精品解析：湖南省岳阳市弘毅新华中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

弘毅新华中学2025年八年级下学期期中考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1. 近期，各学校的春季运动会如火如荼地举行着，许多球类项目引人注目，下列各球类的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 2. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解；∵点P的坐标为， ∴点P所在的象限是第二象限， 故选：B． 4. 将直线y＝x-4向上平移5个单位长度，所得直线的表达式为(　　) A. y＝x﹣1 B. y＝x+1 C. y＝x+1 D. y＝x﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将直线y＝x-4向上平移5个单位长度，得到直线的解析式为：y＝x-4+5=x+1． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据含30度角的直角三角形性质得出，代入求解即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：D． 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹得平分， 过G点作于H点，如图， ∴， ∵， ∴的面积． 故选：A． 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的邻边相等 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的四条边均相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般平行四边形及特殊平行四边形的性质解答． 【详解】解：∵平行四边形的对边相等且平行，∴A正确； ∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴B正确； ∵菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线不一定互相垂直，∴C不正确； ∵正方形的四条边、四个角均相等，∴D正确； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握一般平行四边形及特殊平行四边形的意义和性质是解题关键． 8. 如图，在菱形中，点是的中点，对角线，相交于点O，连接，若菱形的周长是16，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的长，得出点是的中点，再利用三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且它的周长是16， ∴，点是的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 9. 直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，，有，可知直线经过一、二、四象限，进而可得到答案． 【详解】解：由题意知， ∴ ∴直线经过一、二、四象限 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．解题的关键在于明确的正负对函数图象的影响． 10. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去．则点的横坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数图象上的点的坐标特征得出相关点的坐标，再根据坐标的变化找出规律，最后结合，即可求解． 【详解】把代入中，可得， 点的坐标为． 把代入中，可得， 点的坐标为． 把代入中，可得， 点的坐标为． 把代入中，可得， 点的坐标为． 同理，可得 ， 以此类推可得 （为自然数）， ， 点的横坐标为． 二．填空题（共8小题，每题3分，共计24分） 11. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先明确任意多边形的外角和为，多边形内角和公式为，设该正多边形的边数为，根据题目中内角和是外角和的倍的等量关系列方程，求解即可得到边数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为， 由题意得：， 解得：， 即这个正多边形的边数为10． 13. 若点在轴上，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的坐标的特点，计算出的值，从而得出点坐标． 【详解】解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了在轴上的点的坐标的特点，解题的关键是需要掌握该特征，难度适中． 14. 若点与关于原点对称，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 15. 已知，在正比例函数的图象上，则___________.（填“”或“”或“”）. 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的增减性解答. 【详解】∵<0， ∴y随着x的增大而减小， ∵1<2， ∴>， 故答案为：>. 【点睛】此题考查了正比例函数的增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握正比例函数的增减性是解此题的关键. 16. 如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本九尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（）处时绳索用尽．则木柱长为 _____________ 尺． 【答案】12 【解析】 【分析】设出未知数，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设木柱长为x尺． 根据题意，则绳索为尺． 在中，由勾股定理可得， 则，即，解得， 则木柱长为12尺． 17. 如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，△MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解． 【详解】解：由图象可知，x=4时，点R到达P，x=9时，点R到Q点，则PN=4，QP=5， ∴矩形MNPQ的面积是20． 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时， 要注意数形结合． 18. 如图，在平行四边形中，，于点，为的中点，连接、，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论有_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题． 【详解】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵ ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵， ∴∠D=∠FCG， 在△DFE和△CFG中， ∴， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG， ∴，， ∵∠ABC=2∠ABF． ∴， ∵，， ∴， 假设，此时， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG， ∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH， ∵， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三．解答题（共8小题，共计66分） 19. 如图，的顶点均在格点上： （1）直接写出的顶点坐标； （2）顶点关于轴对称的点的坐标为__________； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点的位置，直接写出顶点坐标即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标互为相反数”即可求解； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为， ∴顶点关于轴对称的点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得 20. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， 即． ， 和都是直角三角形， 在和中，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定， 先根据，可得，再根据“斜边，直角边”证明即可． 【详解】略 21. 如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等： （1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，结合可证四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得，结合可证是等边三角形，推出，再利用勾股定理解，再根据矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ． ∵ ∴， 是等边三角形， ， ， 在中，． ∴四边形的面积为． 22. 弘毅新华中学七年级开展了“社团”活动，培养学生的特长（其中有锻炼体魄类项目）（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：轮滑；项目D：排球），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生共有 人； （2）在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 °； （3）将条形统计图补充完整； （4）若全校共有名学生，估计出该校选修项目B：篮球的总人数． 【答案】（1） （2） （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）用选修项目A的人数除以其所占百分比即可． （2）选修B的人数除以本次调查的学生总人数，再乘以即可． （3）用本次调查的学生总人数减去其他项目人数即可求得选修项目C的人数，即可补全条形统计图． （4）用乘以选修B的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：∵选修项目A的人数为人，所占百分比为， ∴本次调查的学生共有人数为：（人）． 【小问2详解】 解：∵选修B的人数为人，本次调查的学生共有人， ∴选修B的人数所占百分比为， ∴B所对应的扇形的圆心角的度数是． 【小问3详解】 解：由图可得选修项目C的人数为（人）， 补图略 【小问4详解】 解：根据题意可得该校选修项目B的人数为：1200360（名）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交y轴于点． （1）求出a的值； （2）求直线的解析式； （3）若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积求交点坐标，利用数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得a的值； （2）利用待定系数法即可求得直线的解析式； （3）由直线：求得点B的坐标，然后利用三角形面积公式求得，进一步即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：直线：过点， ； 【小问2详解】 把代入得， 解得：， 直线的解析式为； 【小问3详解】 令，则，解得， ， 点P在x轴上，的面积为6，， ，即， ，即， 解得或， 或． 24. “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． （1），两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1），两类图书每本的进价分别为32元，24元 （2）①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设，两类图书每本的进价分别为元，元． ，解得 答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元． 【小问2详解】 ①依题意； ∴ ②解得 设利润为元． 因为小于0，所以随的增大而减小， 当取501时， ， 所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元． 25. 【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形是垂美四边形． 【概念理解】 ①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是______；(填序号) 【性质探究】 小明说：在如图①的垂美四边形中，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； 【问题解决】 如图②，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点，连接．已知，求的长． 【答案】【概念理解】①②； 【性质探究】说法正确，证明如下： 如图1，设交于点， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； 【问题解决】． 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识 （1）根据垂美四边形的定义即可判断； （2）利用勾股定理即可证明； （3）只要证明四边形CGEB是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：①②； （2）略 （3）∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴四边形是垂美四边形， 由（2）可知， ∵， 由勾股定理，得， ∴， ∴． 26. 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现： （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； （3）如图4，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且．若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标． 【答案】（1）如图，； （2） （3）、或、或、． 【解析】 【分析】（1）过点A作x轴垂线，过点B作x轴垂线，可得，根据点A坐标得到对应线段长度，进而推导点B坐标； （2）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，先求直线​与坐标轴交点A、B的坐标，过点B作的垂线交​于点Ｃ，因为旋转角为，所以是等腰直角三角形，再用（1）中的全等模型求点Ｃ坐标，最后用待定系数法求​的函数表达式； （3）先求点A、C坐标，过点A作的垂线，结合构造等腰直角三角形，用全等模型求点B坐标；再分三种情况讨论等腰直角三角形：①M为直角顶点，②Q为直角顶点，③B为直角顶点，每种情况都通过作坐标轴垂线构造全等三角形，结合Q在直线上、M在y轴上的条件列方程求解坐标． 【小问1详解】 解：过点作轴于，过作轴于，则， ∴， ∵等腰的直角顶点C在原点，顶点A恰好落在点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点B在第二象限， ∴坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）的模型可得， 对， 令，则，解得； 令，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴的函数表达式为； 【小问3详解】 解：对，令，则，解得； 令，则． ∴， ∵．， ∴， ∴， ∴， 设点，点， 当时， 如图，过点Q作y轴的垂线，垂足为点H， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：m，n； 故点、点； 当时， 如图，过点Q作x轴的垂线，作y轴的垂线，垂足分别为点G、H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：； 故点、点； ，解得：（舍去）； 当时， 如图，过点Q作x轴的垂线，垂足为点G， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：； 故点、； 综上，、或、或、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘毅新华中学2025年八年级下学期期中考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1. 近期，各学校的春季运动会如火如荼地举行着，许多球类项目引人注目，下列各球类的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 将直线y＝x-4向上平移5个单位长度，所得直线的表达式为(　　) A. y＝x﹣1 B. y＝x+1 C. y＝x+1 D. y＝x﹣1 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的邻边相等 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的四条边均相等 8. 如图，在菱形中，点是的中点，对角线，相交于点O，连接，若菱形的周长是16，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 直线经过二、三、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去．则点的横坐标为 （ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每题3分，共计24分） 11. 函数的自变量的取值范围是______． 12. 如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为_______. 13. 若点在轴上，则点的坐标为________． 14. 若点与关于原点对称，则_______． 15. 已知，在正比例函数的图象上，则___________.（填“”或“”或“”）. 16. 如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本九尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（）处时绳索用尽．则木柱长为 _____________ 尺． 17. 如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，△MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________． 18. 如图，在平行四边形中，，于点，为的中点，连接、，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论有_______． 三．解答题（共8小题，共计66分） 19. 如图，的顶点均在格点上： （1）直接写出的顶点坐标； （2）顶点关于轴对称的点的坐标为__________； （3）求的面积． 20. 如图，．求证：． 21. 如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 22. 弘毅新华中学七年级开展了“社团”活动，培养学生的特长（其中有锻炼体魄类项目）（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：轮滑；项目D：排球），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生共有 人； （2）在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 °； （3）将条形统计图补充完整； （4）若全校共有名学生，估计出该校选修项目B：篮球的总人数． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线交y轴于点． （1）求出a的值； （2）求直线的解析式； （3）若点P在x轴上，当的面积为6时，求点P的坐标． 24. “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． （1），两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 25. 【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形是垂美四边形． 【概念理解】 ①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是______；(填序号) 【性质探究】 小明说：在如图①的垂美四边形中，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； 【问题解决】 如图②，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接交于点，连接交于点，连接．已知，求的长． 26. 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现： （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； （3）如图4，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且．若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $