精品解析：北京十一实验中学2025-2026学年七年级下学期第4学段期末教与学诊断数学试题

北京十一实验中学2025-2026学年初一年级第4学段 教与学诊断 数学学科 考生须知 1．本试卷共8页，28道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写姓名、所在学科班级． 3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（每小题2分，共16分）在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次进行判断即可得． 【详解】解：A、若，则，选项说法错误，不符合题意； B、若，则，选项说法错误，不符合题意； C、若，则，选项说法正确，符合题意； D、若，则，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质． 2. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，进行判断即可． 【详解】解：设第三边的长为，由题意，， ∴， 故第三边的长可能为3； 故选B． 3. 在平面直角坐标系中，点，，若直线与y轴垂直，则m的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角坐标系点的坐标性质求解． 【详解】解：由题意知，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查直角坐标系内点坐标的性质，由题意转化为方程求解是解题的关键． 4. 某个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 这个不等式有最大整数解，是－2 B. 这个不等式有最大整数解，是－1 C. 这个不等式有最小整数解，是－2 D. 这个不等式有最小整数解，是－1 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴表示的解集依次判断即可． 【详解】解：由数轴知， ∴这个不等式有最小整数解为， 故选：D． 【点睛】本题考查了用数轴表示不等式的解集，以及通过不等式的解集获取信息，解题关键是掌握解集的表示． 5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】D 【解析】 【分析】利用多边形外角和定理，以及正多边形各外角相等的性质求解，直接计算边数即可得到结果． 【详解】∵任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角都相等， ∴设该正多边形的边数为n， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 6. 已知：关于的不等式组只有三个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由不等式组的解法得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的个数得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组只有三个整数解， ∴不等式的解集为：， ∴不等式组只有三个整数解为， ∴， 当时，不等式的解集为， ∴不等式的整数解有个，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为， ∴不等式的整数解有个，符合题意， ， 故选． 【点睛】本题考查了根的存在性及个数的判断，不等式组的解法，掌握不等式组的解法是解题的关键． 7. 某电商网站以智能手表为主要的产品运营．今年1—4月份，该网站智能手表的销售总额如图1所示，其中一款通话功能智能手表的销售额占当月智能手表销售总额的百分比如图2所示． 以下四个结论正确的是（ ） A. 今年1—4月，智能手表的销售总额连续下降 B. 今年1—4月，通话功能智能手表的销售额在当月智能手表销售总额中的占比连续下降 C. 通话功能智能手表3月份的销售额与2月份的销售额持平 D. 今年1—4月，通话功能智能手表销售额最低的月份是2月 【答案】C 【解析】 【分析】根据条形统计图和折线统计图的信息进行求解判断即可． 【详解】解：由条形统计图和折线统计图可得，今年1—4月，智能手表的销售总额先下降后上升，A错误，故不符合要求； 今年1—4月，通话功能智能手表的销售额在当月智能手表销售总额中的占比先下降然后上升最后下降，B错误，故不符合要求； 通话功能智能手表2月份的销售额为（万元），3月份的销售额为（万元）， ∴通话功能智能手表3月份的销售额与2月份的销售额持平，C正确，故符合要求；通话功能智能手表1月份的销售额为（万元），4月份的销售额为（万元）， ∵， ∴今年1—4月，通话功能智能手表销售额最低的月份是4月，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了条形统计图，折线统计图．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息． 8. 以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是解题的关键．根据三角形三边的关系即可证明，根据平移的性质可证明． 【详解】解：根据题意可得，， ∴； 将线段平移，可得到线段，线段移可得到线段， ∴，， ， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】把x与y的值代入二元一次方程，得到关于a的一元一次方程，即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程中，得：， 解得：． 10. 如果关于的不等式的解集为，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】解不等式得，结合关于的不等式的解集为，得出，解之可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 11. 如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为____.  【答案】25° 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可求得． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=65°， ∴∠3=65°， ∴∠2=90°-65°=25°． 故答案是：25°． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题关键是运用了平行线的性质：“两直线平行，同位角相等”． 12. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度． 【答案】36 【解析】 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：，是等腰三角形， 度， 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）． 13. 如图，A，B，C三点共线，D，E，B三点共线，且，，，则的长为____________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，，点在上，，，则________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，先得到，再结合三角形外角性质计算． 【详解】解：， 有． 在中，是的外角： ． 15. 如图，在中，点分别是线段的中点，且，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由点是的中点，可得，则，由点是的中点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键在于熟练掌握：中线把三角形分成面积相等的两个部分． 16. 如图，在中，，将沿DE翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为________． 【答案】##44度 【解析】 【分析】根据折叠的性质对应角相等：，，；先利用平角求出，算出，再在中求出，最后利用平角求． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ，， ， ， 三角形内角和为，，， ， ， ． 17. 在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论： ①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：沿着直线折叠得到， ，， 平分，故①正确； 沿着直线折叠得到， ，， ，， ， ， ， ，， 沿着折叠得到， ，， ， ， ， ，故②错误； ， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长，故④正确； 故答案为：①③④． 18. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有首，; ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，； ③每天最多背诵10首，最少背诵3首． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 解答下列问题： （1）若，，，则的取值为________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为________首． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出每天背诵数量的不等式，结合每天最多背诵10首，最少背诵3首，即可求出的取值； （2）根据每天最多背诵10首列出不等式，利用不等式的性质求出总背诵数量的范围，即可得到最多背诵的数量． 【详解】解：（1）由题意，每天最多背诵10首，最少背诵3首，且， 第1天背诵数量为，满足，符合要求； 第2天背诵数量为，满足，符合要求； 第3天背诵数量为，满足，符合要求； 第4天背诵数量为，可得，解得； 第5天背诵数量为，可得，解得； 第6天背诵数量为，满足，符合要求； 第7天背诵数量为，可得； 综上可得，故； （2）解：设总背诵数量为， 由题意得不等关系：， ∵要求的最大值， ∴取， 由，得， 整理，得⑤， 由③，得，两边同乘2，得⑥， ，得， 解得， 且存在正整数解，满足所有约束条件，总数量为16， 故7天后，小云背诵的诗词最多为16首． 三、解答题（共54分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根、立方根、的指数幂、绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①：去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 解不等式②：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 两个解集的公共部分为， 因此原不等式组的解集为． 21. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧， 分别交，于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧， 两弧交于点P； ③画射线，交于点D． 所以点D即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点D作于点E，连接，． 在与中， ∵，，， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 又∵， ∴（ ）（填推理的依据） 【答案】（1） 如图，即为补全的图形； （2） ；；角平分线上的点到角的两边的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据 过程即可补全图形； （2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，线段的和差，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的和与差得出相等边，根据平行线的性质得出相等角，然后利用边角边证明，即可得出结论． 【详解】略 23. 如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． （1）若，求的度数； （2）在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再根据直角三角形的两个锐角互余得，然后根据三角形的外角的性质得； （2）由垂直定义得，再根据三角形外角的性质得，进而得，则此题可解． 【小问1详解】 解：∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； 【小问2详解】 解：为定值，理由如下： ∵于点E，交的延长线于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为定值． 24. 飞盘是一种投掷盘形器具的运动，适用于比赛、健身及大众休闲等活动．它不仅具有广泛的群众性，娱乐性，还有很强的对抗性和趣味性．某商家拟购进A，B两种型号的飞盘，经问询知购进2个A型飞盘和3个B型飞盘需38元，已知B型飞盘的进货单价比A型飞盘的进价单价多6元． （1）A型飞盘和B型飞盘的进货单价分别是多少元？ （2）商家最终决定购进这两种飞盘共150个，其中B型飞盘数量不多于A型飞盘数量的2倍，若B型飞盘的销售单价为14元，A型的销售单价为6元，请你帮商家设计一种购货方案，使得商家获利最多，并求出最多获利为多少元？ 【答案】（1）A型飞盘的进货单价是4元，B型飞盘的进货单价是10元 （2）购进B型飞盘100个，A型飞盘50个，获得利润最多；最多利润是500元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，找到题目中的等量关系以及不等关系． （1）设A型飞盘每个x元，B型飞盘每个y元．根据购进2个A型飞盘和3个B型飞盘需38元， B型飞盘的进货单价比A型飞盘的进价单价多6元．列出方程组求解即可； （2）设购进B型飞盘m个，利润为w元，则购进A型飞盘个．根据然后根据利润单件利润数量列出w关于m的一次函数关系式，再根据B型飞盘数量不多于A型飞盘数量的2倍，求出m的取值范围，即可利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A型飞盘每个x元，B型飞盘每个y元． 根据题意，得， 解得， 答：A型飞盘的进货单价是4元，B型飞盘的进货单价是10元． 【小问2详解】 解：设购进B型飞盘m个，利润为w元，则购进A型飞盘个． 根据题意，得． ∵B型飞盘的数量不多于A型飞盘数量的2倍， ∴，解得． ∵， ∴w随m的增大而增大． ∴当时，w有最大值，最大值为（元）． 答：购进B型飞盘100个，A型飞盘50个，获得利润最多；最多利润是500元． 25. 为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部2023年和2024年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． （1）第一个研究小组随机抽取了该俱乐部2023年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 2 0.04 a 0.08 8 b 17 0.34 10 0.20 3 0.06 5 0.10 1 0.02 合计 c 1 ①请把上面的频数分布表补充完整：_____,_____,_____； ②在2023年，该俱乐部共有300名成员，根据上面的统计结果估计该年俱乐部中成绩x满足的人数为______； （2）第二个研究小组从该俱乐部2023年和2024年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了29名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时______（填“多”“少”）； ②将这29名选手中2024年成绩优于2023年成绩的人数记为m，其余选手人数记为n，则m______n（填“”“”“”）． 【答案】（1）①4；0.16；50；②48 （2）①少；②＞ 【解析】 【分析】（1）先利用第一组频数与频率求出样本总数，再根据频数总数频率求，根据频率频数总数求，用样本中的频率乘总人数300得到对应估计人数． （2）①观察散点图中小赵对应点，横坐标是2023成绩、纵坐标是2024成绩，对比横纵坐标数值判断用时多少； ②2024成绩优于2023即纵坐标数值横坐标数值，数出该类点数量，剩余为，比较二者大小． 【小问1详解】 解：①由组：频数2，频率0.04， 样本总数； 组频率0.08，则； 组频数8，则； ②区间频率，俱乐部共300人， 估计人数：． 【小问2详解】 解：①小赵对应点：横坐标（2023用时）数值更大，纵坐标（2024用时）数值更小，因此2024年比赛用时比2023年少． ②2024年成绩优于2023年即2024用时2023用时，对应散点满足纵坐标横坐标，数得该类点数量大于剩余点数量，故． 26. 给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式 的“关联解”． （1）判断是否是方程与不等式的“关联解”_____（填是或否）； 判断是方程与不等式（组）①，②，③中_______的“关联解”；（只填序号） （2）如果是关于的方程与关于的不等式组的“关联解”，那么____，的取值范围是_______； （3）如果是关于的方程与关于的不等式组的“关联解”，求的取值范围． 【答案】（1）否；①； （2）；； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“关联解”的定义求解即可； （2）根据“关联解”的定义，将代入方程即可求出，再解不等式得： ，即可得出答案； （3）根据“关联解”的定义得出不等式组，求解即可 【小问1详解】 解：当时，使得成立，不成立，则不是方程与不等式 的“关联解”； 当时，使得成立，成立，则是方程与不等式 的“关联解”； 当时，使得成立，不成立，则不是方程与不等式 的“关联解”； 当时，使得成立，不成立，则不是方程与不等式组 的“关联解”； 故答案为：否；①； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 解得：， 不等式组 解不等式得：，即， 解得：； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：根据题意可得：， ∴， 不等式组为，化简得：， 解不等式组得：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，方程的解，正确理解新定义是解题的关键． 27. 如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． （1）依题意补全图形； （2）若，求（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意，补全图形如图所示： （2） （3） 解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，称点为点P关于点M的变换点． （1）点Q为点关于点的变换点，点Q的坐标为_____； （2）如图，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．已知点，点为点关于点M的变换点． ①若点在正方形的边上，则a的值为_____； ②点，分别为点，关于点M的变换点，若三角形与正方形有公共点，则a的最大值为___，a的最小值为____． 【答案】（1） （2）①6或10；②10；2 【解析】 【分析】（1）根据“变换点”的定义解答即可； （2）①根据题意先求出，结合正方形四点的坐标可得若点在正方形的边上，则或，解答即可； ②先求出坐标，根据题意得出，解答即可； 【小问1详解】 解：∵点Q为点关于点的变换点， ∴，即； 【小问2详解】 解：①∵，，点为点关于点M的变换点， ∴， 根据题意可得正方形的范围：，， ∴在正方形y范围内，因此在正方形边上时，横坐标只能是正方形左右边的或， ∴，即， 或，即， 因此或10； ② ∵点，分别为点，关于点的变换点， ∴，， 三个点的纵坐标都在正方形y范围：内， 若三角形与正方形有公共点， 则三角形的x范围与正方形的x范围有交集， 即， 解得：， 因此的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一实验中学2025-2026学年初一年级第4学段 教与学诊断 数学学科 考生须知 1．本试卷共8页，28道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写姓名、所在学科班级． 3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（每小题2分，共16分）在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 3. 在平面直角坐标系中，点，，若直线与y轴垂直，则m的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 7 4. 某个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 这个不等式有最大整数解，是－2 B. 这个不等式有最大整数解，是－1 C. 这个不等式有最小整数解，是－2 D. 这个不等式有最小整数解，是－1 5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 6. 已知：关于的不等式组只有三个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某电商网站以智能手表为主要的产品运营．今年1—4月份，该网站智能手表的销售总额如图1所示，其中一款通话功能智能手表的销售额占当月智能手表销售总额的百分比如图2所示． 以下四个结论正确的是（ ） A. 今年1—4月，智能手表的销售总额连续下降 B. 今年1—4月，通话功能智能手表的销售额在当月智能手表销售总额中的占比连续下降 C. 通话功能智能手表3月份的销售额与2月份的销售额持平 D. 今年1—4月，通话功能智能手表销售额最低的月份是2月 8. 以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 且 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 10. 如果关于的不等式的解集为，则的值是___________． 11. 如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=65°,则∠2的度数为____.  12. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度． 13. 如图，A，B，C三点共线，D，E，B三点共线，且，，，则的长为____________. 14. 如图，，点在上，，，则________． 15. 如图，在中，点分别是线段的中点，且，则______． 16. 如图，在中，，将沿DE翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为________． 17. 在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论： ①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为_____． 18. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有首，; ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，； ③每天最多背诵10首，最少背诵3首． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 解答下列问题： （1）若，，，则的取值为________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为________首． 三、解答题（共54分） 19. 计算：． 20. 解不等式组：． 21. 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧， 分别交，于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧， 两弧交于点P； ③画射线，交于点D． 所以点D即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：过点D作于点E，连接，． 在与中， ∵，，， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 又∵， ∴（ ）（填推理的依据） 22. 如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：． 23. 如图，在中，D是边上的动点，过点D作交于E，交的延长线于点F． （1）若，求的度数； （2）在D点运动的过程中，探究是否为定值，如果是求出定值并证明；如果不是定值，请说明理由． 24. 飞盘是一种投掷盘形器具的运动，适用于比赛、健身及大众休闲等活动．它不仅具有广泛的群众性，娱乐性，还有很强的对抗性和趣味性．某商家拟购进A，B两种型号的飞盘，经问询知购进2个A型飞盘和3个B型飞盘需38元，已知B型飞盘的进货单价比A型飞盘的进价单价多6元． （1）A型飞盘和B型飞盘的进货单价分别是多少元？ （2）商家最终决定购进这两种飞盘共150个，其中B型飞盘数量不多于A型飞盘数量的2倍，若B型飞盘的销售单价为14元，A型的销售单价为6元，请你帮商家设计一种购货方案，使得商家获利最多，并求出最多获利为多少元？ 25. 为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部2023年和2024年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． （1）第一个研究小组随机抽取了该俱乐部2023年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 2 0.04 a 0.08 8 b 17 0.34 10 0.20 3 0.06 5 0.10 1 0.02 合计 c 1 ①请把上面的频数分布表补充完整：_____,_____,_____； ②在2023年，该俱乐部共有300名成员，根据上面的统计结果估计该年俱乐部中成绩x满足的人数为______； （2）第二个研究小组从该俱乐部2023年和2024年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了29名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时______（填“多”“少”）； ②将这29名选手中2024年成绩优于2023年成绩的人数记为m，其余选手人数记为n，则m______n（填“”“”“”）． 26. 给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式 的“关联解”． （1）判断是否是方程与不等式的“关联解”_____（填是或否）； 判断是方程与不等式（组）①，②，③中_______的“关联解”；（只填序号） （2）如果是关于的方程与关于的不等式组的“关联解”，那么____，的取值范围是_______； （3）如果是关于的方程与关于的不等式组的“关联解”，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． （1）依题意补全图形； （2）若，求（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，称点为点P关于点M的变换点． （1）点Q为点关于点的变换点，点Q的坐标为_____； （2）如图，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．已知点，点为点关于点M的变换点． ①若点在正方形的边上，则a的值为_____； ②点，分别为点，关于点M的变换点，若三角形与正方形有公共点，则a的最大值为___，a的最小值为____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $