第1章 数学与我们同行（分层作业）数学新教材苏科版七年级上册

分层作业 第一章 数学与我们同行 目 录 A组 巩固过关 题型01 数学式子规律探究 题型02 数字规律探究 题型03 月历规律探究问题 题型04 图案摆放问题 题型05 图形设计问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 数学式子规律探究题型01 1．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律 ． 2．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 数字规律探究题型02 3．（25-26七年级上·广东珠海·期末）【探究背景】我们已经学习了“自然数被3整除的规律”：如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．以两位数的情形为例说明其中的道理： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为． 于是 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 类比上述过程，探究“自然数被9整除的规律”． 【观察猜想】 （1）观察下列能被9整除的数：18、27、36、108、378、567、1386，通过计算这些数所有数位上的数字之和，大胆猜想“自然数被9整除的规律”：___________． 【说明道理】 （2）以三位数的情形为例说明“自然数被9整除的规律”的道理： 【应用拓展】 （3）一个能被9整除的四位数的后两位数字被污渍遮挡，仅能看清前两位数字：“15”，若已知这个数的十位数字是个位数字的2倍，写出这个四位数的所有可能结果___________． 4．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 月历规律探究问题题型03 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题背景】 数学活动课上，我们对“月历中的奥秘”进行探索研究．月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！ 如图是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： 【探究一】 （1）图①中带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的___________倍，如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的___________倍； （2）第（1）小题结论对于任何一个月的月历都成立吗？请说明理由；（同样的阴影方框） 【探究二】 （3）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为，“+”形和“”形在月历上可以随意移动，当“+”形的正中心数比“”形的正中心数小4，时，求a，b的值． 6．在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如：________，________； 不难发现，其结果都等于________； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明； (3)在某月历中，“”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间位上的数________． 图案摆放问题题型04 7．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)按图示规律填写下表： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 (2)如果按照此规律继续摆下去，通过观察可以发现：第n个“上”字需用 枚棋子；（用含n的代数式表示，需化简） (3)七（1）班有46名学生，把每名学生看作一枚“棋子”，能否按照以上规律恰好站成一个“上”字？请说明理由． 8．【观察思考】如图，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 【规律发现】 (1)第⑥个图案中“●”的个数为________个； (2)第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第n个图案中“○”的个数可表示为________； 图形设计问题题型05 9．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个完全相同的图形． 10．生活中因为有了美丽的图案，才显得丰富多彩，如图①②③，是来自生活中的三个图案 ．请在图④⑤中画出具有前面三个图案共同特征的新图案 ． 1．探究代数式规律活动课上，小徽用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中图1中有2个白色正方形，图2中有3个白色正方形，图3中有5个白色正方形，，按此规律排列下去，则图10中白色正方形的个数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 2．如图，图形中都是由几个蓝色和白色的正方形按一定规律组成，第个图中有个蓝色正方形，第个图中有个蓝色正方形，第个图中有个蓝色正方形，第个图中有个蓝色正方形，，依此规律，第个图中蓝色正方形的个数是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中的值是（   ） A．420 B．422 C．424 D．426 4．观察下列按一定规律排列的图形，依照此规律，第10个图形中★的个数为（    ） A．26 B．29 C．32 D．35 5．【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（） A．148个 B．125个 C．126个 D．128个 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　） A．43 B．44 C．42 D．41 4．（25-26七年级上·山西晋中·期末）下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳． 【问题】将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，保证连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 【探索】首先，分析简单图形．如图1，研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形．其次，初步发现规律．几种简单情形的数据如上表，发现长方形内点的个数每增加1，三角形的个数就增加2．因此当长方形内有35个点时，分得三角形的个数是．最后，解释并表达规律当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为……小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干个简单情形中找到相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况，最后试着给出合理的解释，并用数学语言简洁的表达规律． 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点可以分得___________个三角形；如果长方形内有个点，那么可分得___________个三角形； 请用归纳策略解答下列问题： （2）如图2：现用灰、白两种颜色的五边形地砖按如图所示的规律拼成若干个蝴蝶形图案．对某城市的人行道路进行铺设，第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有四块第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块，则第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有___________块． 5．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． (1)计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． (2)验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． (3)规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 1．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 ； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； 2．（2026·安徽蚌埠·三模）综合与实践 【阅读材料】为四位数，因为，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，则能被3整除． 【问题提出】数学兴趣小组发现，通过一个数的各位数字之和判断这个数是否能被3整除比直接判断更方便．因此，他们想进一步探究能被11整除的四位数的数字规律． 【特例研究】先列出一些能被11整除的数：1023，1353，2805，3091，7194，8976，… 对上面这些数的各位数字直接相加，显然不具有规律性，那么尝试加法和减法相结合，是否具有规律呢？ 【规律探究】兴趣小组进行探究尝试，最终发现：上面所列的数都满足具有某种规律．由此提出猜想，并类比前面阅读材料中的方法尝试对猜想进行证明． (1)猜想：当，，，满足________________时，四位数能被11整除； (2) 请说明上述猜想成立的理由． 3．（2026·安徽安庆·二模）【观察思考】用同样大小的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有5颗棋子，第2个图形中有8颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有14颗棋子，……． (1)第5个图形有________颗棋子． (2)【规律发现】第n个图形有________颗棋子． (3)【规律应用】用2027颗棋子可以组成符合该规律的图案吗？请判断并说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 第一章 数学与我们同行 目 录 A组 巩固过关 题型01 数学式子规律探究 题型02 数字规律探究 题型03 月历规律探究问题 题型04 图案摆放问题 题型05 图形设计问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 数学式子规律探究题型01 1．观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律 ． 【答案】(1) (2) (3) (10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）． 2．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）． （3） ． 数字规律探究题型02 3．（25-26七年级上·广东珠海·期末）【探究背景】我们已经学习了“自然数被3整除的规律”：如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．以两位数的情形为例说明其中的道理： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为． 于是 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 类比上述过程，探究“自然数被9整除的规律”． 【观察猜想】 （1）观察下列能被9整除的数：18、27、36、108、378、567、1386，通过计算这些数所有数位上的数字之和，大胆猜想“自然数被9整除的规律”：___________． 【说明道理】 （2）以三位数的情形为例说明“自然数被9整除的规律”的道理： 【应用拓展】 （3）一个能被9整除的四位数的后两位数字被污渍遮挡，仅能看清前两位数字：“15”，若已知这个数的十位数字是个位数字的2倍，写出这个四位数的所有可能结果___________． 【答案】（1）如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除；（2）见解析；（3）1521或1584 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知能被9整除的数的所有数位上的数字之和能被9整除，据此可得答案； （2）设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为，一定能被9整除，则当能被9整除时，一定能被9整除； （3）设这个数的个位数字为x，则这个数的十位数字为，则能被9整除，求出的取值范围，进而建立方程求解即可． 【详解】解：（1）， ∴可以猜想如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除； （2）设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， 则这个三位数为， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴一定能被9整除， ∴当能被9整除时，一定能被9整除， ∴如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除； （3）设这个数的个位数字为x，则这个数的十位数字为， ∵这个四位数能被9整除， ∴能被9整除， ∵， ∴，且x为整数， ∴，且为整数， ∴或， 解得或， ∴这个四位数为1521或1584． 4．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 【答案】（1）3738能被7整除；（2），见解析；（3）1或8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算． （1）依题例进行判断即可； （2）根据题意，若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除；由即可说明； （3）根据题意得能被7整除，再根据x是0到9的整数，求解即可． 【详解】解：（1）能，理由如下： ∵， ∴3738能被7整除； （2）若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除； ∵ ， ∵、能被7整除， ∴这个三位数能被7整除； （3）∵自然数能被7整除， ∴能被7整除， ∵x是0到9的整数， ∴当，能被7整除，当，能被7整除， ∴x的值为1或8． 月历规律探究问题题型03 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题背景】 数学活动课上，我们对“月历中的奥秘”进行探索研究．月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！ 如图是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： 【探究一】 （1）图①中带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的___________倍，如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的___________倍； （2）第（1）小题结论对于任何一个月的月历都成立吗？请说明理由；（同样的阴影方框） 【探究二】 （3）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为，“+”形和“”形在月历上可以随意移动，当“+”形的正中心数比“”形的正中心数小4，时，求a，b的值． 【答案】（1）9，9； （2）这个结论对任何一个月的月历都成立，理由如下：设正中心的数为n ，则其余的数为， ∴， ∴结论成立； （3） 【分析】本题主要考查一元一次方程月历问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将所有数加起来和正中心数比较即可；将所有数加起来和正中心数比较即可； （2）设正中心的数为n，将其余的数相加验证结论即可； （3）设“+”形的正中心数为x，故“”形的正中心数为，将“+”形和“”形的各个数表示出来进行计算即可． 【详解】（1）解：9个数的和为，其和是正中心数11的9倍， 图②的位置，9个数的和为，， ∴其和是正中心数22的9倍， 故答案为：9；9； （2）略 （3）解：设“+”形的正中心数为x，故“”形的正中心数为， ∴“+”形的各个数为， ∴， ∴“”形的各个数为：， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 6．在月历中有许多奥秘，图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如：________，________； 不难发现，其结果都等于________； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以说明； (3)在某月历中，“”字型框架框住的5个位置上的数，如果最小数与最大数的和为40，那么中间位上的数________． 【答案】(1)65；50；位置C上的数的5倍 (2)见解析 (3)20 【详解】（1）解：，， ∴“”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为：“”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍， 故答案为：65；50；位置C上的数的5倍； （2）证明：设“”字型框架中位置上的数为，则位置A上的数为，位置B上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为， ∵， ∴“”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； （3）解：∵中间的数为c， ∴最小的数为，最大的数为， ∵最小数与最大数的和为40， ∴， ∴， 故答案为：20． 图案摆放问题题型04 7．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． (1)按图示规律填写下表： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 (2)如果按照此规律继续摆下去，通过观察可以发现：第n个“上”字需用 枚棋子；（用含n的代数式表示，需化简） (3)七（1）班有46名学生，把每名学生看作一枚“棋子”，能否按照以上规律恰好站成一个“上”字？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)能，见解析 【详解】（1）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多4枚棋子， ∴第4个图案的棋子数为：，第5个图案的棋子数为：， 填表如下： 图案编号 1 2 3 4 5 棋子枚数 6 10 14 18 22 （2）解：由（1）可知，第n个“上”字需用个棋子； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 令， 解得：， ∵是正整数， ∴说明第个图形上恰好使用枚棋子， 故能按照以上规律恰好站成一个“上”字． 8．【观察思考】如图，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 【规律发现】 (1)第⑥个图案中“●”的个数为________个； (2)第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第n个图案中“○”的个数可表示为________； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题知，第①个图案中“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， （2）第①个图案中“○”的个数可表示为， 第②个图案中“○”的个数可表示为， 第③个图案中“○”的个数可表示为， 第④个图案中“○”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； 图形设计问题题型05 9．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个完全相同的图形． 【答案】见解析 【详解】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形． 10．生活中因为有了美丽的图案，才显得丰富多彩，如图①②③，是来自生活中的三个图案 ．请在图④⑤中画出具有前面三个图案共同特征的新图案 ． 【答案】见解析 【详解】解：前面三个图案共同特征是沿着一条直线对折后两部分完全重合， 依题意，图④⑤如图所示： 1．探究代数式规律活动课上，小徽用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中图1中有2个白色正方形，图2中有3个白色正方形，图3中有5个白色正方形，，按此规律排列下去，则图10中白色正方形的个数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 【答案】C 【详解】由所给图形可知， 图1中白色正方形的个数为； 图2中白色正方形的个数为； 图3中白色正方形的个数为； 图4中白色正方形的个数为； 图5中白色正方形的个数为； ， 所以图（n为正整数）中白色正方形的个数为， 图中白色正方形的个数为． 当，即时，， 所以图10中白色正方形的个数为15． 故选：C 2．如图，图形中都是由几个蓝色和白色的正方形按一定规律组成，第个图中有个蓝色正方形，第个图中有个蓝色正方形，第个图中有个蓝色正方形，第个图中有个蓝色正方形，，依此规律，第个图中蓝色正方形的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察图形的变化可知： 第个图中有个蓝色正方形， 第个图中有个蓝色正方形， 第个图中有个蓝色正方形， 第个图中有个蓝色正方形， ， 发现规律：第个图中有个蓝色正方形， 第个图中蓝色正方形的个数是． 故选：B． 3．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中的值是（   ） A．420 B．422 C．424 D．426 【答案】B 【详解】根据题中前4个三角形中的三个数的规律，可知如下规律：    ∴当时，． 4．观察下列按一定规律排列的图形，依照此规律，第10个图形中★的个数为（    ） A．26 B．29 C．32 D．35 【答案】C 【详解】解：第1个图形有★的个数为； 第2个图形中有★的个数为； 第3个图形中有★的个数为； 第4个图形中有★的个数为； 以此类推， 第个图形中有★的个数为， ∴第10个图形中★的个数为． 5．数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． (1)探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． (2)探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． (3)【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 【答案】(1)①5；② (2)①6，30；② (3)还需要600块正三角形地砖 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； …， ∴；； （2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形； （3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖． 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个☆，第2个图案中有5个☆，第3个图案中有8个☆，第4个图案中有13个☆……按此规律，则第12个图案中，☆的个数是（） A．148个 B．125个 C．126个 D．128个 【答案】B 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案中☆的个数为； 第2个图案中☆的个数为； 第3个图案中☆的个数为； 第4个图案中☆的个数为； ∴第n个图案中☆的个数为， 当时，☆的个数为． 3．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　） A．43 B．44 C．42 D．41 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律． 根据图形规律求出图形的个数即可． 【详解】解：根据给出的示例图形可得， 第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为， 故选：B． 4．（25-26七年级上·山西晋中·期末）下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳． 【问题】将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，保证连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 【探索】首先，分析简单图形．如图1，研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形．其次，初步发现规律．几种简单情形的数据如上表，发现长方形内点的个数每增加1，三角形的个数就增加2．因此当长方形内有35个点时，分得三角形的个数是．最后，解释并表达规律当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为……小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干个简单情形中找到相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况，最后试着给出合理的解释，并用数学语言简洁的表达规律． 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点可以分得___________个三角形；如果长方形内有个点，那么可分得___________个三角形； 请用归纳策略解答下列问题： （2）如图2：现用灰、白两种颜色的五边形地砖按如图所示的规律拼成若干个蝴蝶形图案．对某城市的人行道路进行铺设，第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有四块第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块，则第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有___________块． 【答案】（1）202，；（2）52 【详解】解：（1）长方形内有100个点可以分得的三角形个数为（个）， 长方形内有个点，那么可分得的三角形的个数为（个）， 故答案为：202，； （2）第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有4块， 第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块， 第三幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有10块， …… 第幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有块， ∴第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有块， 故答案为：52． 5．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． (1)计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． (2)验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． (3)规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 【答案】(1)11，99，9 (2)16，144，是 (3)成立，猜想：设9个数字的和为，则，见解析 【详解】（1）解：由图1知，方框的中心数为11， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：11，99，9； （2）解：由图2知，方框的中心数为16， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：16，144，是； （3）解：以上这个结论对于任何一个月的月历都成立，猜想：设9个数字的和为， 则 证明：中心数为 其余8个数分别为：，，，，，，，． ． 1．（2026·安徽蚌埠·二模）【观察思考】如图所示，是用图形“”和“●”按一定规律设计的图案． (1)【规律发现】第⑥个图案中“●”的个数为 ，第个图案中“●”的个数为 （用含的代数式表示）； (2)【规律发现】第①个图案中“”的个数可表示为，第②个图案中“”的个数可表示为，第③个图案中“”的个数可表示为，第④个图案中“”的个数可表示为，…，第⑥个图案中“”的个数为 ，第个图案中“”的个数为 （用含的代数式表示）； (3)【规律应用】按照此规律继续摆下去，第个图案中的“”的个数是“●”个数的倍，求的值． 【答案】(1)14， (2)21， (3)的值为10 【详解】（1）解：由题知，第①个图案“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个，第个图案中“●”的个数为个； （2）解：第①个图案中“”的个数可表示为， 第②个图案中“”的个数可表示为， 第③个图案中“”的个数可表示为， 第④个图案中“”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 即第⑥个图案中“”的个数为个，第个图案中“”的个数可表示为； 2．（2026·安徽蚌埠·三模）综合与实践 【阅读材料】为四位数，因为，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，则能被3整除． 【问题提出】数学兴趣小组发现，通过一个数的各位数字之和判断这个数是否能被3整除比直接判断更方便．因此，他们想进一步探究能被11整除的四位数的数字规律． 【特例研究】先列出一些能被11整除的数：1023，1353，2805，3091，7194，8976，… 对上面这些数的各位数字直接相加，显然不具有规律性，那么尝试加法和减法相结合，是否具有规律呢？ 【规律探究】兴趣小组进行探究尝试，最终发现：上面所列的数都满足具有某种规律．由此提出猜想，并类比前面阅读材料中的方法尝试对猜想进行证明． (1)猜想：当，，，满足________________时，四位数能被11整除； (2)请说明上述猜想成立的理由． 【答案】(1)能被11整除 (2)见详解 【详解】（1）解：1023，，0能被11整除； 1353，，0能被11整除； 2805，，能被11整除； …； ∴当，，，满足能被11整除，四位数能被11整除； （2） ， 因为和都能被11整除， 所以四位数能被11整除， 故当能被11整除时，能被11整除． 3．（2026·安徽安庆·二模）【观察思考】用同样大小的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有5颗棋子，第2个图形中有8颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有14颗棋子，……． (1)第5个图形有________颗棋子． (2)【规律发现】第n个图形有________颗棋子． (3)【规律应用】用2027颗棋子可以组成符合该规律的图案吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)17 (2) (3)见详解 【详解】（1）解：由题意知，第1个图形中有5颗棋子， 第2个图形中有颗棋子， 第3个图形中有颗棋子， 第4个图形中有颗棋子，…， 第5个图形中有颗棋子； （2）解：由（1）可知，第个图形中棋子的数量为， 用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为； （3）可以组成，理由：令，解得， 第675个图形中有2027颗棋子， 故用2027颗棋子可以组成符合该规律的图案． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $