精品解析：黑龙江哈尔滨市松北新区二校中学校2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

八年级（下）期末数学质量监测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项 ，被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式，不符合题意； B选项 满足最简二次根式的两个条件，符合题意； C选项 ，被开方数是能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；. D选项 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的减法，除法法则，完全平方公式，幂的乘方进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的减法，除法法则，完全平方公式，幂的乘方进行计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3. 下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数概念：对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；根据函数概念逐一进行判断即可． 【详解】解：对于，当时，则，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数； 对于、、，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； 故选：A． 4. 下列各组数中，能作为一个直角三角形的三边长的是（　　） A. 3，5，7 B. 4、5、6 C. 1，， D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、，故不是直角三角形，故不符合题意； B、，故不是直角三角形，故不符合题意； C、，故不是直角三角形，故不符合题意； D、，故是直角三角形，故符合题意． 故选：D． 5. 函数的图象经过点，当时，的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求一次函数函数值，利用待定系数法求出函数解析式，再令，计算即可得出答案． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， 当时，， 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理，先算出，再根据即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点并计算是解题的关键． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 有两条边平行的四边形是平行四边形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定方法．利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误； B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故B错误； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C正确； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D错误． 故选：C． 8. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，●，■，16，10，4，4，11，其箱线图如下：则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知，这组数据的第一四分位数是4，原说法正确，不符合题意； B、由箱线图可知，这组数据的中位数是，原说法错误，符合题意； C、由箱线图可知，这组数据的第三四分位数是15，原说法正确，不符合题意； D、由箱线图可知，这组数据的最大值为18，最小值为3，故被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，原说法正确，不符合题意． 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可知，结合平行四边形的性质可得， ，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 作图可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， 在中，， ∴ 解得：． 10. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误； C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误； B．时，两架无人机的高度差为：，故正确； D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误； 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 函数中，自变量的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式x﹣2≠0，求解可得自变量x的取值范围． 【详解】根据题意，有x﹣2≠0， 解得：x≠2． 故答案为：x≠2． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键． 12. 数据3，4，5，4，5，2，5的众数是 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，直接得出答案． 【详解】解：数据3、4、5、4、5、2、5中5出现3次，次数最多， 所以其众数为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查众数，属于基础题目，理解众数的定义是解题的关键． 13. 符号“＊”表示一种新的运算，规定，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：． 14. 如果点，在直线上，那么________（填“>、<或=”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的性质，k=-2＜0，故y随x的增大而减小，据此即可作出判断． 【详解】解：在直线y=-2x+m中， k=-2＜0， 故y随x的增大而减小， ∵-1＜1， ∴a＞b， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，对于y=kx+b（k≠0，k、b均为常数），k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小． 15. 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为______． 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，一次函数的图象经过点和，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象求不等式即可． 【详解】解：由一次函数图象可知，随增大而减少，且时，， 不等式的解集是． 17. 如图，正方形的边长为1，以为边作第二个正方形，再以为边作第三个正方形…，按照这样规律作下去，第10个正方形的边长为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以写出前几个正方形的边长，从而可以发现边长的变化特点，从而可以求得第10个正方形的边长． 【详解】解：由题意可知， 第一个正方形的边长是1， 第二个正方形的边长是， 第三个正方形的边长是， 第四个正方形的边长是， ……， 则第n个正方形的边长是， 当时，， 即第10个正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现正方形边长的变化特点，求出第10个正方形的边长． 18. 已知直线向下平移7个单位长度后经过点，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的规律求出平移后直线的解析式，再将点的坐标代入解析式，即可求出的值． 【详解】解：直线向下平移个单位长度后的解析式为， 平移后的直线经过点， 将，代入，可得． 19. 在矩形中，，，点E在直线上，，则线段的长为______． 【答案】5或##或5 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，求出的长，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， 当点E在线段上时，， ∴； 当点E在线段外时，， ∴； 故答案为：5或． 20. 如图，在正方形中，点E，F分别在上，连接，于点N，过点E作的平行线交正方形的外角的平分线于点G，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若点E为中点，点P为直线上的一个动点，连接，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】即可判断①；在上取点，使，连接，然后证明，再结合平行四边形的判定定理证明四边形  是平行四边形，即可判断③；先证明，在上取点，使，连接、，则 ，那么 ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为  的长，再由勾股定理求解最小值，即可判断④． 【详解】 四边形  是正方形 ，  ，  ，  ， ，   ，  ， 在  和  中      ，  故结论①正确； 在上取点，使，连接，如图2，  四边形  是正方形 ， ，， ∴，， ∴，  平分     ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，  ∵， 四边形是平行四边形，故结论③正确； ∵点E为中点，正方形中， ∴， ∵， ∴， ∴ 在上取点，使， 如图3，连接、， 平分， ∴点 、是 关于直线的对称点，连接， ∴， ∴  ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为  的长， ∵正方形中，， ∴，  的最小值是  ，故结论④错误， 对于②，现有条件不足以证明，故②错误， ∴正确的有①③． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】括号内先通分，进行分式加减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分后得到结果，再把x的值代入计算． 【详解】解：原式= = =， 当时， 原式==． 考点：分式的化简求值． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． （1）在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； （2）请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解，5 【解析】 【分析】本题考查矩形的定义，矩形的性质，勾股定理，能够利用方格画图和计算是解题的关键． （1）根据矩形的定义，可以构造出直角，从而画出矩形； （2）利用矩形的性质：对角线互相平分即可得到中点，再利用勾股定理即可计算面积． 【小问1详解】 取格点，，根据网格性质可得，， 则四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图，通过格点构造了矩形，连接与的交点即为，连接； 根据勾股定理得，，， 是的中点， ， ． 23. 某校举行了“少年强则国强”作文大赛，并组织七、八年级各200名学生参加．现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，记录并整理了这部分学生的比赛成绩． 【收集数据】 七年级10名同学的比赛成绩分别为72，83，72，92，79，69，78，85，76，94； 八年级10名同学的比赛成绩分别为86，71，93，83，80，74，75，80，76，82． 【整理数据】两组数据各分数段人数如下表所示： 成绩x（分） 七年级 1 5 a 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 80 c 72 64.4 八年级 b 80 80 37.6 【问题解决】根据以上信息解答下列问题： （1）______，______，______． （2）请根据平均数、中位数、众数、方差这些统计量评价______（七或八）年级的比赛成绩更稳定． （3）按照比赛规定，90分及以上算优秀，请估计八年级比赛成绩达到优秀的学生人数是多少． 【答案】（1），， （2）八 （3）20 【解析】 【分析】（1）由总人数10减去其他频数得；由平均数公式求；七年级数据排序后取第5、6个数的平均数得． （2）根据方差的概念，比较方差，即可得出八年级成绩更稳定． （3）求出八年级样本中90分及以上的占比，即可估计全校八年级200人中优秀人数． 【小问1详解】 解：由题意得，； 八年级10名同学的比赛成绩的平均数； 七年级10名同学的比赛成绩从小到大排序得69，72，72，76，78，79，83，85，92，94； 七年级的中位数； 【小问2详解】 解：七年级比赛成绩的方差为64.4，八年级比赛成绩的方差为37.6，， 八年级的比赛成绩更稳定； 【小问3详解】 解：八年级抽取的10名学生中，90分及以上有人， 可估计八年级比赛成绩达到优秀的学生人数为人． 24. 已知矩形的对角线、相交于点O，点E是边上一点，连接、、，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等． 【答案】（1）见解析 （2），，，都与的面积相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再利用可证，即可解答； （2）根据矩形的性质可得，，，从而可证，进而可得，，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得的面积的面积，的面积的面积，然后利用等式的性质可得的面积的面积，的面积的面积，再证明，从而可得的面积的面积的面积，最后利用线段中点和平行线证明8字模型全等三角形，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，，都与的面积相等， 理由：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，都与的面积相等． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明相关的三角形全等解决问题． 25. 学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A、B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 【答案】（1）A的单价50元，B的单价35元 （2）购买A种奖品30件时，购买总费用最少；总费用最少是2200元 【解析】 【分析】（1）由题意可知购买的数量和总价关系，设两个未知数建立二元一次方程组，即可求解； （2）先设出购买A种奖品的件数为m，再根据题意列不等式找到m的取值范围，最后根据一次函数的性质求出总费用的最小值． 【小问1详解】 设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元 根据题意得：，解得：， 答：A种奖品的单价50元，B种奖品的单价35元． 【小问2详解】 设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，购买总费用w元． 根据题意得：，解得， ∴． 由题意知， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最小值，最小值为2200元． 答：购买A种奖品30件时，购买总费用最少；总费用最少是2200元． 26. 【问题情境】已知在四边形中，E为边上一点（不与点A、D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． （1）【问题解决】如图1，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； （2）【拓展变式】如图2，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O． 求证：； （3）如图3，若四边形是平行四边形，，，点F落在线段上，连接，，，与交于点H，与交于点G，求的长度． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴，，， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由折叠的性质可得：． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质、折叠的性质、平行线的性质，以及等边对等角，进行解答即可； （2）先连接，再利用线段的垂直平分线的性质、折叠的性质、等边三角形的性质、等角对等边，以及含角的直角三角形的性质，即可得证； （3）先连接，，过点作于点，再利用平行四边形的判定与性质、平行线的性质、线段的垂直平分线的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，以及二次根式的化简，进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，点F落在对角线上， ∴，，． 由翻折可知：， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ． 如图，连接，，过点作于点， 将沿折叠得到， ∴，，， ， ， ， 四边形为菱形， 与互相垂直平分， ， ． ∵， ∴为等边三角形， ，， ． ，， ，， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ，， ， ， 为等腰三角形， 又， 为等边三角形， ，． ， ， ， ． ， ， ． ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，． （1）求直线AB的解析式； （2）如图2，点D是x轴负半轴上一点，连接AD，点C在第一象限内，，交AC于点C，设点D的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，，点F在AO上，过点F作交BC于点M，交AB于点N，点E在AB上，E为BN中点，点G在FM上，，连接CG，EG，EC，CG交AB于点H，若，求点H的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由直线令得，得；再结合、判定为等腰直角三角形，得、；再将代入解析式求出，即可得直线； （2）先过作延长线，结合轴证四边形是正方形，得；再由推出，进而证，得；再根据线段和，代入化简，即可推出； （3）先结合与即，联立方程解得、，得到、、；再根据矩形性质推出、为等腰直角三角形，得、；再通过等角转化证，得，推导出，算出； 再证，得，确定；再将、代入一次函数求出直线；最后联立直线与解析式解方程组，即可求得交点． 【小问1详解】 解：由，令，得，∴， ∴，∵，， ∴为等腰直角三角形，，∴， 把代入直线中，得，解得：， ∴直线AB的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过A作交BC延长线于点E， ∵轴，，∴四边形AOBE是矩形， ∵，∴矩形AOBE是正方形，∴， ∵，∴，即，∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）得， 又∵，∴，∴，∴，∴，即，， ∵四边形OBMF为矩形 ∴，，， ∴，∴，∴为等腰直角三角形 连接EM， ∵E为BN中点，∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，，∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， 在和中，，∴（ASA）， ∴，∴， ∴，∴， 在和中，∴（AAS）， ∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， 设直线CG的解析式为， 将点，代入，得，解得：， ∴直线CG的解析式为， 由解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）期末数学质量监测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能作为一个直角三角形的三边长的是（　　） A. 3，5，7 B. 4、5、6 C. 1，， D. 7，24，25 5. 函数的图象经过点，当时，的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 2 C. 3 D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 有两条边平行的四边形是平行四边形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 8. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，●，■，16，10，4，4，11，其箱线图如下：则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 10. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 函数中，自变量的取值范围是________. 12. 数据3，4，5，4，5，2，5的众数是 _____． 13. 符号“＊”表示一种新的运算，规定，则的值为______． 14. 如果点，在直线上，那么________（填“>、<或=”）． 15. 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为______． 16. 如图，一次函数的图象经过点和，则不等式的解集是______． 17. 如图，正方形的边长为1，以为边作第二个正方形，再以为边作第三个正方形…，按照这样规律作下去，第10个正方形的边长为__． 18. 已知直线向下平移7个单位长度后经过点，则m的值为______． 19. 在矩形中，，，点E在直线上，，则线段的长为______． 20. 如图，在正方形中，点E，F分别在上，连接，于点N，过点E作的平行线交正方形的外角的平分线于点G，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若点E为中点，点P为直线上的一个动点，连接，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． （1）在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； （2）请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 23. 某校举行了“少年强则国强”作文大赛，并组织七、八年级各200名学生参加．现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，记录并整理了这部分学生的比赛成绩． 【收集数据】 七年级10名同学的比赛成绩分别为72，83，72，92，79，69，78，85，76，94； 八年级10名同学的比赛成绩分别为86，71，93，83，80，74，75，80，76，82． 【整理数据】两组数据各分数段人数如下表所示： 成绩x（分） 七年级 1 5 a 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 80 c 72 64.4 八年级 b 80 80 37.6 【问题解决】根据以上信息解答下列问题： （1）______，______，______． （2）请根据平均数、中位数、众数、方差这些统计量评价______（七或八）年级的比赛成绩更稳定． （3）按照比赛规定，90分及以上算优秀，请估计八年级比赛成绩达到优秀的学生人数是多少． 24. 已知矩形的对角线、相交于点O，点E是边上一点，连接、、，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等． 25. 学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A、B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 26. 【问题情境】已知在四边形中，E为边上一点（不与点A、D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． （1）【问题解决】如图1，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； （2）【拓展变式】如图2，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O． 求证：； （3）如图3，若四边形是平行四边形，，，点F落在线段上，连接，，，与交于点H，与交于点G，求的长度． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，． （1）求直线AB的解析式； （2）如图2，点D是x轴负半轴上一点，连接AD，点C在第一象限内，，交AC于点C，设点D的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，，点F在AO上，过点F作交BC于点M，交AB于点N，点E在AB上，E为BN中点，点G在FM上，，连接CG，EG，EC，CG交AB于点H，若，求点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $