第4章 指数函数与对数函数 习题课(2)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课时卷

192无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 C.故选A.] 2.B[解析：D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数 的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来 越慢，符合题意.故选B.】 3.A[解析：随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的 增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.故选A.】 4.D【解析：对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指 数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长 速度不能比较；对于B,C,当0<a<1时，显然不成立.当a> 1,n>0时，一定存在xo,使得当x>xo时，总有a>x"> logax.故选D.] 5.C【解析：通过对数型函数、指数型函数、直线型函数的 增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量 y随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增 长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定 不变，y随x的变化符合此规律.故选C.] 6.B[解析：开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了 之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合，故 选B.] 7.(4)(1)(3)(2)[解析：A容器下粗上细，水高度 的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化 为快一慢一快，应与(1)对应；C,D容器都是柱形的，水高度 的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高 度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应.] 〖能力提升】 1.AD[解析：结合指数函数及对数函数的图象可知AD正 确.故选AD.】 2.D[解析：设该林区的森林原有蓄积量为α，由题意， ax=a(1+0.104)',故y=log1.1o4x(x≥1)，所以y=f(x)的 图象大致为D中图象.故选D.】 fh(10)=ma2°=0.1， 3.C[解析：由题意得 解得a=2而，m= h(20)=ma20=0.2, 0.05,故h(t)=0.05×(2元)'，令h(t)=0.05×(2元)=1，得 （2)'=20,故1=1g20=1+g2≈101+0.3》≈43（分钟）. 0.3 故选C.] 4.①[解析：结合一次函数、幂函数、指数函数和对数函数 的增长模型，从足够长远的角度看，①更为有前途.] 5.一号n25【解析：因为5秒后两桶的水量相等，则 ae=受→>e=→n=吉n=一n2,若长秒后甲 桶水量为冬，则ae*=号，e=子→n=n子→ 号1n2·k=-21n2,所以k=10,所以m=10-5=5.】 6.①⑧【解析：由于函数的图象经过点(2，号)，故函数的 关系式为y=(号广当：=4时y=<号，故①正确，当 =1时y=子，减少子，当=2时y=÷,减少号，故每月 减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y=名，片， 日解得4=log号76=1og号子4=1og号言4十4=， 1 故③正确.】 7.解：A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种 债券的半年利率为1.450，所以100元一年到期的本息 50 和为100(1+514.50)'≈105.68（元），收益为5.68元：C 50 种债券的利率为100,7,10元一年到期的本息和为10× （1+100,92)≈103.09（元），收益为3.09元.通过以上分 97 析，应购买B种债券 8.解：(1)符合条件的是f(x)=ax十b,理由：若模型为 f(x)=2+a,则由f(1)=2+a=4,得a=2,即f(x)= 2+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太 大，不符合.若模型为f(x)=log之x十a,则f(x)是减函数， a+b=4, a1 2 与已知不符合.由已知得 解得 所以 3a+b=7, b= 5 2 f)=是xt号eN 5 (2②2023年预计年产量为/八7)=号×7+号=13,2023年 实际年产量为13×(1一30%)=9.1.答：最适合的模型解析 式为)=号+号x∈N2023年的年产量为9.1万件. 习题课(2) 【基础过关】 1.B[解析：由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a)2= a5,a文·az=a°=1，所以A,C不正确；由对数的运算性 质，可得1og6-1g3=1og:号-1og:2=1,所以B是正确 的；对于D,根据对数的化简，可得1og3(一4)2=21og34,而 1og(一4)是无意义的.故选B.】 2.A[解析：由3=2得a=1og:2,所以1og16-3log6= log324-3log3(2×3)=4log32-3(log32+log33)=4a 3(a十1)=a-3.故选A.] 3.D【解析：由换底公式，得g3.g.竖=2,1gx= lg51g31g6 -21g5,x=52=云故选D.】 4.B【解析：因为集合A={2<2<2,B {zn(x-之)<0，所以A=(x|21<2≤2，B {zn(x-2)<n1,即A={-1<x≤1，B- {z0<x-之≤1}，所以A=(-1,],B=(2,号]，所以【x B=(-o,2]U(号，+©)，所以An(CB) (-1,2]故选B】 2x+1>0, 5.B[解析：根据题意得〈 解得x∈(-2,0)U 2x+1≠1 (0,十∞).故选B.】 6.B[解析：将点(6,3)代入f(x)=log(x十2)中，得3= log(6十2)=log.8=3log.2,即1og.2=1,可得a=2,所以 f(x)=log2(x十2)，所以f(2)=log(2十2)=2.故选B.] 7.B[解析：a=l1og20.2<log21=0,b=20.2>2°=1，因为 0<0.2.3<0.2°=1，所以c=0.2.3∈(0,1)，所以a<c<b, 故选B.】 8.C【解析：通过所给数据可知，y随x的增大，其增长速 度越来越快，而A,D中的函数增长速度越来越慢，B中的函 数增长速度保持不变，故选C.] 9.B[解析：当a>1时，y=log.是增函数；当a>1时，则 0<<1,所以y=Q=(日）广厂是减函数，观察四个选项 a 可得，选项B符合题意.故选B.】 10.B[解析：因为log.(e+3)≥1=logaa,所以a>1且a≤ e+3对任意实数x都成立，又e+3>3,所以1<a≤3，故 选B.] 11.log23【解析：因为log2(4-5)=2+log2(2-2),所以 4-5=4(2-2),即(2)2-4·2+3=0，所以2x=1或 4-5>0, 2=3;又 所以2=3，所以x=1og23.] 12x-2>0, 12.(1)3【解析：1og27+1g十lhE+21+3- 参考答案193 log3+lg10+het+号×23=31og3-lg102+ +×3=3-2++-3.1 2)-11【解析：(-)厂广片+(og16)×(og号）- (》产)+x-()+× -2g3=-3-8=-11.] lg 2 13.(o,)U(4,十∞)【解析：由于函数y=f(x)是偶函 数，又f(Iog2x)>f(2),得f(|log影x)>f(2),又因为函数 y=f(x)在区间[0，十∞)上单调递增，所以|log2x>2,即 1og:x<-2或1ogx>2,解得0<x<或x>4.因此，所求 x的取值范围是(0，)U(4,+∞).】 14.解：(1)由a2-3a十3=1，可得a=2或a=1(舍去)，所以 f(x)=2r. (2)log2(1-x)>log2(x+2),即1-x>x+2>0,所以-2< x<-之，故原不等式的解集为{z-2<x<-2}: 15.解：1)令1=log:,由于x∈[2,2]，则[-1，.于 是y=+4=(+分)'-子，其图象为开口向上的抛物线， 对称轴1=一合，放当1=一子，即x=号时y取得最小值 -子，当=1，即x=2时y取得最大值2. x+1>0, (2)当a>1时，原不等式可化为 3-x2>0, 即 x+1>3-x2, x>-1, 一√5<x<√5，解得1<x<√3.故a>1时，原不等式的解集 x>1或x<-2, 为{x|1<x<3};当0<a<1时，原不等式可化为 (x+1>0, x>-1, 3-x2>0, 即-√3<x<3,解得-1<x<1.故0<a<1 x+1<3-x2, (-2<x<1, 时，原不等式的解集为{x一1<x<1} 【能力提升】 x-1>0, 1.C[解析：不等式1og2(x-1)<-1台 194无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 x<号故解集为{x1<x<号}故选C】 2.D[解析：当a>1时，因为a>a',所以x>y,但是不能 推出|x>y,所以不能推出1log。|x>log|yl,所以“a> a”不是“loga|x>log.|yl”的充分条件.当0<a<1时，理 由同上，所以“a>a”不是“log.|x>log|y”的充分条件. 当a>1时，因为log.|x>log。|y,所以|x>|yl,但是不 能推出x>y,所以不能推出a>a',所以“a>a”不是 “logax|>log.|y|”的必要条件.当0<a<1时，理由同上， 所以“a>a'”不是“log。|x|>loga|y|”的必要条件.所以 “a>a”是“logx>log。|y|”的既不充分也不必要条件 故选D.] 3.D【解析：由已知上=e,上=nx,函数y=e与y nx关于直线y=x对称，设函数y=生与函数y=e的交点 为A(国，去），函数y=与函数y=hx的交点为 B(号)，而A,B两点关于直线)广工对称所以=音，所 以x1x2=4.故选D.] 4.A[解析：由图象可知0<a<1,b>1,由Ilga|= llgb→-lga=lgb→lgab=0,则ab=1,由log.x+ 1og(2x-1)>0→log.x+log5(2x-1)>0→log。x log.(2x-1)>0,则log。x>log。(2x-1),由a∈(0,1)，则 x2x-1, x>0,→x∈(1，十o∞).故选A.J 2x-1>0, 5.B[解析：因为x=1og.15<1og.11=0,0<y=log7√5= 1og,5<1og,7=之，所以xy<0.因为x+y=1og15+ logs4.9 log5-1og:0.1+log:49-logs0.xog4logs0.1. 1og49<0,所以x十y<0,因为x·y=(1og.15)·(1og√5)= 1 1og54.9 1og0.1xlog491og0.1Xi0g49-x+y所以zy<x+JK0. 故选B.] 6.(0,1)[解析：函数f(x)=log2(4+1)+mx,当m>0时， 可知f(x)为单调递增函数：当x=0时，可得f(0)=1,那么 x>0, 不等式f(1ogx)<f(0)的解集，即 解得0< llogsx<0, x<1.] 7.{x-1<x≤1一3或1十V3≤x<3}【解析：要使函数y= 1og号(3+2x-x2)≥0， √og5(3+2x一x)有意义，则 即 3+2x-x2>0, x2-2x-2≥0， 解得-1<x≤1-√3或1+√3≤x<3,所以 x2-2x-3<0, 函数y=√1og5(3+2x-x2)的定义域是{x-1<x≤1 √3或1十√3≤x<3).] 8.(0,2][解析：一x2十4x>0,解得0<x<4.因为t= 一x2十4x是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，所以由复 合函数的单调性的性质知函数y=loga.g(一x2十4x)单调 递减区间是(0,2].] 9.②④【解析：对于①，由2x-1=1,得x=1,所以函数 f(x)=log(2x-1)-1的图象过定点(1，-1)，故①错误； 对于②，函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时， f(x)=x(x十1)，设x>0,则一x<0,所以f(x)=f(一x)= 一x(一x十1)=x(x一1)，则f(x)的解析式为f(x)=x2一 l,故@正确；对于③，由1og号<1，得1og号<loga,当 。>1时，不等式成立，当0<a<1时，解得0<a<分则a 的取值范围是(0，)U(1,十∞)，故③错误；对于④，由 2-2>lnx-ln(-y)(x>0,y<0),得2-lnx>2' ln(-y),因为函数f(x)=2-lnx为定义域内的减函数， 所以x<一y,即x十y<0,故④正确.] 10.10g3【解析：设点A,B的横坐标分别为，由 题设知，x1>1,x2>1.则点A,B的纵坐标分别为1og8x1, logx2,根据题意设直线AB的方程为y=kx,则log8x1= kx1,log8x2=kx2,因为x1>1,x2>1,所以log8x1>0, 1ogs>0,所以ls=1o,点C,D坐标分别为 1 (x,log2x),(x2,logx2),由BC平行于x轴知log2=logs2, 即得log西=子og,所以=，代人log西=西log得 x1ogs=3logx1.由于石>1知1og≠0，所以x=31,考 虑>1，解得x=√3，于是点A的坐标为（√3，log√3）即 A(5,言1og3),所以B(33,2log3）,c(3,1og3), D(33,号1g3),所以梯形ABDC的面积为S=号(AC+ BD)×BC=合×(3og3+1og3）×2w5=4y1og3.】 11.解：(1)函数f(x)是R上的偶函数.证明：依题意，函数 f(x)的定义域为R,对任意x∈R,都有f(一x)=2-一 1 V1+(-x) =f(x),所以函数f(x)是R上的偶函数. (2)函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，因为函数f(x)为R 上的偶函数，所以f(x-1)>f(2x),等价于f(|x-1)> f(|2x),因为函数f(x)在[0，十o∞)上单调递增，所以|x一 1>2z,即3x2+2x-1<0,解得-1<x<号，所以不等 式f(x-1D>f2x)的解集为(-1，号)： 12.解：(1)由题意，当a>1时，函数f(x)=log。x在 [子，2]上单调递增，因此/(x):=了(2)=1og2=2,解得 a=,当0<a<1时，函数f)=1ogz在[子，2]上单调 递减，因此fx)m=f(子)=1og}=2,解得a=合综 上可知a=V厄或a=之 (2)由不等式f(x)一2>0，即f(x)>2,又0<a<1,根据对 数函数的性质，可得，10g4>2,解得0<<子，所以z的 取值范围为(0，)。 13.解：(1)由条件可得log3=1,解得a=3.所以g(x)= 1og3(x+1)+1og3(5-x),即g(x)=1og(-x2+4x+5). 当1≤x≤2时，-x2+4x+5=-(x-2)2+9∈[8,9]，所 以g(x)mx=log9=2,g(x)m=log38=3log32,所以g(x)在 区间[1,2]上的最大值为2，最小值为31og2. (2)由(1)知，当x∈[1,2]时，g(x)mm=3log2,不等式 f(m2-2m)-g(x)≥0有解，即log(m2-2m)≥g(x)m, x∈[1,2].所以1og(m2-2m)≥log38,即m2-2m≥8，解得 m≤一2或m≥4，所以实数m的取值范围为 (-∞，-2]U[4,+∞). 14.解：(1)当k=2时，函数f(x)=1og3(9一2·3一3)，要 使函数有意义，只需要：9-2·3-3>0→(3+1)·(3x 3)>0,因为3>0，所以3>3，即函数的定义域为(1，+∞). (2)因为f(x)=1og(9-k·3-3),所以9-k·3-3> 3r→t+1<3-3-是.因为xe[1,+60),所以3r [3,+e∞)33r-是∈[2，+o),所以k+1≤(3-是) 3 2,即k≤1，故实数的取值范围是（一∞，1]. 15.解：(1)f(x)<1即1og2(2-1)<1,所以0<2-1<2， 所以1<2<3，所以0<x<1og23,故不等式f(x)<1的解 集为{x|0<x<1og23}. 参考答案195 (2)因为log2(2一1)=log:(m-4')有实数解，2一1>0，所 以x>0,且m-4>0,所以(2：-1)2=m-4在x>0上有 解，即m=-2·2+2·42+1在x>0上有解.设2=t(t> 1),即m=22-2t十1在t>1上有解，当t>1时，m=2t 21+1=2(-)》+号>1，放实数m的取值范開为m>1 4.5函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解 【基础过关】 1.B【解析：令y=x2+6x十8=0，即(x+2)(x十4)=0，解 得x1=一2，x2=一4.故函数的零点为一2，一4.故选B.] 2.D[解析：令y=0,得选项A和C中的函数的零点均为1 和一1；B中x2一x一1=0的判别式大于0，有两个实根；D 中函数分段为0，解出数值均不在对应范围内，无零点.故选 D] 3.B[解析：f(2)=1og22-6+2×2=-1<0,f(3)= 1og3>0.又因为f(x)在(0，十∞)上为增函数，所以其零点 一定位于区间(2,3).故选B.】 4.B【解析：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条连 铁不断的曲线，又了1)=名-号=品>0，f(2)=} 号-3<0，所以f·f2)<0,由零点存在性定理可 知，函数f(x)的零点位于区间(1,2).故选B.】 5.BD[解析：当x≤1时，令2一1=0，得x=0.当x>1 时，令1一log2x=0,得x=2.综上所述，函数f(x)的零点为 0,2.故选BD.] 6.B[解析：设f(x)=x十log3x一2，则f(1)=1十log31 2=-1<0,f(2)=2+1og32-2=1og32>0,又易知f(x)为 单调增函数，所以方程x+1ogx=2的解在(1,2)内，因此 n=1.故选B.] 7.1,3 [解析：由题意知，方程x2一Qx十b=0的两根为1， 1+3=a, 3,所以 即a=4,b=3,所以方程bx2-ax十1= 1×3=b, 3x2-4x+1=0的根为1，号，即为函数g(x)的零点.】 8.0[解析：因为奇函数的图象关于原点对称，且有三个零 点，其中一个一定是0，另外两个关于原点对称，则其和必 为0.1 9.③[解析：①f(x)=x在(1,2)单调递增，且f(1)=1> 0,故f(x)=x3在(1,2)内无零点；②f(x)=x十lnx在第四章指数函数与对数函数 89 习题课(2) 基础过关) 6.已知函数f(x)=1og。(x十2)，若图象过点 (6,3),则f(2)的值为 ) ( 1.下列计算正确的是 A.-2 B.2 A.(a3)2=a B.1og26-1og23=1 c D-司 C.a-立·a=0 7.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( D.1og3(-4)2=21og3(-4) A.a<b<c B.a<c<b 2.若3=2，则1og316-3log36用含a的代 C.c<a<b D.b<c<a 数式可表示为 () 8.有一组实验数据如下表所示： A.a-3 B.3a-(1+a)2 1 2 4 C.5a-3 D.3a-a2 4 13 28 49 76 3.若1og分1lg6…1g=2,则x等于(） 下列所给函数模型适合的是 A.9 B日 A.y=logax (a>1) B.y=ax+b(a>1) C.25 D房 C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 4.已知集合A={22≤2头，B={ 9.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数 In(x-2)≤0，则An(CB)等于 y=a和y=logx的图象大致是() A.0 B（-1] c[2 D.(-1,1] 5.若f(x)=1og+2x十D:则f(x)的定义域 为 ( A.(-70) B(-2oUo,+∞) 10.对任意实数x,都有log。(e+3)≥1(a>0, 且a≠1)，则实数a的取值范围是() c(-+） A(0,) B.(1,3] D.(←2) C.(1,3) D.[3,+∞) 90无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 11.方程1og2(4x-5)=2+1og2(2r-2)的解 15.(1)求函数y=(1og2x)2+log2x,x∈ x- [2,2的值域： 12.化简与求值： (2)解关于x的不等式log.(x+1)>log。 a)1og27+1g00+1nc+21+- (3-x2)(a>0,且a≠1). (2(-27)厂+(og16)×(o） 13.已知偶函数f(x)在区间[0，十∞)上单 调递增，则满足f(1og2x)>f(2)的x的 取值范围是 14.已知函数f(x)=(a2一3a十3)a是指数 函数 (1)求f(x)的表达式； (2)解不等式loga(1-x)>loga(x+2). 能力提升) 1.不等式log2(x一1)<-1的解集是( A.(xx>1) a c{z1<< D{0<<号 2.若a>0且a≠1，则“a>a”是“log。|x> loga|yl”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若x是方程xe=4的解，x2是方程xlnx=4 的解，则xx2等于 A.1 B.2 C.e D.4 第四章指数函数与对数函数91 4.已知函数f(x)=|1gx|,若f(a)=f(b) 形ABDC的面积为 且a<b,则不等式1ogx+log6(2x-1)>0 的解集为 () y=log,x A.(1,+o∞) C y=logx B B.(0,1) c(合+∞) 1 11.已知函数f(x)=2x一 D.(分 W1+x2 (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； 5.已知x=loga.15,y=log7√5，则 () (2)判断函数f(x)在区间[0，十∞)上的 A.x+y<xy<0 单调性（不必写出过程），并解不等式 B.xy<x+y<0 f(x-1)>f(2x). C.x十y<0<xy D.xy<0<x+y 6.已知函数f(x)=log2(4+1)+mx,当 m>0时，关于x的不等式f(log3x)<1 的解集为 7.函数y=√1og(3+2x-x2)的定义域 是 8.函数y=log.g(一x2十4x)的递减区间 是 9.给出下列四个命题：①函数f(x)= 1og(2x一1)-1的图象过定点（一1,0）； ②已知函数f(x)是定义在R上的偶函数， 当x≤0时，f(x)=x(x十1)，则f(x)的解析 式为f(x)=x-x;③若1og.2<1,则a 的取值范围是(0，号)U(2,+∞)：④若 2-x-2>lnx-ln(-y)(x>0,y<0),则 x十y<0.其中所有正确命题的序号 是」 10.如图，已知过原点O的直线与函数y= 1og8x的图象交于A,B两点，分别过A, B作y轴的平行线与函数y=log2x的图 象交于C,D两点，若BC∥x轴，则四边 92无敌原创同步必刷点数学·必修第一册 12.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1) 14.设函数f(x)=1og3(9-k·3r-3),其 在[子，2]上的最大值为2. 中k为常数. (1)当=2时，求f(x)的定义域： (1)求a的值； (2)若对任意x∈[1，+∞)，关于x的不 (2)若0<a<1,求使得f(x)-2>0成立 等式f(x)≥x恒成立，求实数k的取 的x的取值范围。 值范围. 13.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的 15.函数f(x)=log2(2-1). 图象过点(3,1). (1)解不等式f(x)<1; (1)若函数g(x)=f(x十1)+f(5-x), (2)若方程f(x)=log4(m一4)有实数 求g(x)在区间[1,2]上的最值； 解，求实数m的取值范围， (2)对于(1)中的g(x),当x∈[1,2]时， 不等式f(m2-2m)-g(x)≥0有解， 求m的取值范围.