19.1(第1课时)二次根式的概念（大单元分层作业）数学新教材人教版八年级下册

19.1(第1课时)二次根式的概念（解析版） 目 录 类型一、二次根式的识别 1 类型二、求二次根式的值 4 类型三、求二次根式中的参数 10 类型四、二次根式有意义的条件 15 类型一、二次根式的识别 1．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 3．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 4．下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义； B、 为常数 π，不符合二次根式的定义； C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义； D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义． 故选 ：D． 5．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 6．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 7．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 8．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义． 【详解】解：二次根式定义为()，且根指数为2． ，被开方数，故A不符合； ，根指数为3，故B不符合； ， ∵， ∴，且根指数为2，故C符合； 且，则，被开方数小于0，故D不符合． 故选：C． 9．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、不含根号，不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 10．下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、∵，∴不是二次根式，故此选项错误； B、根指数是3，不是二次根式，故此选项错误； C、∵，∴是二次根式，故此选项正确； D、当时，不是二次根式，故此选项错误； 故选：C． 类型二、求二次根式的值 11．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 12．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 13．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 14．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 15．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 16．当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 17．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 故答案为：． 18．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 19．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．利用代入法，代入所求的式子即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 20．当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 21．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 22．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 23．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 24．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 25．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 26．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 类型三、求二次根式中的参数 27．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 28．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 29．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 30．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 31．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 32．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 33．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 34．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 35．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 36．已知是整数，则满足条件的最小正整数n是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的定义和化简；先把化简成，再根据是整数分析最小正整数n的值即可. 【详解】解：∵且是整数， ∴是完全平方数， ∴正整数n的最小值是2. 故答案为：2. 37．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 38．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值． 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． 39．若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题关键是根据正整数，确定整数n的最小值即可． 【详解】解：∵，且是整数， ∴正整数n的最小值是3． 故答案为：3 40．若是整数，则自然数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的定义，是整数，则一定是一个完全平方数，进而确定自然数的最小值即可．理解是非负整数的条件是解题的关键． 【详解】解：∵是整数，，， ∴自然数的最小值是． 故答案为：． 41．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 类型四、二次根式有意义的条件 42．二次根式有意义的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，解得：， 故选C． 43．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，然后问题可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选B． 44．若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 45．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数非负是解题的关键． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 46．如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：有意义， ， ． 因此，的取值范围是， 故选：B． 47．要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键．由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且． 故选：D． 48．若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故选：D 49．若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式有意义，则，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故选：． 50．若在实数范围内有意义，则可以为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需使被开方数非负，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ 选项中只有满足条件． 故选：A． 51．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数x的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解得，再结合为正整数，即可得出答案。 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， ∵为正整数， ∴的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）， 52．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，可得关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 有意义， ， 解得：． 故答案为：． 53．已知x，y为实数，且，则的值是 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而确定的值，进而求出的值，最后计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得且， 所以， 代入原式，得， 则． 故答案为：． 54．设是实数，当满足 时，有意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 55．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题主要考查了二次根式及分母有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数非负；根据分式有意义的条件，分母不为零；综合两者求交集． 【详解】要使代数式有意义，需同时满足以下条件： 对于分子，有，即； 对于分母，有，即； 因此，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 56．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 57．已知有意义，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 由二次根式有意义的条件得到，代入代数式求值即可得到答案． 【详解】解：要使式子有意义，需满足： ， 解得，则， ， 故答案为：． 58．已知x、y为实数，且，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 解得：， ∴，     ∴ ． 1．已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 2．已知实数、满足，求的立方根． 【答案】的立方根为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的立方根．根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件确定的值，进而求得的值，代入代数式，求得代数式的值，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵分母中， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 3．已知，化简． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简、一元一次不等式组等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，则可得，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 1．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：， (其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为， 如 所以 的麓外区间为． (1)无理数 的“麓外区间”是 ； (2)若 则b的“麓外区间”是 ； (3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为，求 的值； (4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查无理数的估算、二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性以及立方根的计算． （1）通过找出与19相邻的两个完全平方数，进而确定的取值范围，从而得到其“麓外区间”； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再确定的“麓外区间”； （3）根据无理数的“麓外区间”定义，分别列出关于的不等式，求出的取值范围，进而确定的值最后计算． （4）先根据二次根式有意义的条件求出的值，再根据等式求出的值，最后确定的算术平方根的“麓外区间”． 【详解】（1）解：， ， 的“麓外区间”是； （2）解：要使有意义， ， 解得：， 将代入， 得：， ， ， ， b的“麓外区间”是． （3）解：的“麓外区间”为， ， ， ， 的“麓外区间”为， ， 即， ， 又a为正整数， 或， 当时，， 当时，， 的值为或． （4）解：和有意义， 且， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， 的“麓外区间”是． 2．求下列各式中的取值范围． (1)二次根式在实数范围内有意义． (2)在实数范围内成立． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式乘法法则，熟练掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． （2）依据二次根式乘法法则成立的条件，两个被开方数都为非负数，从而列不等式组求解． 【详解】（1）解：要使有意义，则， ， ； （2）解：要使成立，则 ， 由得， 由得， 所以． 3．（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法、三角形三边关系． （1）先根据二次根式有意义的条件求出，再把代入求出的取值范围，最后进行化简即可； （2）由三角形三边关系求得，，，，再利用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：（1）因为、都是实数，且满足， 则且，所以，则． 所以 ； （2）因为、、为的三边，所以，，，， 所以 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1(第1课时)二次根式的概念（原卷版） 目 录 类型一、二次根式的识别 1 类型二、求二次根式的值 2 类型三、求二次根式中的参数 3 类型四、二次根式有意义的条件 4 类型一、二次根式的识别 1．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8．下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 9．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 10．下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 类型二、求二次根式的值 11．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 13．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 15．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 16．当时，二次根式的值是 ． 17．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 18．当时，二次根式的值为 ． 19．当时，二次根式的值为 ． 20．当时，二次根式的值是 ． 21．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 22．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 23．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 24．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 25．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 26．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 类型三、求二次根式中的参数 27．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 28．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 29．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 31．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 32．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 33．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 35．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 36．已知是整数，则满足条件的最小正整数n是 ． 37．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 38．已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是 39．若是整数，则正整数n的最小值是 ． 40．若是整数，则自然数的最小值是 ． 41．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 类型四、二次根式有意义的条件 42．二次根式有意义的条件为（    ） A． B． C． D． 43．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 45．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 47．要使得代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 48．若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 50．若在实数范围内有意义，则可以为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 51．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数x的值可以是 ．（写出一个即可） 52．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 53．已知x，y为实数，且，则的值是 ； 54．设是实数，当满足 时，有意义． 55．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 56．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 57．已知有意义，求的值． 58．已知x、y为实数，且，求的值． 1．已知，求的平方根. 2．已知实数、满足，求的立方根． 3．已知，化简． 1．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：， (其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为， 如 所以 的麓外区间为． (1)无理数 的“麓外区间”是 ； (2)若 则b的“麓外区间”是 ； (3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为，求 的值； (4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区间”． 2．求下列各式中的取值范围． (1)二次根式在实数范围内有意义． (2)在实数范围内成立． 3．（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $