暑期预习讲义（第8讲）——一元一次方程解法 - 2026-2027学年人教版七年级数学上册

暑期预习讲义（第8讲）——一元一次方程解法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 预习前置：自主填空梳理 1 【知识点一】 一元一次方程定义 2 【知识点二】等式的基本性质（解方程的理论依据） 2 【知识点三】 解一元一次方程完整步骤及规范 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 一元一次方程的识别 3 【题型 2】 利用等式性质变形 5 【题型 3】 基础一元一次方程求解（无分母无括号） 7 【题型 4】 含括号的一元一次方程求解（核心基础） 8 【题型 5】 含分母的一元一次方程求解（高频必考） 10 【题型 6】 利用方程的解求参数（拔高题型） 12 三.经典题型精析（巩固提升） 14 【题型 7】 解含分母为小数的一元一次方程（拔高题型） 14 【题型 8】 解含绝对值的一元一次方程（拔高题型） 16 四.同步自测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 预习前置：自主填空梳理 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： 1. 含有_____的等式叫做方程；只含有_______个未知数，并且未知数的次数是________，等号两边都是________的方程，叫做一元一次方程。 2. 等式性质1：等式两边同时________（或________）同一个数（或式子），结果仍相等。 3. 等式性质2：等式两边同时乘________，或除以同一个________的数，结果仍相等。 4. 使方程左右两边相等的________的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做________。 5. 解一元一次方程的五大步骤：去分母→_______→________→________→系数化为1。 6. 移项法则：把方程中的某一项改变________后，从方程的一边________另一边，移项必须________。 答案：1. 未知数；一；1；整式 2. 加上；减去 3. 同一个数；不为0 4. 未知数；解方程 5. 去括号；移项；合并同类项 6. 符号；移到；变号 【知识点一】 一元一次方程定义 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程 【要点提示】 1.一元一次方程判定条件：① 只含一个未知数；② 未知数最高次数为1；③ 等式两边均为整式（分母不含未知数）。 2. 标准形式：（a、b为常数，a不能为0，否则未知数消失，不再是一元一次方程）。 3. 易错辨析：不是一元一次方程（分母含未知数，不是整式方程）；不是一元一次方程（未知数次数为2）。 【知识点二】等式的基本性质（解方程的理论依据） 等式基本性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等 若，则。 【要点提示】等式两边同步加减，数值、式子均可，两边变化完全一致。 等式基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等 若，则；若，则。 【要点提示】等式两边除以数时，该数绝对不能为0，0不能作为除数。 【知识点三】 解一元一次方程完整步骤及规范 （1）去分母——方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母；注意：不含分母的常数项也要乘，杜绝漏乘。 （2）去括号——依据去括号法则，正号不变、负号全变，系数遍乘每一项，防止漏乘、错号。 （3）移项——含未知数的项移到左边，常数项移到右边；移项必变号，不移项不变号。 （4）合并同类项——化为最简形式。 （5）系数化为1——方程两边同时除以未知数系数a，得。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 一元一次方程的识别 【例题1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A选项：方程含有两个未知数，不符合条件，错误； B选项：方程中未知数最高次数为2，不符合条件，错误； C选项：方程只含1个未知数，未知数次数为1，两边均为整式，符合一元一次方程定义，正确； D选项：方程分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，错误． 【变式2】（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，多项式的次数，解题的关键是理解题意．根据代数式是关于的一次多项式，得出，把代入方程，解关于k的方程即可． 解：因为代数式是关于的一次多项式， 所以， 把代入方程中， 可得：， 解得：． 【题型 2】 利用等式性质变形 【例题2】（25-26六年级下·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 解：（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的基本性质为：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 解：∵若，两边同时加1可得，两边同时减2可得， ∴A，B选项变形正确，不符合题意． ∵若，且，两边同时除以4可得， ∴D选项变形正确，不符合题意． ∵若，当时，无论取何值等式都成立，只有时才能得到，题目没有说明，因此不能直接得到， ∴C选项变形错误，符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键． （1）方程两边同减3，得出答案即可； （2）先方程两边同加4，然后方程两边同减，即可得出答案． 解：（1）解：， 方程两边同减3得：； （2）解：， 方程两边同加4得：， 方程两边同减得：． 【题型 3】 基础一元一次方程求解（无分母无括号） 【例题3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）补全解方程的过程： 解：移项，得_________． 合并同类项，得____________________________． 系数化为，得________________． 【答案】；；；； 【分析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故答案为：；；；；． 【点拨】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·河北邢台·期末）一元一次方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把未知数移到方程左边，把常数项移到方程右边，注意移项时要变号，据此求解即可．． 解： 移项得， 故选：D． 【变式2】（23-24六年级下·上海杨浦·开学考试）方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先移项，再合并同类项，系数化为1，即可作答． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·四川广安·阶段检测）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 解：（1）解：移项，得 合并同类项，得， 将系数化为1，得． （2）解：移项，得 合并同类项，得， 将系数化为1，得． 【题型 4】 含括号的一元一次方程求解（核心基础） 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：去括号，得 移项及合并，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解： 去括号，得 ， 移项及合并，得 系数化为1，得 ． 【变式1】（25-26七年级下·北京·阶段检测）在解方程 中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则计算原方程左边的去括号结果，再匹配选项．用到的知识点为：去括号时括号外的因数要乘括号内的每一项；若括号外因数为负数，去括号后原括号内各项符号要改变． 解：∵ 原方程为 ． 去括号得，． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）小明同学在解方程时，是这么计算的， 第一步 第二步 第三步 第四步 其中第一步的变形依据是_____（填序号），第二步的变形依据是_____（填序号）． ①加法交换律；②乘法结合律；③乘法分配律；④等式的基本性质1；⑤等式的基本性质2． 【答案】 ③ ④ 【分析】根据乘法的分配律和等式的基本性质进行判断即可． 解： 去括号，得（依据是乘法的分配律） 移项，得（依据是等式的基本性质1）． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 解：（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得． 易错提醒：括号外系数需乘遍括号内每一项，禁止漏乘常数项。 【题型 5】 含分母的一元一次方程求解（高频必考） 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可． 解：（1）解：去分母得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6去分母，可得：， 化简得． 【变式2】（25-26六年级下·山东青岛·期中）小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解，则方程正确的解_____． 【答案】7 【分析】先根据小明错误的解法求出，从而可得原方程为，再解一元一次方程即可得出结果． 解：∵小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解， ∴， ∴将代入可得， 解得：， ∴原方程为， 去分母可得：， 解得：． 【变式3】（25-26七年级上·山东德州·期末）解方程： （1）， （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为求解即可． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为求解即可． 解：（1）解： 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得． 重点警示：去分母时，等式右侧的常数项1必须乘公倍数6，是最高频漏分易错点。 【题型 6】 利用方程的解求参数（拔高题型） 【例题6】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，先解出第一个方程的解，根据两个方程的解互为相反数得到第二个方程的解，再将解代入第二个方程即可求出的值． 解：解方程 移项得 解得 ∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 把代入 得 整理得 解得． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 解：关于x的一元一次方程的解为1， ∴ 解得． 【变式2】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知方程的解比关于x的方程的解小1，则a的值为____． 【答案】 【分析】先求出方程的解，进而得到方程的解，代入即可求出a的值． 解：解得， ∵方程的解比关于x的方程的解小1， ∴方程的解为， ∴， 解得：． 【变式3】（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】解方程得，代入后得，求解后可得答案． 解：解方程， 得：， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴， 即， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 即的值为． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 7】 解含分母为小数的一元一次方程（拔高题型） 【例题7】（24-25七年级下·山东菏泽·开学考试）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可． 解：（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 等式两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式1】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）下列变形正确的是（   ） A．将方程系数化为1，得 B．将去分母，得 C．方程去括号，得 D．将方程的分母化为整数，得 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的变形规则，解题的关键是熟练掌握系数化为1、去分母、去括号、分母化为整数的正确操作方法． 对每个选项直接按变形规则验证，系数化为 1 时两边同除系数；去分母时要给分子整体加括号；去括号时注意负号的分配；分母化为整数时分子分母要同乘相同的数． 解：A、将方程系数化为1，得，此选项不符合题意； B、将去分母，得，即，此选项不符合题意； C、方程去括号，得，此选项不符合题意； D、将方程的分母化为整数，得，此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的过程是解题的关键． 先根据分数的基本性质，将方程整理为，再通过去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤即可求解． 解： 整理，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 故答案为． 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期中）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：整理得 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型 8】 解含绝对值的一元一次方程（拔高题型） 【例题8】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： （1）解方程：； （2）拓展延伸：解方程． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 解：（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 【变式1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 【变式2】（25-26七年级上·河南焦作·期中）如图，数轴上两点A，B表示的数分别为，6，若在数轴上存在一点C，使，则点C表示的数为_________． 【答案】或 【分析】根据“数轴上两点间的距离等于它们表示的两数差的绝对值”，由即可解答． 解：数轴上两点A，B表示的数分别是，6， 设点C表示的数为x， ， ，即， 或， 解得或． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南通·期中）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． 原方程的解为或． （1）依例题的解法，方程的解是_______； （2）尝试解绝对值方程：； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解． 解：（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的求解，利用移项法则计算即可得到结果． 解： 移项得 解得 ． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时方程每一项都要乘分母的最小公倍数，分子是多项式时去掉分母后要加括号． 解：∵ 原方程为 ，分母和的最小公倍数为， ∴ 方程两边同时乘去分母，得 ． 化简得 ， 整理得 ． 故选D． 5．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将新方程中的看作原方程中的，利用已知原方程的解，建立关于的一元一次方程求解即可． 解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程中，， 解得： ∴的解为． 6．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 7．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 8．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 9．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与k的取值无关，得到，且，求解即可． 解：方程的解总为， 代入得， 化简得， 该式对任意成立， ，且， 解得， ，， 故选：A． 10．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【找规律】用小棒按照下面的方式摆图形，第（     ）个图形刚好用了2026根小棒． A．337 B．338 C．405 D．407 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是找出图形的变化规律，即多一个六边形，则多用5个小棒，据此解答即可． 解：观察图形可知，第一个图形需要根小棒， 第二个图形需要根小棒， 第三个图形需要根小棒， 第四个图形需要根小棒， 由此可以推出，摆第n个图形需要根小棒， 由， 解得， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·新疆和田·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 解：∵， 移项，得， 等式两边同乘，得． 12．（24-25六年级下·山东烟台·期中）若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 【答案】 【分析】由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·山东淄博·期末）方程的解是_________． 【答案】 解： 方程两边同时乘以得． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，列出一元一次方程，求解方程即可得到x的值． 解：∵与互为相反数， ∴， ． 15．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若代数式与的和为12，则a的值为________． 【答案】7 【分析】根据题意列出一元一次方程，按照一元一次方程的解法求解即可． 解：根据题意列方程得 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得． 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同解方程即两个方程的解相同，先求解不含参数的方程得到x的值，再将x代入含参数的方程，即可求出参数m的值． 解：解方程， 解得 ． 解方程， 解得 ． 两个方程的解相同， ，解得 ． 17．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可． 解：解方程 得； 解方程 得． 由题意，，即， 解得． 故答案为：． 18．（2026·重庆·二模）若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】先根据，判断异号，求出的值，再将代入给定的一元一次方程求解即可． 解：， 异号， 分两种情况讨论， 当时， ， 当时， ， 综上可得， 将代入原方程得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·四川达州·开学考试）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： 解得； （2）解： 解得． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东云浮·期末）下面是某同学解方程的过程，请仔细阅读，并完成以下任务． 解方程∶． 解：去括号，得．（第一步） 移项，得．（第二步） 合并同类项，得．（第三步） 系数化为1，得 （第四步） （1）该同学的解答过程在第_______步开始出现错误． （2）请你写出此方程的正确解答过程． 【答案】（1）一；（2）见分析 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据去括号的方法，进行判断得出答案即可； （2）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 解：（1）解：该同学的解答过程在第一步开始出现错误． 故答案为：一． （2）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东淄博·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． （1）求的值； （2）求方程正确的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据解的定义，把代入误抄后的方程即可求出a的值； （2）把a的值代入原方程，然后解方程即可． 解：（1）解：依题意可知方程的解为． 把代入，得． ， ， ； （2）解：把代入，可得原方程为． 去分母，得 ． 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 22．（本小题满分10分）（2026·河北沧州·模拟预测）在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… （1）对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； （2）从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果． （2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 解：（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍． 原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到， 因此对应结果为，或，． （2）解：选择嘉嘉的解法进行计算 原方程变形得： 两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 若选择淇淇的解法，过程如下： 原方程变形得： 两边同乘12去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得：． 23．（本小题满分10分）（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·重庆万州·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： （1）解方程； （2）解方程． 【答案】（1） 或 ；（2） 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 解：（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第8讲）——一元一次方程解法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 预习前置：自主填空梳理 1 【知识点一】 一元一次方程定义 2 【知识点二】等式的基本性质（解方程的理论依据） 2 【知识点三】 解一元一次方程完整步骤及规范 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 一元一次方程的识别 3 【题型 2】 利用等式性质变形 3 【题型 3】 基础一元一次方程求解（无分母无括号） 4 【题型 4】 含括号的一元一次方程求解（核心基础） 4 【题型 5】 含分母的一元一次方程求解（高频必考） 5 【题型 6】 利用方程的解求参数（拔高题型） 6 三.经典题型精析（巩固提升） 6 【题型 7】 解含分母为小数的一元一次方程（拔高题型） 6 【题型 8】 解含绝对值的一元一次方程（拔高题型） 6 四.同步自测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 预习前置：自主填空梳理 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： 1. 含有_____的等式叫做方程；只含有_______个未知数，并且未知数的次数是________，等号两边都是________的方程，叫做一元一次方程。 2. 等式性质1：等式两边同时________（或________）同一个数（或式子），结果仍相等。 3. 等式性质2：等式两边同时乘________，或除以同一个________的数，结果仍相等。 4. 使方程左右两边相等的________的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做________。 5. 解一元一次方程的五大步骤：去分母→_______→________→________→系数化为1。 6. 移项法则：把方程中的某一项改变________后，从方程的一边________另一边，移项必须________。 【知识点一】 一元一次方程定义 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程 【要点提示】 1.一元一次方程判定条件：① 只含一个未知数；② 未知数最高次数为1；③ 等式两边均为整式（分母不含未知数）。 2. 标准形式：（a、b为常数，a不能为0，否则未知数消失，不再是一元一次方程）。 3. 易错辨析：不是一元一次方程（分母含未知数，不是整式方程）；不是一元一次方程（未知数次数为2）。 【知识点二】等式的基本性质（解方程的理论依据） 等式基本性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等 若，则。 【要点提示】等式两边同步加减，数值、式子均可，两边变化完全一致。 等式基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等 若，则；若，则。 【要点提示】等式两边除以数时，该数绝对不能为0，0不能作为除数。 【知识点三】 解一元一次方程完整步骤及规范 （1）去分母——方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母；注意：不含分母的常数项也要乘，杜绝漏乘。 （2）去括号——依据去括号法则，正号不变、负号全变，系数遍乘每一项，防止漏乘、错号。 （3）移项——含未知数的项移到左边，常数项移到右边；移项必变号，不移项不变号。 （4）合并同类项——化为最简形式。 （5）系数化为1——方程两边同时除以未知数系数a，得。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 一元一次方程的识别 【例题1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 【题型 2】 利用等式性质变形 【例题2】（25-26六年级下·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式． （1）； （2）． 【题型 3】 基础一元一次方程求解（无分母无括号） 【例题3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）补全解方程的过程： 解：移项，得_________． 合并同类项，得____________________________． 系数化为，得________________． 【变式1】（25-26七年级上·河北邢台·期末）一元一次方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·上海杨浦·开学考试）方程的解为________． 【变式3】（24-25七年级上·四川广安·阶段检测）解方程： （1）； （2）． 【题型 4】 含括号的一元一次方程求解（核心基础） 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·北京·阶段检测）在解方程 中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）小明同学在解方程时，是这么计算的， 第一步 第二步 第三步 第四步 其中第一步的变形依据是_____（填序号），第二步的变形依据是_____（填序号）． ①加法交换律；②乘法结合律；③乘法分配律；④等式的基本性质1；⑤等式的基本性质2． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 易错提醒：括号外系数需乘遍括号内每一项，禁止漏乘常数项。 【题型 5】 含分母的一元一次方程求解（高频必考） 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·山东青岛·期中）小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解，则方程正确的解_____． 【变式3】（25-26七年级上·山东德州·期末）解方程： （1）， （2）． 重点警示：去分母时，等式右侧的常数项1必须乘公倍数6，是最高频漏分易错点。 【题型 6】 利用方程的解求参数（拔高题型） 【例题6】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【变式2】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知方程的解比关于x的方程的解小1，则a的值为____． 【变式3】（25-26六年级下·山东济宁·阶段检测）已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 7】 解含分母为小数的一元一次方程（拔高题型） 【例题7】（24-25七年级下·山东菏泽·开学考试）解方程 （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·山东潍坊·期末）下列变形正确的是（   ） A．将方程系数化为1，得 B．将去分母，得 C．方程去括号，得 D．将方程的分母化为整数，得 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）方程的解为_______． 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期中）计算下列各式： （1）； （2）． 【题型 8】 解含绝对值的一元一次方程（拔高题型） 【例题8】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： （1）解方程：； （2）拓展延伸：解方程． 【变式1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【变式2】（25-26七年级上·河南焦作·期中）如图，数轴上两点A，B表示的数分别为，6，若在数轴上存在一点C，使，则点C表示的数为_________． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南通·期中）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． 原方程的解为或． （1）依例题的解法，方程的解是_______； （2）尝试解绝对值方程：； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 7．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 9．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）在关于x的方程中，不论k取何值，方程的解总为，则a，b的值分别为（） A．1，253 B．，2 C．1，2 D．，2024 10．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【找规律】用小棒按照下面的方式摆图形，第（     ）个图形刚好用了2026根小棒． A．337 B．338 C．405 D．407 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·新疆和田·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 12．（24-25六年级下·山东烟台·期中）若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 13．（25-26七年级下·山东淄博·期末）方程的解是_________． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若与互为相反数，则的值为________． 15．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若代数式与的和为12，则a的值为________． 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为________． 17．（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________． 18．（2026·重庆·二模）若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·四川达州·开学考试）解方程： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东云浮·期末）下面是某同学解方程的过程，请仔细阅读，并完成以下任务． 解方程∶． 解：去括号，得．（第一步） 移项，得．（第二步） 合并同类项，得．（第三步） 系数化为1，得 （第四步） （1）该同学的解答过程在第_______步开始出现错误． （2）请你写出此方程的正确解答过程． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东淄博·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． （1）求的值； （2）求方程正确的解． 22．（本小题满分10分）（2026·河北沧州·模拟预测）在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… （1）对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； （2）从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 23．（本小题满分10分）（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·重庆万州·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： （1）解方程； （2）解方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $