1.3.1矩形的性质-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边中线定理，课堂导入通过回顾平行四边形性质，以问题引导学生发现矩形特殊性质，构建从一般到特殊的知识学习支架。 其亮点在于注重数学思维与几何直观，通过矩形对角线相等的全等证明、角度计算等实例，培养学生逻辑推理能力，结合跟踪训练与随堂练习强化应用，助力教师高效教学，提升学生数学表达与问题解决能力。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 1.3.1矩形的性质 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级上册1.3.1 矩形的性质 练习题 1.3.1 矩形的性质 同步练习题 知识点核心：矩形是四个角都是直角的特殊平行四边形，具备平行四边形的所有性质。矩形独有性质：四个内角均为90°；对角线相等且互相平分。重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。本节题型常结合勾股定理、角度计算、线段证明进行考查。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A. 对边平行 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2. 矩形的四个角一定都是（） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不确定 3. 已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，若AC=10，则BD的长为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 在直角三角形中，斜边为12，则斜边上的中线长为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 矩形ABCD中，AB=6，BC=8，则对角线AC长为（） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 矩形对角线相交形成的夹角中，若一个角为50°，则相邻夹角为（） A. 40° B. 50° C. 130° D. 150° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 矩形的对角线________且互相平分。 2. 矩形的每一个内角都是________度。 3. 直角三角形斜边上的________等于斜边的一半。 4. 矩形ABCD中，对角线AC=16，则OA=________。（O为对角线交点） 5. 矩形相邻两个内角的度数和为________°。 三、解答证明与计算题（共56分） 1. （12分）求证：矩形的对角线相等。 2. （14分）已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，求矩形对角线的长和矩形的周长。 3. （14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，若AB=10，求CD的长，并说明理由。 4. （16分）已知矩形ABCD，对角线交于点O，求证：OA=OB=OC=OD。 四、拓展应用题（附加10分） 已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OA=5，AB=6，求矩形的另一条边BC的长度和矩形面积。 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 6.C 二、填空题 1.相等 2.90 3.中线 4.8 5.180 三、解答题详细解析 1. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°。又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=BD，即矩形对角线相等。 2. 解：矩形四个角为直角，△ABC为直角三角形。由勾股定理得AC=$$\sqrt{3^2+4^2}=5$$。矩形周长=$$2\times(3+4)=14$$。答：对角线长为5，周长为14。 3. 解：CD=5。理由：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，AB=10，所以$$CD=\frac{1}{2}AB=5$$。 4. 证明：∵矩形对角线相等且互相平分，∴AC=BD，$$OA=OC=\frac{1}{2}AC$$，$$OB=OD=\frac{1}{2}BD$$，∴OA=OB=OC=OD。 拓展应用题答案 解：∵OA=5，∴AC=10。在Rt△ABC中，AB=6，AC=10，由勾股定理得BC=$$\sqrt{10^2-6^2}=8$$。矩形面积=$$6\times8=48$$。答：BC长为8，面积为48。 课时知识点总结 矩形核心性质分为边角、对角线两类：边角上，对边平行且相等，四个角都是直角；对角线上，对角线相等且互相平分。重点掌握直角三角形斜边中线定理，这是矩形题型高频考点。解题多结合勾股定理进行边长、对角线、面积计算，证明题多利用三角形全等证明线段、角度相等。 知识点1 矩形的性质 问题1 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗? 对边平行且相等， 对角相等， 对角线互相平分， 矩形是中心对称图形。 问题2 你认为矩形还具有哪些特殊的性质?你是怎样发现的？ 你能证明这些猜想吗? 发现：矩形的四个角都是直角。 矩形的两条对角线相等。 知识点1 矩形的性质 一个角是90° 对边平行，对角相等 四个角都是90° 四个角都是90° 对边相等 对角线相等 三角形全等 矩形的定义 矩形的性质 矩形的定义 矩形的性质 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (1) ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行)。 ∴∠ABC+∠BCD=180°。 又∵∠ABC= 90°， ∴∠BCD= 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 知识点1 矩形的性质 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (2) ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC (矩形的对边相等)。 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC=DB。 知识点1 矩形的性质 定理：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 矩形的其他性质 (1)矩形的对角线平分所得的四条线段相等。 (2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 知识点1 矩形的性质 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到什么结论呢？ 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 你能证明这个结论吗? A B C D E BE是Rt△ABC斜边的中线。 BE=AC。 A B C E 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。 求证: BO=AC。 O C B A D 证明: 延长BO至D， 使OD=BO， 连接AD，DC。∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴AC=BD， ∴BO=BD=AC。 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 你还有其他证明方法吗? 直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BO为AC上的中线， ∴BO= AC。 C B A O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC= AC，OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)。 ∴OA=OD。 ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= ×(180°-120°)=30°。 ∴BD=2AB=2×2.5=5。 A B C D O 你还有其他解法吗？ 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：有。∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA= AC，OB= BD， ∴ OA=OB。 ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， ∴ △ AOB是等边三角形， ∴ OA=AB =2.5， ∴ AC=2OA=5。 A B C D O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 1. 矩形具有而菱形不具有的性质是(　A　) A. 对角线相等 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 A 随堂练习 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O. (1)若AB＝6，AD＝8，则BD＝ ⁠； 10　 (2)若AO＝1，则AC＝ ，BD＝ ⁠； (3)若∠ACB＝30°，则∠AOB＝ °， △AOB的形状是 三角形. 2　 2　 60　 等边　 随堂练习 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC 的中点. (1)若BD＝5，则AC＝ ⁠； 10　 (2)若AB＝4，BC＝3，则BD＝ ⁠； (3)若∠C＝50°，则∠ABD的度数为 ⁠. 2.5　 40°　 随堂练习 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于 点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F. 若AB＝4cm，BC＝6cm，则图中阴影部分的面积 之和为 cm2. 12　 随堂练习 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O. 过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E. (1)求证：AC＝AE； (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AD∥BC. 又∵AE∥BD， ∴四边形AEBD是平行四边形. ∴BD＝AE. ∴AC＝AE. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AD∥BC. ∴四边形AEBD是平行四边形. ∴BD＝AE. ∴AC＝AE. 又∵AE∥BD， 随堂练习 (2)若∠AOB＝120°，AE＝8，求BC的长. 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O. 过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E. (2)解：∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝60°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝ AC，OB＝ BD，AC＝BD. ∴OB＝OC. ∴△OBC是等边三角形. ∴BC＝OC＝ AC. 由(1)可知AC＝AE＝8， ∴BC＝ ×8＝4. 随堂练习 知识点1 矩形的边、角性质 （第1题） 1.如图是一个矩形空地， ， ，从点沿直线走到点 ,要走( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 20 （第2题） 2.如图，直线，矩形的顶点在直线 上，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 21 3.[无锡中考] 如图，在矩形中，点在延长线上，点在 延 长线上，且，连接， 。求证： （1） ； 中考考法 22 证明： 四边形 是矩形， ， ， 。 在和 中， 。 中考考法 23 （2） 。 [答案] ， 。 又 ， ，即 。 返回 中考考法 24 知识点2 矩形对角线的性质 4.如图，在矩形中，对角线与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 25 5.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边 的中 点，点在对角线上，且，连接。若，则 _ _。 返回 中考考法 26 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形的 特殊性质 角：矩形的四个角都是直角 对角线：矩形的对角线相等 课堂小结 $