x≤100）通州高线公园的学生人数． 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求a，b，用样本总量减A、B、D组的人数即可得到m； （2）根据平均数，中位数和众数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，用总人数乘样本中评分达在90≤x≤100分及以上的学生人数占百分比即可． 【解答】解：（1）小学20名学生评分出现次数最多的为100，故a＝100； ∵初中20名学生评分的中位数为从小到大第10、11位的平均值，D组的数据是：91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，99，100，100， ∴b92.5， 初中20名学生的评分在D组的有13名，A组的有1名，B组的有2名， 故C组的有20﹣13﹣1﹣2＝4，即m＝4， 故答案为：100；92.5；4； （2）小学的学生更喜欢通州高线公园， 理由：因为小学的中位数和众数均高于初中，所以小学的学生更喜欢通州高线公园； （3）根据题意，小学评分在90≤x≤100的有15名， 初中评分在90≤x≤100的有13名， 样本中评分在90≤x≤100的学生有15+13＝28（人），占70%， 800×70%＝560（名）， 答：估计该校非常喜欢（90≤x≤100）通州高线公园的学生人数大约有560名． 【点评】本题考查的是中位数，众数以及用样本估计总体，熟记定义是解题的关键． 25．（6分）配方是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合平方的非负性来解决一些问题． 例如，把二次三项式x2+2x+5进行配方． 解：x2+2x+5＝x2+2x+12+4＝（x+1）2+4． （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+　9　 ； （2）若多项式A＝（m﹣1）（2m﹣4）+4n+10，B＝（m+n）（m﹣n），试比较A，B的大小． 【分析】（1）根据完全平方公式解答； （2）利用配方法把A﹣B变形，再根据偶次方的非负性比较A，B的大小． 【解答】解：（1）a2+6a+9＝（a+3）2， 故答案为：9； （2）A﹣B＝（m﹣1）（2m﹣4）+4n+10﹣（m+n）（m﹣n） ＝2m2﹣4m﹣2m+4+4n+10﹣m2+n2 ＝m2﹣6m+n2+4n+14 ＝m2﹣6m+9+n2+4n+4+1 ＝（m﹣3）2+（n+2）2+1， ∵（m﹣3）2≥0，（n+2）2≥0， ∴（m﹣3）2+（n+2）2+1≥1， ∴A﹣B≥1， ∴A＞B． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、正确理解偶次方的非负性是解题的关键． 26．（7分）如图，M为射线BC上一点，∠ABC＝α，∠BMN＝β（α＞β）．根据以上条件解答下列问题： （1）若α＝120°，β＝70°，过点B在∠ABC内部画射线BD，使∠ABD＝50°（如图1）．请判断BD与MN的位置关系并说明理由； （2）E是AB上的一点，过点E作PQ∥MN（如图2），求∠AEQ的度数（用含α和β的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，过点E作射线EF⊥AB，若α＝110°，β＝60°，直接写出∠FEP的度数． 【分析】（1）根据题意得∠DBC＝70°，进而得到∠DBC＝∠BMN，从而得到BD∥MN； （2）过点B作HG∥MN，根据平行线的性质得到∠HBM＝∠BMN，进而得到∠ABH＝∠ABC﹣∠HBC，根据QP∥MN∥GH，得到∠AEQ＝∠ABH； （3）根据（2）分情况讨论即可． 【解答】解：（1）BD∥MN，理由： ∵∠ABC＝120°，∠ABD＝50°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝110°﹣50°＝70°， ∵∠BMN＝70°， ∴∠DBC＝∠BMN， ∴BD∥MN； （2）过点B作HG∥MN， ∴∠HBM＝∠BMN＝β， ∵∠ABC＝α， ∴∠ABH＝∠ABC﹣∠HBC＝α﹣β， ∵QP∥MN， ∴QP∥HG， ∴∠AEQ＝∠ABH＝α﹣β； （3）①过点E作射线EF⊥AB，如图： 由（2）可知，∠AEQ＝α﹣β， ∵α＝110°，β＝60°， ∴∠AEQ＝110°﹣60°＝50°， ∵∠AEQ＝∠BEP， ∴∠FEP＝∠FEB+∠BEP＝90°+50°＝140°． 过点E作射线EF⊥AB，如图： 同理可得：∠FEP＝∠FEB﹣∠BEP＝90°﹣50°＝40°． 综上所述，∠FEP的度数为140°或40°． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 27．（7分）给出定义：已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，a≠0，b≠0且a≠b≠c），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程ax+cy＝b称为原方程ax+by＝c的“组本方程”，例如方程6x+3y＝7的“组本方程”为6x+7y＝3． （1）写出2x﹣3y＝﹣1的“组本方程”是　2x﹣y＝﹣3　 ，由该方程和其“组本方程”组成的方程组的解是　　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c为常数，a≠0，b≠0且a≠b≠c）的系数满足a+b+c＝0． ①求该方程与其“组本方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝2026的一个解，求代数式m（n﹣m）+2026（2026﹣n）+2027的值． 【分析】（1）根据题意求出“组本方程”是2x﹣y＝﹣3，再联立方程组求解即可； （2）①求出方程组为，再求解即可； ②由题意可知m•n＝2026，再由a+b+c＝0，可得2026﹣n＝﹣m，再化简代数式即可． 【解答】解：（1）2x﹣3y＝﹣1的“组本方程”是2x﹣y＝﹣3， ∴方程组为， 解得， 故答案为：2x﹣y＝﹣3，； （2）①ax+by＝c的“组本方程”是ax+cy＝b， ∴方程组为， 解得； ②由题意可知m•n＝2026， ∴2026﹣n， ∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a， ∴2026﹣n＝﹣m， ∴m（n﹣m）+2026（2026﹣n）+2027 ＝2026m+2026×2026﹣2026n+2027 ＝﹣2026×2026+2026×2026+2027 ＝2027． 【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌二元一次方程组的解法，弄懂新定义是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/12 22:53:13；用户：RDF；邮箱：15699920825；学号：36906111 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $