4.5.1函数的零点与方程的解 同步练习 ----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，覆盖函数零点定义、存在性判定及综合应用，梯度合理，助力新授课知识从概念理解到迁移应用的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|零点定义、存在性定理|单选及多选（题1-6），如充要条件判断（题2）强化概念辨析，培养推理能力| |中档层|零点求解、个数判断|填空与解答（题7-10），如二次函数零点转化（题7）提升运算能力，体现数学思维| |提升层|参数问题、综合应用|含参零点讨论（题14）、复合函数零点（题15），结合图象分析（题12），发展几何直观与模型意识|

4.5.1　函数的零点与方程的解 1. （2025秋·青岛期末）函数的零点所在区间为（　　） A．（0, 1） B．（1, 2） C．（2, 3） D．（3, 4） 2.有以下三个命题： ①“方程f（x）＝0有实数解”是“函数y＝f（x）有零点”的充要条件； ②“方程f（x）＝0有实数解”是“函数y＝f（x）的图象与x轴有交点”的充要条件； ③“函数y＝f（x）有零点”是“函数y＝f（x）的图象与x轴有交点”的充要条件. 其中正确命题的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 3. ( 2025秋·榆林期末 ) 的零点为 （　　） A. B.  C.  D.  4. 已知函数的零点为和, 则（　　） A.  B.  C.  D.  5.（多选）下列函数存在零点的是（　　） A.y＝x－ B.y＝ C.y＝logax2（a＞0且a≠1） D.y＝ 6.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为（－1，0） B.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1 C.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点 D.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标 7.已知函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是　　　　. 8.请写出同时满足以下条件的一个函数：　　　　. ①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线； ②该函数是偶函数； ③该函数恰有2个零点. 9.方程（）x－＝0的解的个数为　　　　. 10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点： （1）f（x）＝－x2＋2x－1； （2）f（x）＝x4－x2； （3）f（x）＝4x＋5； （4）f（x）＝log3（x＋1）. 11. (2025秋·重庆校级月考) 函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（　　 ） A.  B.  C.  D.  12.已知函数f（x）＝若k＞0，则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 13.已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　.（用“＜”连接） 14. 若函数. (1) 若，求函数的零点； (2) 若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围。 15.（多选）已知定义域和值域均为[－a，a]（a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　 ） A.方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解 B.方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解 C.方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解 D.方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解 16.已知二次函数f（x）满足f（0）＝1，且f（x＋1）－f（x）＝2x－1，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）＝f（x）. （1）求f（x）的解析式； （2）在给定的坐标系内画出g（x）的图象； （3）讨论函数h（x）＝g（x）－t（t∈R）的零点个数. 4.5.1　函数的零点与方程的解 1.B　 函数的零点所在区间是（1, 2）. 故选：B． 2.D　方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）有零点⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点，故命题①②③均正确，故选D. 3.B　由，得，即. 所以函数的零点为. 故选：B. 4.A　根据题意, 函数的零点为和, 则方程的两根为和, 则, 解可得, 故. 故选: A. 5.ABC　令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－和1；只有选项D中函数无零点. 6.BD　根据函数零点的定义，可知f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.因此B、D正确. 7.－，－　解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2，3，∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，即为函数g（x）的零点. 8.f（x）＝x2－1（答案不唯一）　解析：因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取f（x）＝x2－1（答案不唯一）. 9.2　解析：方程（）x－＝0的解的个数，即函数y＝（）x和函数y＝的图象的交点个数，如图所示.数形结合可得，函数y＝（）x和函数y＝的图象的交点个数为2，故方程（）x－＝0的解的个数为2. 10.解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1， 所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1. （2）令f（x）＝x2（x－1）（x＋1）＝0， 解得x＝0或x＝1或x＝－1， 故函数 f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1. （3）令4x＋5＝0，则4x＝－5， 因为4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0无实数解. 所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点. （4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0， 所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0. 11.D　函数在区间内有零点， 即方程在区间内有解， 即方程在区间内有解， 令， 易知函数在上单调递减，在上单调递减， 所以是减函数， 又，， 所以函数的值域为， 即的取值范围为. 故选：D. 12.D　法一　令y＝｜f（x）｜－1＝0，得｜f（x）｜＝1，即f（x）＝1或f（x）＝－1.当x＞0时，由ln x＝1或ln x＝－1，得x＝e或x＝；当x≤0时，由kx＋2＝1或kx＋2＝－1，得x＝－＜0或x＝－＜0.则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4. 法二　y＝f（x）的图象如图①所示， 故y＝｜f（x）｜的图象如图②所示. 令y＝｜f（x）｜－1＝0，即｜f（x）｜＝1，y＝｜f（x）｜的图象与y＝1有4个交点，故函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4. 13.a＜b＜c　解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c. 14.解：(1) 若， 令，则或， 所以函数的零点是； (2) 由题意恰好有一个根， 即恰好有一个根， 所以恰好有一个根， 令， 即恰好有一个根， 令， 则函数是增函数， 所以的值域是。 故所求为 15.AD　设f（x）的零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3.由f[g（x）]＝0，得g（x）＝x1或g（x）＝x2或g（x）＝x3.由g（x）的图象可知满足条件的x的值有三个.故方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解，故A正确；同理，f[f（x）]＝0最多有九个解，故C错误；因为g（x）＝0有一个解，又g（x）每个对应的值只有一个相应的解，故g[g（x）]＝0有且仅有一个解，而g[f（x）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确. 16.解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f（0）＝c＝1， 因为f（x＋1）－f（x）＝[a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1]－（ax2＋bx＋1）＝2ax＋a＋b， 故2ax＋a＋b＝2x－1， 所以解得 因此f（x）＝x2－2x＋1. （2）当x≥0时，g（x）＝f（x）＝x2－2x＋1， 当x＜0时，－x＞0，则g（－x）＝（－x）2－2（－x）＋1＝x2＋2x＋1， 因为g（x）为偶函数，故g（－x）＝g（x）， 故g（x）＝x2＋2x＋1，x＜0， 综上，g（x）＝ 函数g（x）的图象如图所示： （3）由图可知，g（1）＝g（－1）＝0，g（0）＝1， 当t＜0时，函数h（x）没有零点； 当t＝0时，函数h（x）有两个零点； 当0＜t＜1时，函数h（x）有四个零点； 当t＝1时，函数h（x）有三个零点； 当t＞1时，函数h（x）有两个零点. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $