2.3 二次根式 同步练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 初中数学2.3二次根式同步练，新授课场景下以"基础巩固-能力提升-思维拓展"三层设计，覆盖概念理解、运算应用到规律探究，适配课时目标且渗透数学抽象、运算能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次根式定义、有意义条件、性质化简|单选题直接考查概念（如第1-4题），填空题巩固基础运算（如第11-14题），培养抽象能力| |提升层|混合运算、化简求值、几何应用|解答题结合数轴（第21题）、代数式求值（第19-20题），强化运算能力与推理意识| |拓展层|规律探究、阅读理解|规律题（第23-24题）引导发现数学联系，阅读理解题（第22题）培养创新意识，体现数学思维|

2.3 二次根式 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各式是二次根式的个数有 ； ； ； （ ）； ； （　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．计算： （　　） A．4 B．5 C．6 D．8 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 9．当时，化简二次根式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 10．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（　　） 1 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11． 的倒数是　 　． 12．当 ， 时，则 的值为　 　. 13．若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是　 　． 14．若y＝ + +4，则x2+y2的算术平方根是　 　． 15．若x，y是实数，且，则的值为 　 　. 16．实数 在数轴上的位置如下图所示，化简 等于　 　 三、解答题（共8题，共52分） 17．计算： （1）÷－(π－1)0； （2）(＋2)2＋(＋1)(－1) 18．计算： （1）； （2）． 19．已知 ，求 的值． 20．先化简，再求值：如果a＝2+ ，b＝ ，求 的值． 21．已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简 . 22．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号. 例如： . 解决问题：化简下列各式 （1） ； （2） . 23．阅读下面问题： ＝＝－1； 1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－； 1/＋＝1×(－)/ (＋)/ (－)＝－； 试求： （1）＝　 　； （2）当n为正整数时，＝　 　； （3）求＋＋＋…＋＋的值． 24．观察下列等式： ； ； ； 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第6个等式：　 　； （2）请写出第n个等式：　 　； （3）求 的值． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：一般地，式子 叫做二次根式， ， ， ， 是二次根式， 当 时， ， 是二次根式， ， 没有意义， 是三次根式，不是二次根式， 综上，二次根式有 ， ， （ ）， ，共4个， 故答案为：B. 【分析】形如(a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可. 2．【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：由题意得 ， 解得 ， 故答案为：C. 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可. 3．【答案】A 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】A、此选项计算正确，符合题意； B、 此选项计算错误，不符合题意； C、此选项计算错误，不符合题意； D、此选项计算错误，不符合题意； 故答案为：A． 【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。 4．【答案】A 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，故该选项符合题意； B、 根号内含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、 = ，被开方数是小数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、 = ，被开方数含有开方开得尽的因式，不是最简二次根式，故该选项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式，据此判断即可. 5．【答案】D 【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【解答】解： 与 不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确. 故答案为：D. 【分析】二次根式的加减，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并同类二次根式的时候，只需要将系数相加减，二次根式部分不变，据此即可判断A、B；二次根式的乘法，把系数与被开方数分别相乘，并将结果化为最简二次根式即可，据此即可判断C；分子分母同乘以分母的有理化因式 ，将分母有理化，据此即可判断D. 6．【答案】D 【知识点】分母有理化 【解析】【解答】解：， 故答案为：D． 【分析】利用分母有理化解题即可。 7．【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【解答】原式 ． 故答案为：C． 【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。 8．【答案】B 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【解答】解： ， ， ， 则原式 ． 故答案为：B． 【分析】先求出x+y与xy的值，将原式变形为，然后代入计算即可. 9．【答案】D 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解： 故答案为：D 【分析】利用二次根式的性质与化简解答即可。 10．【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【解析】【解答】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的周长为 ， 故答案为：B. 【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可. 11．【答案】 【知识点】分母有理化 【解析】【解答】 的倒数为 ， 故答案为： ． 【分析】先利用倒数的定义求出该数的倒数，再利用分母有理化求解即可。 12．【答案】 【知识点】二次根式的加减法 【解析】【解答】解：∵ ， ， ∴ ， 故答案为： . 【分析】利用二次根式的性质将b化简，进而再合并同类二次根式即可. 13．【答案】 【知识点】二次根式的应用 【解析】【解答】解：∵矩形的周长是，一边长是， ∴另一边长为：， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 【分析】先利用矩形的周长求出另一边的长，再利用矩形的面积公式列式求解即可。 14．【答案】5 【知识点】算术平方根；二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：根据题意得，3-x≥0且x-3≥0， 解得x≤3且x≥3， 所以，x=3， y=4， 所以，x2+y2=32+42=25， ∵25的算术平方根是5， ∴x2+y2的算术平方根是5． 故答案为：5． 【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式组3-x≥0且x-3≥0，求出x的值，再代入计算即可。 15．【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：由题意得：，， 解得：，则， ∴， 故答案为：. 【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式组，解不等式组，可求出x的值，同时可求出y的值；然后将x，y的值代入代数式进行计算，可求出结果. 16．【答案】0 【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】由图可知， ， = =0， 故答案为：0． 【分析】根据数轴可得：，再利用二次根式的性质：，可得==0. 17．【答案】（1）解：原式= = = =3； （2）解：原式= = 【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）利用二次根式的除法法则、零指数幂先进行计算，再计算加减即可； （2）利用完全平方公式、平方差公式先进行计算，再进行合并即可. 18．【答案】（1）解： = = =． （2）解： = =． 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质及分母有理化化简，再计算即可 （2）先利用二次根式的性质化简，再计算即可。 19．【答案】∵ ∴ = ． 【知识点】代数式求值；分母有理化 【解析】【分析】先利用分母有理化化简，再将x的值代入计算即可。 20．【答案】解：∵b= ， ∴a-b=2+ -(2- )=2 ， ∴ ． 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算 【解析】【分析】先求出 a-b=2+ -(2- )=2 ， 再代入计算求解即可。 21．【答案】解：根据数轴上点的位置得：a<b<0<c， 且|a|>|b|>|c|， ∴a−b<0，c−b>0，a+c<0， 则原式=|a−b|+|c−b|−(a+c)=b−a+c−b−a−c=−2a. 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用 【解析】【分析】根据数轴上点的位置得：a<b<0<c，且|a|>|b|>|c|，然后判断出a−b，c−b的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的概念进行化简，再合并同类项即可. 22．【答案】（1）解： （2）解： 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【分析】（1）模仿阅读材料将原式变形，再用二次根式的性质化简即可； （2）模仿阅读材料将原式变形，再以二次根式的性质化简即可. 23．【答案】（1） （2） （3）解： ． 【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：(1)， 故答案为：； (2)， 故答案为：； 【分析】（1）根据题目中的例题将分子分母同乘以，即可化简； （2）根据题目中的例题将分子分母同乘以，即可化简； （3）先将每一个式子进行分母有理化，然后计算加减即可. 24．【答案】（1） （2） （3）解： ． 【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：（1）观察，如 的下标3，与 中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1； ， 故答案是： ； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以第n个等式 ， 故答案是： ； 【分析】（1）观察，如 的下标3，与 中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1，即可得出答案； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以得出第n个等式； （3）根据规律即可得出答案。 1 学科网（北京）股份有限公司 $