暑期预习讲义（第4讲）——有理数乘除、乘方、科学记数法（知识梳理+题型精析+同步自测） 2026-2027学年人教版数学七年级上册

暑期预习讲义（第4讲）——有理数乘除、乘方、科学记数法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 1 【知识点一】有理数的乘法 2 【知识点二】有理数的除法 2 【知识点三】有理数的乘方（本节重难点） 3 【知识点四】科学记数法 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 科学记数法 3 【题型 2】 有理数的乘法 4 【题型 3】 有理数的乘法运算律 6 【题型 4】 有理数的除法 8 【题型 5】倒数 10 【题型 6】有理数的乘除混合运算 13 【题型 7】乘方 15 【题型 8】含乘方的有理数混合运算 16 三.经典题型精析（巩固提升） 19 【题型 9】有理数乘除简便运算 19 【题型 10】含乘方的有理数混合运算 21 【题型 11】乘方的应用 23 【题型 12】含乘方、绝对值的有理数混合运算 26 四.同步自测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 33 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。 （2）乘积为________的两个数互为倒数，________没有倒数。 （3）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的________；两数相除，同号得________，异号得________，并把绝对值相________。 （4）求几个________因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做________；在aⁿ中，a叫做________，n叫做________。 （5）正数的任何次幂都是________；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数；0的任何正整数次幂都是________。 （6）把一个大于10的数表示成________的形式（其中1≤|a|<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 答案：（1）得正；得负；绝对值；0；（2） 1；0 （3）倒数；正；负；除；（4）相同；幂；底数；指数；（5）正数；奇；偶；0；（6） 【知识点一】有理数的乘法 1. 有理数乘法法则（必考） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，结果都为0。 2. 多个有理数相乘符号规律 几个不为0的数相乘：负因数的个数为偶数，积为正数；负因数的个数为奇数，积为负数。 只要有一个因数为0，积直接为0。 3. 倒数的概念 乘积为1的两个数互为倒数。 特点：① 0没有倒数（考试高频易错）；② 正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数； ③ 倒数等于本身的数：1、-1。 4. 乘法运算律（简便计算专用） （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律： 【知识点二】有理数的除法 1. 除法核心法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。公式： 2. 两数相除符号规则 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，结果都为0；0不能做除数。 3. 乘除混合运算规则 先把所有除法统一转化为乘法，再约分计算；同级运算从左往右依次计算。 【知识点三】有理数的乘方（本节重难点） 1. 乘方定义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，结果叫做幂。 中：a：底数（参与相乘的数）n：指数（表示相乘的个数），读作：a的n次方或 a的n次幂 2. 乘方符号规律：① 正数的任何次幂都是正数；② 负数的偶次幂为正，奇次幂为负； ③ 0的任何正整数次幂都是0；④ 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1。 3. 必考易错辨析（90%学生易错） 与 完全不同： （底数只有3，先平方再取负） （底数是-3，整体平方） 【知识点四】科学记数法 1. 定义标准格式：把一个大数写成 的形式，必须满足：1≤|a|＜10，n为正整数 2. n的快速判断方法：原数是几位数，，例：36000（5位数）→ 3. 核心作用：用来简洁表示生活、科学中的极大数，所有版本教材通用必考题型。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 科学记数法 【例题1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）某计算机的固态硬盘能写入1560000兆字节的数据，则写入的数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可得到答案． 解：． 【变式1】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）六枝老王山是一座巍峨挺拔的山峦，其海拔约为2126米，将数据2126用科学记数法表示为，则__________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的概念， 解题思路为根据科学记数法的定义，确定的值，的值等于原数转化为（）时小数点向左移动的位数． 解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，原数绝对值大于时，为正数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，将变形为，小数点向左移动了位，因此． 【变式2】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）据统计，贵州省2025年总量约为23600亿元，数据23600用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可求解． 解：∵把23600的小数点向左移动4位可得到，满足，， ∴． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 【题型 2】 有理数的乘法 【例题2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算顺序和法则，是解题的关键． （1）运用有理数的加法交换律、结合律计算即可； （2）先计算乘法，再计算加法即可求解． 解：（1）解：， （2）解：． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵， ∴，，，故A，B，C错误， ，故D正确． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 解：（1）解： ； ； （2）解： ． ． 【题型 3】 有理数的乘法运算律 【例题3】（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ （1）请将淇淇的解法补充完整； （2）计算：． 【答案】（1）见分析；（2） 解：（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式1】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 【变式2】（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知在有理数运算中，乘法分配律是指一个数与几个数的和或差相乘，等于这个数分别与这些数相乘，再把积相加或相减． 根据解法二，将24分别与括号内的每个分数相乘，运用了乘法分配律． 解：解法二中，24与、、分别相乘，然后相加减，符合乘法分配律． 故答案为：乘法分配律． 【变式3】（23-24七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 解：（1）解： （2）解： 【题型 4】 有理数的除法 【例题4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【变式1】（2026·福建·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 解：由题意得，， ∴， ∴正确结果为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； （2）根据有理数的除法运算可进行求解； （3）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型 5】倒数 【例题5】（25-26六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；（填“解法一”或“解法二”） 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】（1）解法二；（2） 【分析】（1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果． 解：（1）解：解法一中将拆分为的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的； 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的． 正确的解法是解法二． （2）解：原式的倒数为， ． 原式． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则 的值是______． 【答案】3 【分析】根据相反数和倒数的定义得到，，再对原式变形后代入计算即可． 解：，互为相反数，，互为倒数， ，， ． 【变式3】（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法： 原式 小红的解法： 原式的倒数为 故原式 请根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的简便算法，熟练掌握简便算法的技巧是解题的关键．先计算原式的倒数，利用乘法分配律可以更简便地计算，再取结果的倒数即可． 解：原式的倒数为 ， 故原式． 【题型 6】有理数的乘除混合运算 【例题6】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）8；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 解：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法转化为乘法，带分数化为假分数，再通过约分计算． 解：原式 ， 故答案为：． 【变式3】（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； （2）请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）②③；（2）36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 解：（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 【题型 7】乘方 【例题7】（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 【变式1】（25-26七年级上·安徽六安·期中）的意义是表示_______________，它与两个数的关系是____________． 【答案】 3个的乘积 相等 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．利用乘方的意义即可解答． 解：的意义是表示3个的乘积，， 的意义是表示3个4相乘的积的相反数，， 则与两个数的关系是相等． 故答案为：3个的乘积；相等． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 【变式3】（25-26七年级上·四川泸州·期中）对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算，则的相反数是______． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据定义运算列式并计算，然后求得结果的相反数即可，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 解：∵对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算， ∴ ， 它的相反数为3， 故答案为：． 【题型 8】含乘方的有理数混合运算 【例题8】（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1 解：（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计算各选项，判断结果是否正确． 解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵，∴C选项正确． ∵，∴D选项错误． 故选：C． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 【答案】1 解： ． 【变式3】（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方、小括号内的减法，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后计算减法即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 9】有理数乘除简便运算 【例题9】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 解：的倒数为， ， 所以． 【变式1】（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 （1） （2） 【答案】（1）23；（2） 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【题型 10】含乘方的有理数混合运算 【例题10】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）6；（2）；（3） 解：（1）解： （2）解： （3）解： 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各对数中，数值相等的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．计算各对数的数值并比较，判断是否相等． 解：A．与相等，故该选项正确，符合题意； B．与不相等，故该选项不正确，不符合题意； C．与，不相等，故该选项不正确，不符合题意； D．与，不相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 解： ． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ． （2）解： ． 【题型 11】乘方的应用 【例题11】（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 解：（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 【变式2】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁营口·期中）把足够大的一张厚度为的纸连续对折（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），要使对折后的整叠纸的厚度是．则 （1）应对折多少次？ （2）有多少条折痕？ （3）对折次时有多少条折痕？ 【答案】（1）7；（2）127；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设对折n次，根据题意可得求解出即可解答； （2）根据对折1次的折痕数为1条，对折2次的折痕数为3条，对折3次的折痕数为7条，进行规律分析即可求解； （3）由（2）可得解． 解：（1）解：设对折n次，纸张厚度为． 由题意得 解得， 答：应对折次； （2）解：∵对折1次的折痕数为1条， 对折2次的折痕数为3条， 对折3次的折痕数为7条， 对折4次的折痕数为15条， ∴折痕数的规律为：， ∴当时，折痕数为． 答：有条折痕； （3）解：由（2）可得对折n次时，折痕数为． 【题型 12】含乘方、绝对值的有理数混合运算 【例题12】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，，，且，那么的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义、相反数的定义、倒数的定义、有理数的混合运算． 根据相反数和倒数的定义，得到，，根据绝对值和乘法运算法则，得到，再代入计算求值即可． 解：a、b互为相反数，c、d互为倒数， ，， ，，且， ，或，， ， ． 故选：D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 解： ． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）据不完全统计，2026年石家庄市中考报名人数大约147000人，数据147000用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：147000用科学记数法可以表示为． 2．（23-24七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 3．（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 4．（25-26六年级上·上海闵行·期末）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 5．（25-26六年级下·上海·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2和 B．2和 C．1和 D．和 【答案】D 解：A．，不满足相反数定义，A错误． B．，两数相等，不满足相反数定义，B错误． C．，两数相等，不满足相反数定义，C错误． D．，，满足，符合相反数定义，D正确． 6．（25-26七年级上·重庆·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘方，乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．利用的幂次性质：偶次幂为1，奇次幂为． 解：∵ n为正整数， ∴为偶数，为奇数， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 7．（2026·江苏镇江·一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 8．（25-26七年级上·广西贵港·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 解：当时，， ， 所以输出的值为7． 9．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 解：根据新运算规则， 可得 ． 10．（25-26七年级上·山东临沂·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小明利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上〇，满八进一，用来记录一个月做数学计算题的数量．若小明做了148道计算题，则画出的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了进制之间的转换，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是理解题目中的进制． 根据进制转换法则，列出算式求解即可． 解：， ∴对应的是选项B中的图形， 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 解：， 故答案为：0． 12．（2026·河北邯郸·二模）若，则“”表示的数是____． 【答案】 【分析】根据倒数的定义可得与互为倒数，即可求解． 解：∵， ∴与互为倒数， ∴“”表示的数是． 13．（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 解： ． 14．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 解：原式 故答案为：． 15．（25-26七年级下·云南曲靖·开学考试）定义新运算“”：，则______． 【答案】 【分析】先根据新定义运算法则列出算式，再利用有理数混合运算法则计算即可． 解：根据定义新运算可得． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 【答案】 解：，则， ，则， ． 17．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据数轴判断式子大小，相反数的意义，以及有理数的运算法则． 根据数轴得到，，进而逐一判断即可． 解：由数轴可知，，， ∴，，， 故正确的是①②④． 故答案为：①②④． 18．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值及数字变化规律，找到数字变化的规律是解题的关键．依次计算前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性即可得到答案． 解：第一次：输入，为偶数，输出； 第二次：输入，为奇数，输出； 第三次：输入，为偶数，输出； 第四次：输入，为偶数，输出； 第五次：输入，为偶数，输出； 第六次：输入，为偶数，输出； 第七次：输入，为偶数，输出； 第八次：输入，为奇数，输出； 第九次：输入，为偶数，输出； 故从第四次开始，呈现周期性规律，以为一个周期，循环周期为， ， 故第次输出的结果是． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确；原因是同级运算的运算顺序错误，见分析 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，核心知识点是同级运算的运算顺序及有理数乘除法法则． 解：小李的解法不正确．错误原因：有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小李错误运用除法结合律改变了运算顺序，导致结果错误； 正确解答： 原式 ． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ； 21．（本小题满分10分）（25-26六年级上·山东烟台·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）3 【分析】（1）根据含有乘方的混合运算求解即可； （2）化除法为乘法，然后应用分配律，最后加减计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ （2）上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】（1）东面，距离3千米；（2）44千米/小时． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数除法的应用． （1）将沈师傅营运十批乘客的里程相加，结果大于0，结合题意向东为正，向西为负，即可求解； （2）将沈师傅营运十批乘客里程的绝对值相加，可得上午沈师傅运载乘客行驶的路程，除以时间即可得平均速度． 解：（1）解（1）根据题意可得， （千米）， ∵，向东为正，向西为负， ∴将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离3千米． （2）由题意得,上午沈师傅运载乘客行驶的路程为： （千米）， 上午沈师傅开车的时间为1小时15分钟， （时）， 故沈师傅开车的时间为1.25小时， （千米/小时）， 上午沈师傅开车的平均速度是44千米/小时． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·全国·单元测试）【我会学】求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方” 【我会做】（1）直接写出计算结果：_________； （2）关于除方，下列说法正确的有__________（填序号）； ①； ②对于任何正整数，； ③； ④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数． 【我拓展】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：仿照如图所示的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式：_________；__________； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）①②④ ；；；（3） 【分析】本题考查了新定义的有理数运算，有理数的混合运算，有理数的乘方等知识，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题干定义直接计算即可； （2）分别根据题干定义方法计算，找出正确答案；将，展开，再转化为幂的形式即可； （3）根据新定义有理数的运算，有理数的乘方及绝对值的意义直接计算求出结果即可． 解：（1）， 故答案为：； （2）①，时正确，故①符合题意； ②，故②符合题意； ③∵，， ∴，故③不符合题意； ④负数的下奇数次方含有负号的数为奇数个，结果是负数，负数的下偶数次方含有负号的数为偶数个，结果是正数，故④符合题意， ∴符合题意的有：， 故答案为：． ， ， 故答案为：，； （3） ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第4讲）——有理数乘除、乘方、科学记数法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 课前自主预习填空 2 【知识点一】有理数的乘法 2 【知识点二】有理数的除法 3 【知识点三】有理数的乘方（本节重难点） 3 【知识点四】科学记数法 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 科学记数法 4 【题型 2】 有理数的乘法 4 【题型 3】 有理数的乘法运算律 4 【题型 4】 有理数的除法 6 【题型 5】倒数 6 【题型 6】有理数的乘除混合运算 7 【题型 7】乘方 8 【题型 8】含乘方的有理数混合运算 8 三.经典题型精析（巩固提升） 9 【题型 9】有理数乘除简便运算 9 【题型 10】含乘方的有理数混合运算 10 【题型 11】乘方的应用 10 【题型 12】含乘方、绝对值的有理数混合运算 11 四.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。 （2）乘积为________的两个数互为倒数，________没有倒数。 （3）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的________；两数相除，同号得________，异号得________，并把绝对值相________。 （4）求几个________因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做________；在aⁿ中，a叫做________，n叫做________。 （5）正数的任何次幂都是________；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数；0的任何正整数次幂都是________。 （6）把一个大于10的数表示成________的形式（其中1≤|a|<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 答案：（1）得正；得负；绝对值；0；（2） 1；0 （3）倒数；正；负；除；（4）相同；幂；底数；指数；（5）正数；奇；偶；0；（6） 【知识点一】有理数的乘法 1. 有理数乘法法则（必考） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，结果都为0。 2. 多个有理数相乘符号规律 几个不为0的数相乘：负因数的个数为偶数，积为正数；负因数的个数为奇数，积为负数。 只要有一个因数为0，积直接为0。 3. 倒数的概念 乘积为1的两个数互为倒数。 特点：① 0没有倒数（考试高频易错）；② 正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数； ③ 倒数等于本身的数：1、-1。 4. 乘法运算律（简便计算专用） （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律： 【知识点二】有理数的除法 1. 除法核心法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。公式： 2. 两数相除符号规则 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，结果都为0；0不能做除数。 3. 乘除混合运算规则 先把所有除法统一转化为乘法，再约分计算；同级运算从左往右依次计算。 【知识点三】有理数的乘方（本节重难点） 1. 乘方定义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，结果叫做幂。 中：a：底数（参与相乘的数）n：指数（表示相乘的个数），读作：a的n次方或 a的n次幂 2. 乘方符号规律：① 正数的任何次幂都是正数；② 负数的偶次幂为正，奇次幂为负； ③ 0的任何正整数次幂都是0；④ 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1。 3. 必考易错辨析（90%学生易错） 与 完全不同： （底数只有3，先平方再取负） （底数是-3，整体平方） 【知识点四】科学记数法 1. 定义标准格式：把一个大数写成 的形式，必须满足：1≤|a|＜10，n为正整数 2. n的快速判断方法：原数是几位数，，例：36000（5位数）→ 3. 核心作用：用来简洁表示生活、科学中的极大数，所有版本教材通用必考题型。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 科学记数法 【例题1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）某计算机的固态硬盘能写入1560000兆字节的数据，则写入的数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）六枝老王山是一座巍峨挺拔的山峦，其海拔约为2126米，将数据2126用科学记数法表示为，则__________． 【变式2】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）据统计，贵州省2025年总量约为23600亿元，数据23600用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【题型 2】 有理数的乘法 【例题2】（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： （1）； （2）． 【题型 3】 有理数的乘法运算律 【例题3】（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ （1）请将淇淇的解法补充完整； （2）计算：． 【变式1】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【变式2】（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【题型 4】 有理数的除法 【例题4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2026·福建·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型 5】倒数 【例题5】（25-26六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；（填“解法一”或“解法二”） 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则 的值是______． 【变式3】（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法： 原式 小红的解法： 原式的倒数为 故原式 请根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【题型 6】有理数的乘除混合运算 【例题6】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： （1） （2） 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）计算：__________． 【变式3】（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； （2）请你写出这道题的正确解答过程． 【题型 7】乘方 【例题7】（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【变式1】（25-26七年级上·安徽六安·期中）的意义是表示_______________，它与两个数的关系是____________． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（25-26七年级上·四川泸州·期中）对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算，则的相反数是______． 【题型 8】含乘方的有理数混合运算 【例题8】（25-26七年级上·吉林长春·期中）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 【变式3】（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）计算 （1） （2） 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 9】有理数乘除简便运算 【例题9】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【变式1】（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）用简便方法计算下列各题 （1） （2） 【变式2】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 （1） （2） 【变式3】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【题型 10】含乘方的有理数混合运算 【例题10】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1） （2） （3） 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各对数中，数值相等的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）． （2） 【题型 11】乘方的应用 【例题11】（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁营口·期中）把足够大的一张厚度为的纸连续对折（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），要使对折后的整叠纸的厚度是．则 （1）应对折多少次？ （2）有多少条折痕？ （3）对折次时有多少条折痕？ 【题型 12】含乘方、绝对值的有理数混合运算 【例题12】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，，，且，那么的值为（    ） A．7 B． C．9 D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． （1） （2） 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）据不完全统计，2026年石家庄市中考报名人数大约147000人，数据147000用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 3．（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·上海闵行·期末）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·上海·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2和 B．2和 C．1和 D．和 6．（25-26七年级上·重庆·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 7．（2026·江苏镇江·一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 8．（25-26七年级上·广西贵港·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·山东临沂·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小明利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上〇，满八进一，用来记录一个月做数学计算题的数量．若小明做了148道计算题，则画出的图形是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 12．（2026·河北邯郸·二模）若，则“”表示的数是____． 13．（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 14．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 15．（25-26七年级下·云南曲靖·开学考试）定义新运算“”：，则______． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 17．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 18．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26六年级上·山东烟台·期末）计算： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2） 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ （2）上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·全国·单元测试）【我会学】求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方” 【我会做】（1）直接写出计算结果：_________； （2）关于除方，下列说法正确的有__________（填序号）； ①； ②对于任何正整数，； ③； ④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数． 【我拓展】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：仿照如图所示的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式：_________；__________； （3）计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $