精品解析：山东青岛市即墨区2025-2026学年度第二学期期末学业水平质量检测八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期学业水平诊断性测试八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 本试题共25道题．第1-10题为选择题，共30分；第11-16题为填空题，共18分；第17题为作图题，共4分；第18-25题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（满分30分，共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 年是“十五五”规划开局之年，我国持续推动全球文明交流、共建人类命运共同体．下列国家级重大活动官方标识里，属于中心对称图形的是（ ） A. 第四次全国农业普查标识 B. 亚洲文明对话大会主标识 C. 深圳峰会 D. 第六届亚洲沙滩运动会会徽 2. 已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 6. 某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用元买了若干套，第二次用元购买同款数独九宫格盘，……，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（ ） A. 每套比上次降价元，多买了套 B. 每套比上次降价元，少买了套 C. 每套比上次涨价元，少买了套 D. 每套比上次涨价元，多买了套 7. 如图，正八边形的对角线交于点M，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 9. 如图，点的坐标分别是、，如果将线段平移至的位置，与坐标分别是和，那么线段在平移过程中扫过的图形面积为（ ） A. 48 B. 64 C. 72 D. 108 10. 如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 化简：__________． 12. 关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 13. 一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 14. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 15. 如图，四边形中，，，，点为线段上一点（点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度为__________． 16. 如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的结论序号是__________． 三、作图题（满分4分） 17. 已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 四、解答题（满分68分） 18. 计算 （1）因式分解： （2）解不等式组 （3）解分式方程： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）、、的坐标分别为、、，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）将向下平移3个单位长度，得到（点，，的对应点分别为，，），画出； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别为，），画出； （3）若小明位于处，先到甲储物点处取物品，然后沿轴走到乙储物点取物品，最后都交给位于处的小刚．则小明所走的路程最短是__________． 21. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，，． 【操作发现】 如图2，固定，使绕点旋转．当点恰好落在边上时： （1）线段与的位置关系是__________； （2）设的面积为，的面积为，则与的数量关系是__________． 【拓展探究】 （3）已知，点是其角平分线上一点，，交于点（如图3），若在射线上存在点，使，则的长为__________． 22. 根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 23. 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 24. 端午节是我国首个入选人类非物质文化遗产的传统节日，每年农历五月初五．2026丙午马年端午临近，本地生活超市提前筹备节日商品，计划购进A种红枣粽、B种鲜肉粽两类粽子对外销售．经统计进货成本发现：花费1200元采购A种粽子的数量，比花费1296元采购B种粽子的数量多30个，且单个B种粽子的进价是单个A种粽子进价的1.2倍． （1）求A、B两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）超市计划为2026年端午一共购进这两种粽子1100个，且采购A种粽子的总费用不高于采购B种粽子的总费用．设购进A种粽子个，写出总进货费用（元）与之间的函数关系式，并设计进货方案，使得总进货费用最低，求出最低总费用． 25. 如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形； （2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）求DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期学业水平诊断性测试八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 本试题共25道题．第1-10题为选择题，共30分；第11-16题为填空题，共18分；第17题为作图题，共4分；第18-25题为解答题，共68分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（满分30分，共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 年是“十五五”规划开局之年，我国持续推动全球文明交流、共建人类命运共同体．下列国家级重大活动官方标识里，属于中心对称图形的是（ ） A. 第四次全国农业普查标识 B. 亚洲文明对话大会主标识 C. 深圳峰会 D. 第六届亚洲沙滩运动会会徽 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐步分析即可． 【详解】解：根据不等式的性质进行推导： ∵， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∴， 不等式两边同时加5，不等号方向不变， ∴ ． 因此“□”中应填． 3. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 4. 已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 5. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，， ， ， ， ， ， 故选：． 6. 某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用元买了若干套，第二次用元购买同款数独九宫格盘，……，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（ ） A. 每套比上次降价元，多买了套 B. 每套比上次降价元，少买了套 C. 每套比上次涨价元，少买了套 D. 每套比上次涨价元，多买了套 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程各部分的实际意义，分别分析购买数量和单价的关系，即可推出省略部分的条件与省略部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了套，方程中第二次购买的数量为套， ∴第二次购买数量比第一次少套，即少买了套； ∵是第一次购买的单价，是第二次购买的单价，方程满足， ∴第一次单价比第二次单价多元，即第二次每套比第一次降价元； 因此省略部分的文字为“每套比上次降价元，少买了套” ． 7. 如图，正八边形的对角线交于点M，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和外角，先求出，再根据正八边形的性质求出和，最后根据三角形的内角和即可求得． 【详解】解：八边形为正八边形， ， 正八边形关于对角线轴对称，， ，， ∴， ， ． 8. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　） A. ﹣2＜x＜﹣1 B. ﹣1＜x＜0 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0； 当x＜﹣1时，kx+b＜mx， 所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9. 如图，点的坐标分别是、，如果将线段平移至的位置，与坐标分别是和，那么线段在平移过程中扫过的图形面积为（ ） A. 48 B. 64 C. 72 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标的变化信息得到从到，需要向上平移个单位，从到，需要向右平移个单位，再利用割补法列式运算即可． 【详解】解：∵，， ∴从到，需要向上平移个单位， ∵，， ∴从到，需要向右平移个单位， 过作平行于轴的线段，交于作平行于轴的线段于点，交于作平行于轴的线段于点；过作平行于轴的线段，交于作平行于轴的线段于点，交于作平行于轴的线段于点，如图所示： ∴由题意可得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 10. 如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，由题意易得，则有，然后根据旋转的性质可知，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵点M是边的中点， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 13. 一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 【答案】 【解析】 【分析】根据电梯额定限载量得到总重量的不等关系，求解后取最大正整数即可得到结果． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据题意，列不等式得， 解不等式得， 为正整数， 的最大值为，即两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运28箱货物． 14. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定规则“同大取大”，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： 不等式组的解集是， 根据“同大取大”可得， 解得 . 15. 如图，四边形中，，，，点为线段上一点（点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ． 16. 如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的结论序号是__________． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】由平行四边形的性质容易证明，则；对于②，容易判断，，因此四边形是平行四边形；对于③，由已知条件无法确定，因此不正确；对于④，由平行四边形的性质可得，，，因此平分的周长；对于⑤，连接，由等积变形可得，由可得，从而得到，因此． 【详解】解：对于①，∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 对于②，∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 对于③，∵， ∴， 在中，由已知条件无法确定， ∴不一定成立，即不一定成立，故③错误； 对于④，∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴平分的周长，故④正确； 对于⑤，如图，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 三、作图题（满分4分） 17. 已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 【答案】 【解析】 【分析】作的垂直平分线，再过点作的垂线，两线交点即为点． 【详解】略 四、解答题（满分68分） 18. 计算 （1）因式分解： （2）解不等式组 （3）解分式方程： 【答案】（1） （2） （3）原分式方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为； 【小问3详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，当时，， 原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）、、的坐标分别为、、，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）将向下平移3个单位长度，得到（点，，的对应点分别为，，），画出； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到（点，的对应点分别为，），画出； （3）若小明位于处，先到甲储物点处取物品，然后沿轴走到乙储物点取物品，最后都交给位于处的小刚．则小明所走的路程最短是__________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据两点间线段最短以及坐标两点的距离公式，分别求出三段路程的最短距离，再求和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：处到甲储物点的最短路程为， 甲储物点到乙储物点的最短路程为， 乙储物点到处的最短距离为． 则小明所走的路程最短是． 21. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，，． 【操作发现】 如图2，固定，使绕点旋转．当点恰好落在边上时： （1）线段与的位置关系是__________； （2）设的面积为，的面积为，则与的数量关系是__________． 【拓展探究】 （3）已知，点是其角平分线上一点，，交于点（如图3），若在射线上存在点，使，则的长为__________． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理和旋转的性质，推出是等边三角形，则，可得出平行； （2）根据等边三角形的性质，推出和等底等高，即可得解； （3）过点作交于点，连接，连接交于点，则四边形是平行四边形，进而得出，再证明四边形是菱形，利用勾股定理求解即可；过点作交于点，连接，过点作于点，先证明是等边三角形，则，再推出，得到，此时，即可得解． 【小问1详解】 解：，， ， 由旋转的性质可知，， 是等边三角形， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， 点到的距离等于点到的距离， 和等底等高， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作交于点，连接，连接交于点， ，， 四边形是平行四边形， , , 、上的高相等， ， ，点是其角平分线上一点， ， ， ， ， ， 又，， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ； 如图，过点作交于点，连接，过点作于点， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，此时， 综上可知，的长为或． 22. 根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 【答案】任务一：地上充电桩需要万元，地下充电桩需要万元 任务二：共有2种建造方案，方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元”列二元一次方程组求解即可； （2）设新建个地上充电桩，根据“用不超过13万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过”列一元一次不等式组，求出的取值范围，即可得解． 【详解】任务一：解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得， 解得， 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 万元和万元； 任务二：解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴整数的值为，， 方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 23. 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 24. 端午节是我国首个入选人类非物质文化遗产的传统节日，每年农历五月初五．2026丙午马年端午临近，本地生活超市提前筹备节日商品，计划购进A种红枣粽、B种鲜肉粽两类粽子对外销售．经统计进货成本发现：花费1200元采购A种粽子的数量，比花费1296元采购B种粽子的数量多30个，且单个B种粽子的进价是单个A种粽子进价的1.2倍． （1）求A、B两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）超市计划为2026年端午一共购进这两种粽子1100个，且采购A种粽子的总费用不高于采购B种粽子的总费用．设购进A种粽子个，写出总进货费用（元）与之间的函数关系式，并设计进货方案，使得总进货费用最低，求出最低总费用． 【答案】（1）A种粽子每个进价是4元，B种粽子每个进价是4.8元 （2）函数关系式为（，且为整数）；当购进A种粽子600个，B种粽子500个时，总进货费用最低，最低总进货费用为4800元 【解析】 【分析】（1）设A种粽子每个进价为元，则B种粽子每个进价为元，根据数量关系列出分式方程，求解并检验即可； （2）购进A种粽子个，则购进B种粽子个，根据题意列出关系式与不等式，求出的取值范围后，结合一次函数的增减性求出的最小值，并确定方案． 【小问1详解】 解：设A种粽子每个进价为元，则B种粽子每个进价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：A种粽子每个进价是4元，B种粽子每个进价是4.8元． 【小问2详解】 解：∵购进A种粽子个， ∴购进B种粽子个， ∵采购A种粽子的总费用不高于采购B种粽子的总费用， ∴， 解得， 又∵一共购进这两种粽子1100个， ∴且为整数， 根据题意，（，且为整数）， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 此时购买A种粽子个，B种粽子个． 答：函数关系式为（，且为整数）；当购进A种粽子600个，B种粽子500个时，总进货费用最低，最低总进货费用为4800元． 25. 如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形； （2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）求DE的长． 【答案】（1）2；（2）存在，t＝3；（3）3cm 【解析】 【分析】（1）当时，，由此构建方程即可解决问题． （2）如图1中，连接交于．证明，由此构建方程即可解决问题． （3）作交于．根据可证明，得出，证明即可解决问题． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°， ∴6+t＝2（6﹣t）， ∴t＝2， ∴t＝2时，△BPQ是直角三角形． （2）存在． 理由：如图1中，连接BF交AC于M． ∵BF平分∠ABC，BA＝BC， ∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm， ∵EFBQ， ∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°， ∴EF＝2EM， ∴t＝2•（3﹣t）， 解得t＝3． （3）如图2中，作PKBC交AC于K． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝60°， ∵PKBC， ∴∠APK＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°， ∴△APK是等边三角形， ∴PA＝PK， ∵PE⊥AK， ∴AE＝EK， ∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC， ∴△PKD≌△QCD（AAS）， ∴DK＝DC， ∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $