精品解析：黑龙江省哈尔滨市松北区2024—2025学年八年级下学期期末测试数学试卷

松北区2024-2025学年度下学期八年级期末调研测试 数学学科试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前考生先将自己的姓名、考号、考场座位号在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（涂卡） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 由线段组成的三角形，不是直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A x2﹣2x+5＝0 B. x2﹣2x﹣5＝0 C. x2+2x﹣5＝0 D. x2+2x+5＝0 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形 5. 利用判别式判断方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 有一个实数根 6. 将直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A. 5 B. 4 C. D. 8 8. 如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 在菱形中，、为对角线，若，，则菱形的面积是（　　） A. 100 B. 52 C. 120 D. 48 10. 如图（1），在平行四边形中，一动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点移动．移动过程中，设的面积为，与移动时间t的函数关系如图（2）所示，则以下选项错误的是（　　） A. 的长是8 B. 的长是6 C. 四边形的面积是24 D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___________． 12. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为________． 13. 在中，，，为中点，连接，则___________． 14. 已知一次函数图像上有两点，且，则的大小关系是____________． 15. 如图，平行四边形中，平分，交于点F，，交点，，则=_________． 16. 如图，正方形ABCD的右侧作等边△ABE，连接DE、AC交于点F，连接BF，则∠BFE______ ． 17. 按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 18. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 19. 在平行四边形中，平分交于点，点将分为4和3两部分，则平行四边形的周长为___________． 20. 如图，点、分别在正方形的边、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，若的长为，是边上一动点，连接、，则下列结论：①；②正方形的边长是5；③的长是；④的最小值是，正确的有：___________．（填序号） 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 21. 解方程： （1）， （2）． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程、画图结果均用实线表示． （1）在图中以为直角边画，使的面积是15； （2）画出中位线，在上，且的长是，连接，并直接写出线段的长． 23. 如图，直线与直线交于点A，与轴交于点B．直线与轴交于点，与轴交于点，且． （1）求的值： （2）求的面积． 24. 如图1，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形．(四边形AGHD除外) 25. 萌悦超市某种商品标价每件元． （1）若经两次调价后，该商品调至每件81元，若超市两次调价降价率相同，求每次的降价率； （2）经调查，该商品每降价1元，则可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，若使该商品每月销售件数不低于720件，则每件至少降价多少元？ 26. 数学兴趣小组对下面问题产生了浓厚兴趣：“如图，两点被池塘隔开，怎样测出两点间的距离？” （1）问题解决：如图1，根据三角形中位线定理，可分别取、中点、，量得米，则可得线段的长是___________米． （2）观察猜想：如图2，若把变成四边形，当，、为中点时，求证； （3）综合应用：如图3，在四边形中，点、为、中点，连接，若，，，求线段的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点A，与轴交于点，点在直线上，且点的坐标是，过作轴于点，轴于点，． （1）求直线的解析式； （2）线段上有一点（不与点A、重合），设点的横坐标是，连接，的面积是S，求S关于的函数关系式（不用写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，交线段于点F，连接，过P作轴，交AF于点，当时，射线交于点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松北区2024-2025学年度下学期八年级期末调研测试 数学学科试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前考生先将自己的姓名、考号、考场座位号在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（涂卡） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查是一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】A：展开得 ，是整式方程，仅含未知数，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义； B：含两个未知数和，属于二元一次方程，不符合“一元”条件； C：含分式，不是整式方程，不符合定义； D：最高次数为1，属于一元一次方程，不符合“二次”条件； 故选：A． 2. 由线段组成的三角形，不是直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一验证各选项中三边是否满足（为最长边），即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：选项A： ，满足勾股定理，是直角三角形； 选项B： ，满足勾股定理，是直角三角形； 选项C： ，满足勾股定理，是直角三角形； 选项D： ，不满足勾股定理，因此不是直角三角形； 故选：D． 3. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A. x2﹣2x+5＝0 B. x2﹣2x﹣5＝0 C. x2+2x﹣5＝0 D. x2+2x+5＝0 【答案】B 【解析】 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可． 【详解】解：（x-1）2=6， x2-2x+1-6=0， x2-2x-5=0， 即将方程（x-1）2=6化成一般形式为x2-2x-5=0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）． 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；原说法正确，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形；原说法正确，不符合题意； C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； D．一个角是直角的四边形是矩形，原说法错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键． 5. 利用判别式判断方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，利用判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根， 故选：A． 6. 将直线沿轴向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的平移，根据函数图象平移的规律，沿y轴平移时，遵循“上加下减”的原则，直接在函数表达式的常数项上进行加减． 【详解】解：原直线为，沿y轴向下平移2个单位长度，平移后的函数解析式为， 故选：A． 7. 如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A. 5 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由翻折易得，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长． 【详解】解：由题意得； 设，则 ， ， ， 解得； 即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题的关键是得到． 9. 在菱形中，、为对角线，若，，则菱形的面积是（　　） A. 100 B. 52 C. 120 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积可以通过两条对角线长度的乘积的一半来计算． 【详解】∵菱形中，、为对角线，，， ∴与互相垂直平分，， 故选：C． 10. 如图（1），在平行四边形中，一动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点移动．移动过程中，设的面积为，与移动时间t的函数关系如图（2）所示，则以下选项错误的是（　　） A. 的长是8 B. 的长是6 C. 四边形的面积是24 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数的相关知识．根据图2中关键点，的坐标，得到相关的线段的长，进而判断各个选项是否正确即可． 【详解】解：∵函数图象过点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴A选项正确，不符合题意； ∵一动点从点出发，到达第1个拐点时用时6秒， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题意； 连接， ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴C选项正确，不符合题意； 作于点， ∵，， ∴， 假设，则，， ∵， ∴， ∴D选项错误，符合题意． 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵x＝0是关于x的一元二次方程的一个根， ∴x=0满足关于x的一元二次方程， ∴a−1＝0， 解得，a＝1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解均满足该方程的解析式． 13. 在中，，，为中点，连接，则___________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵在中，，，为中点， ∴． 故答案为． 14. 已知一次函数的图像上有两点，且，则的大小关系是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由k＝－4＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合可得出． 【详解】解：∵在一次函数中，k＝－4＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，在一次函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 15. 如图，平行四边形中，平分，交于点F，，交点，，则=_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得：∠DFA＝∠EAF＝∠DAF，所以DF＝AD＝5，由等腰三角形三线合一的性质得：AG＝FG，再证明AD＝AE，可得DG＝3，利用勾股定理得AG的长，可得结论． 【详解】解：如图，设AF，DE交于点G， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠DFA＝∠EAF＝∠DAF， ∴DF＝AD＝5， ∵DE⊥AF， ∴AG＝FG， ∵∠DAF＝∠EAG，∠AGD＝∠AGE， ∴∠ADE＝∠AEG， ∴AE＝AD＝5， ∴DG＝EG＝DE＝×6＝3， 由勾股定理得：AG＝ ， ∴AF＝2AG＝8， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 16. 如图，正方形ABCD的右侧作等边△ABE，连接DE、AC交于点F，连接BF，则∠BFE______ ． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】先求证△DAF≌△BAF，根据全等三角形的性质，等边三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：四边形是正方形，△ABE是等边三角形， ∴ ∴ 在△DAF和△BAF中， ∴△DAF≌△BAF（SAS） 故答案为： 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，求出∠ABF的度数是本题的关键． 17. 按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 18. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出___________个小分支． 【答案】8 【解析】 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出8根小分支， 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 19. 在平行四边形中，平分交于点，点将分为4和3两部分，则平行四边形的周长为___________． 【答案】20或22 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据平行四边形的对边互相平行可得，根据两直线平行，内错角相等求出，从而得到，再根据等角对等边的性质求出，然后分和两种情况求解即可． 【详解】解：如图：∵平分， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时，，， 所以平行四边形的周长； ②当时，，， 所以平行四边形的周长． 所以，平行四边形的周长为22或20． 故答案为：22或20． 20. 如图，点、分别在正方形的边、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，若的长为，是边上一动点，连接、，则下列结论：①；②正方形的边长是5；③的长是；④的最小值是，正确的有：___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据题目中的条件，可以先证明，然后即可得到，从而可以证明是直角三角形，再根据点H为的中点，可知是的一半，从而判断①；由此也可可以得到的长，然后根据勾股定理可以求得的长，由此判断②；利用勾股定理求出，再利用面积法判断③；作点F关于直线的对称点N，连接，交于点K，此时最小为线段的长度，取的中点M，连接，利用勾股定理判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴，即， ∵， ∴，故①正确； 设， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得，，（不合题意，舍去）， ∴，即正方形的边长是5，故②正确； ∴， ∵， ∴，故③正确； 作点F关于直线的对称点N，连接，交于点K， 此时最小为线段的长度， 取的中点M，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练站位各知识点并综合应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 21. 解方程： （1）， （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据因式分解法可以解答此方程； （2）先变形，然后根据因式分解法可以解答此方程． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程、画图结果均用实线表示． （1）在图中以为直角边画，使的面积是15； （2）画出的中位线，在上，且的长是，连接，并直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，理解题意、正确画出图形是解题的关键． （1）根据题意结合格点可知，再作的即可； （2）先根据矩形的性质确定D、E，再根据三角形中位线的定义确定中位线，然后根据直角三角形的性质即可求得的长． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 如图：，，， ∴，，， ， ∴，的面积为，即符合题意． 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求． ∵四边形、是矩形， ∴点D为中点，点E为的点， ∴是的中位线， ∴，即符合题意； ∵在中，，点D为的中点，， ∴． 23. 如图，直线与直线交于点A，与轴交于点B．直线与轴交于点，与轴交于点，且． （1）求的值： （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了两条直线相交问题、求一次函数解析式、一次函数图象上点坐标特征、三角形面积等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据题意求得点E的坐标，然后利用待定系数法即可求得k、b的值即可； （2）两直线解析式联立成方程组，然后解方程组求得点A的坐标，由求得B的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∵， ∴， 把C、E的坐标代入得∶ ，解得． 【小问2详解】 解：由（1）得，直线的解析式为：， 则，解得， ∴， 把代入，求得， ∴点B的坐标， ∵， ∴， ∴． 24. 如图1，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形．(四边形AGHD除外) 【答案】（1）见解析；（2）▱GBCH、▱ABFE、▱EFCD、▱EGFH 【解析】 【分析】（1）根据ABCD为平行四边形得出，则∠EAO=∠FCO，根据OA=OC，∠AOE=∠COF得出△OAE和△OCF全等，从而得出OE=OF，同理得出OG=OH，从而利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据平行四边形的判定和性质得出面积相等的四边形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴∠EAO=∠FCO． 又∵OA=OC，∠AOE=∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)， ∴OE=OF． 同理可证OG=OH， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）如图，过点O作BC的垂线交BC于点N，交AD于点M． ∵， ∴． 又∵，OF=OE， ∴， ∴，即说明点O到AB和BC的距离相等． 由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形AGHD、四边形GBCH、四边形ABFE和四边形EFCD是平行四边形． 由（1）可知四边形EGFH为平行四边形． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 综上可知，▱GBCH、▱ABFE、▱EFCD、▱EGFH与四边形AGHD面积相等． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 25. 萌悦超市某种商品标价每件元． （1）若经两次调价后，该商品调至每件81元，若超市两次调价的降价率相同，求每次的降价率； （2）经调查，该商品每降价1元，则可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，若使该商品每月销售件数不低于720件，则每件至少降价多少元？ 【答案】（1） （2）22元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设降价率为，结合题意列一元二次方程求解即可； （2）设每件降价元，则多销售件，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设降价率为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴降价率为； 【小问2详解】 解：设每件降价元，则多销售件， ∴现在每月可销售件， ∴， 解得，， ∴每件至少降价22元． 26. 数学兴趣小组对下面问题产生了浓厚兴趣：“如图，两点被池塘隔开，怎样测出两点间的距离？” （1）问题解决：如图1，根据三角形中位线定理，可分别取、中点、，量得米，则可得线段的长是___________米． （2）观察猜想：如图2，若把变成四边形，当，、为中点时，求证； （3）综合应用：如图3，在四边形中，点、为、中点，连接，若，，，求线段的长． 【答案】（1）30 （2）见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质求解即可； （2）连接并延长交直线于点，可证，得到，，结合三角形中位线的判定和性质即可求解； （3）连接至点，使，连接，作交延长线于，作，垂足为，根据全等三角形的判定和性质可得，由中位线的性质得到，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵点、是、中点， ∴中位线， ∴（米）， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：连接并延长交直线于点， ， ，， 是PC中点， ， ， ， ， 是AB中点， ， 所以． 【小问3详解】 解：连接至点，使，连接，作交延长线于，作，垂足为， 在中，点是中点， ∴， ∴点是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴，， ∵、、都是直角三角形， ∴设，则，， 在中，，即， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 整理得，， 解得，和（舍）, ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三线合一等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点A，与轴交于点，点在直线上，且点的坐标是，过作轴于点，轴于点，． （1）求直线的解析式； （2）线段上有一点（不与点A、重合），设点的横坐标是，连接，的面积是S，求S关于的函数关系式（不用写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作，交线段于点F，连接，过P作轴，交AF于点，当时，射线交于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质、一次函数与几何的综合、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）先求得点A的坐标，然后用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题可知，，易得的边上的高为，，然后运用三角形面积公式即可解答； （3）如图：延长交于点W，则四边形为矩形，为等腰直角三角形，证明可得，设，则，，，再根据列方程求得，即可得，直线与直线的交点即为H点． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵P点横坐标为t， ∴， ∴的边上的高为， ∵， ∴，即． 【小问3详解】 解：如图：延长交于点W， ∴四边形为矩形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴, ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 设，则，， ∵， ∴，解得：， ∴，，即, ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴设直线的解析式为， 当时，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$