精品解析：山东省德州市夏津县2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期末学习成果阶段展示 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在中，对角线，相交于点O，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 12.5 4. 文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（ ） A. B. C. D. 5. 某兴趣小组开展“探究土壤酸碱性”跨学科实践活动．同学们分别取两种不同的土壤改良剂（和）各0.3g于锥形瓶中，然后分别加入等量的同一土壤浸出液各40mL，按图1装置分别进行数字化实验，测定pH随时间的变化，结果如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 改良剂改良土壤时，随着时间的增加，土壤的pH逐渐接近于7 B. 改良剂改良土壤时，土壤的pH逐渐上升 C. 改良前，土壤的pH为6 D. 两种改良剂改良土壤时，土壤的pH均在逐渐下降 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 函数的图象与轴交于点 C. 图象向上平移个单位经过原点 D. 当时， 9. 已知A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（米）与时间t（分钟）之间的关系，下列结论错误的是（ ） A. 乙先出发10分钟，甲才出发 B. 甲的速度是100米/分钟 C. 乙出发时，甲在乙前面1000米 D. 甲、乙相遇时，他们离开A地3200米 10. 如图，正方形的边长是a，点E是对角线上一动点（不与点B、D重合），于点F，于点G，连接，则下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是2a；③；④的最小值是．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、选择题：本大题共5小题，共20分． 11. 要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，你认为派_________（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 12. 如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 13. 如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 14. 如图1是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图2，，若，则的长度为_________． 15. 当时，对于x的每一个值，函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） （1）若和关于原点O成中心对称图形，画出； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）直接写出点和的坐标． 17. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，89，89，91，93，93，93，93，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 87 90 b （1）上述表中，_________，_________， （2）八年级学生成绩的第一四分位数_________，补全七年级的箱线图； （3）你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计表和箱线图进行说明． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 19. 如图，直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，交y轴于点M，与直线相交于点． （1）求a的值与直线的解析式； （2）求的面积； （3）若点P为直线上的点，且时，求点P的坐标． 20. 如图，是直角三角形，且，点D、O分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 21. “墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，为让每个人都能在家门口吃到特色美食，于是长沙特色美食店隆重入驻夏津，销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： （1）求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ （2）某公司想购买这两种食品共80份送给员工（两种食品均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 22. 【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； （2）如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 23. 课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 （1）①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 （2）如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 （3）如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学习成果阶段展示 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B：是中心对称图形，故此选项符合题意； C：不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D：不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】验证较小两边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形． 【详解】解：A．，，，故不能组成直角三角形； B．，，，不能组成直角三角形； C．，，，能组成直角三角形； D．，，，不能组成直角三角形． 3. 如图，在中，对角线，相交于点O，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 12.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：中，对角线相交于点O，E是的中点， 故， 故是的中位线， 故， 又， 故． 4. 文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：正八边形的内角和． 5. 某兴趣小组开展“探究土壤酸碱性”跨学科实践活动．同学们分别取两种不同的土壤改良剂（和）各0.3g于锥形瓶中，然后分别加入等量的同一土壤浸出液各40mL，按图1装置分别进行数字化实验，测定pH随时间的变化，结果如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 改良剂改良土壤时，随着时间的增加，土壤的pH逐渐接近于7 B. 改良剂改良土壤时，土壤的pH逐渐上升 C. 改良前，土壤的pH为6 D. 两种改良剂改良土壤时，土壤的pH均在逐渐下降 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的变化趋势逐一分析选项即可． 【详解】解：A、根据图2曲线的变化趋势可知，改良剂改良土壤时，随着时间的增加，土壤的pH逐渐接近于7，故此选项正确； B、根据图2曲线的变化趋势可知，改良剂改良土壤时，土壤的pH逐渐接近于6后又开始下降，故此选项错误； C、当时间为0时，，∴改良前，土壤的pH为5，故此选项错误； D、改良剂改良土壤时，随着时间的增加，土壤的pH逐渐上升接近于7，改良剂改良土壤时，土壤的pH逐渐上升接近于6后又开始下降，故此选项错误． 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据组内离差平方和最小原则进行分组，先将数据从小到大排序，计算各间隔分组的总组内离差平方和，选取总离差平方和最小的对应分组即可． 【详解】解：将5名同学完成引体向上的个数从小到大排序，得．排序后共有4个间隔，分别计算各分组的总组内离差平方和： ∵ 第1个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第2个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第3个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； 第4个间隔对应分组和，总组内离差平方和为 ； ∴ ，总组内离差平方和最小的是第2个间隔对应的分组，即和． 7. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先算出长度，利用菱形边长相等得、，然后根据勾股定理求出，再根据，且点在点左侧，得到点坐标． 【详解】解：点，， ，， 四边形为菱形， ， ， ，且点在点左侧， 点的坐标为． 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 函数的图象与轴交于点 C. 图象向上平移个单位经过原点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数中、的意义，结合平移规则逐项判断即可． 【详解】解：对于一次函数，，， ∵ ，， ∴ 图像经过第一、二、四象限，A结论正确； 令，得， ∴ 图像与轴交于点，B结论正确； 将向上平移个单位，得到新解析式，将代入，左边，右边，平移后图像不经过原点，C结论错误； 令，即，解得，因此当时，，D结论正确． 9. 已知A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，，分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（米）与时间t（分钟）之间的关系，下列结论错误的是（ ） A. 乙先出发10分钟，甲才出发 B. 甲的速度是100米/分钟 C. 乙出发时，甲在乙前面1000米 D. 甲、乙相遇时，他们离开A地3200米 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图获得信息，由此逐一判断选项即可 ． 【详解】解：根据图象可知，甲在时出发，乙在时出发， ∴甲先出发10分钟，乙才出发，A选项错误； 根据图象可知，甲出发32分钟，走了3200米， 则甲的速度为米/分钟，B选项正确； 根据图象可知，甲比乙先出发10分钟，此时甲走了米，C选项正确； 根据图象可知，，的交点为， 故甲、乙相遇时，他们离开A地3200米，D选项正确 ． 10. 如图，正方形的边长是a，点E是对角线上一动点（不与点B、D重合），于点F，于点G，连接，则下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是2a；③；④的最小值是．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，故①正确；由等腰直角三角形的判定可得，，可求四边形的周长是，故②正确；分别求出，，则不一定等于，故③错误；由矩形的性质可得，当时，有最小值，可求的最小值是，故④正确，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ，，， 四边形是矩形， 故①正确； ，， ，， ，， 四边形的周长， 故②正确； ，， 当时，， 不一定等于， 故③错误； 四边形是矩形，如图，连接， ， 当取最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 此时， 的最小值是， 故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④，共3个． 二、选择题：本大题共5小题，共20分． 11. 要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，你认为派_________（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 【答案】甲 【解析】 【分析】平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，比较三人方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵三人的平均成绩都是90分，方差分别是，，， 甲的方差最小，甲的成绩最稳定，故派甲去参赛更合适． 12. 如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据平行四边形的判定方法，可添加条件（或、等，合理即可）． 13. 如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把点的坐标代入直线求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象，找出直线在直线上方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 不等式的解集是． 14. 如图1是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图2，，若，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 椅背与底座的夹角为，即的外角为，且， ， 在 中，，， ， ∴， 在  中，， 是等腰直角三角形， ， ． 15. 当时，对于x的每一个值，函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入正比例函数及一次函数的解析式，求出的值，再根据当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】当时，正比例函数的函数值为，一次函数的函数值为， ∵时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值， ∴， ∴， 当时，正比例函数和一次函数平行，符合题意； 当时，正比例函数和一次函数交点横坐标为， 由题意可得， ， 综上所述，． 三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） （1）若和关于原点O成中心对称图形，画出； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）直接写出点和的坐标． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）关于原点O 成中心对称，横纵坐标均互为相反数，找到A、B、C的对应点，，，顺次连接即可； （2）分别将点B、C绕点A顺时针旋转得到对应点，，顺次连接即可； （3）根据点的位置写出点和的坐标即可． 【小问1详解】 解析见答案 【小问2详解】 解析见答案 【小问3详解】 解析见答案 17. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，89，89，91，93，93，93，93，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 87 90 b （1）上述表中，_________，_________， （2）八年级学生成绩的第一四分位数_________，补全七年级的箱线图； （3）你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计表和箱线图进行说明． 【答案】（1）90；93 （2）80； （3）八年级的学生成绩更好 理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，所以八年级的学生成绩更好．从数据上看，七年级学生成绩的最大值、上四分位数都高于八年级，七年级学生成绩的下四分位数和最小值都低于八年级；两个年级的中位数相同．从箱体来看，八年级的箱体较窄，极差较小，说明八年级学生成绩的波动程度较小，成绩更稳定． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b， （2）求出a，数据总数×0.25，取对应位置两数平均算出八年级第一四分位数，根据七年级的中位数补全箱线图即可； （3）根据平均数、中位数以及众数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴七年级所抽取学生的中位数； ∵八年级所抽取学生93出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 【小问2详解】 八年级排序：70，77，79，81，89，89，91，93，93，93，93，96 共 12 个数据， ∴取第3、4个数的平均数， ∴八年级学生成绩的第一四分位数； 补全七年级的箱线图如图：略； 【小问3详解】 略 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【小问1详解】 解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 19. 如图，直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，交y轴于点M，与直线相交于点． （1）求a的值与直线的解析式； （2）求的面积； （3）若点P为直线上的点，且时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点C坐标，再由待定系数法求解； （2）先求出点D坐标，再由三角形面积公式求解； （3）先设，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点， ∴， 解得 ∴， 把点，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：把代入得，， 解得， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入，则 ∴ ∴ 设， ∵， ∴ ∴， ∴， 当时，则，即 当时，则，即 综上，点的坐标为或． 20. 如图，是直角三角形，且，点D、O分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是直角三角形，点D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）30 【解析】 【分析】(1)先证明四边形是平行四边形，再结合直角三角形的性质可得，即可得证； (2)设，由的周长为30，，得．由勾股定理可得，即，解得，再由点D、O分别是的中点， 证得，最后，代入菱形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵的周长为30，， ∴． 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ∴， ∵点D、O分别是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 21. “墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，为让每个人都能在家门口吃到特色美食，于是长沙特色美食店隆重入驻夏津，销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： （1）求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ （2）某公司想购买这两种食品共80份送给员工（两种食品均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 【答案】（1）25元；10元 （2）购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元 【解析】 【分析】（1）设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得出，再求出的范围，根据一次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元， 根据题意，得，解得． 故每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元． 【小问2详解】 解：设购买臭豆腐份，则购买糖油粑粑份，总费用为元， 根据题意得：． ∵购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的， ∴， ∴． ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，最小，最小值为1760，此时，． 故购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元． 22. 【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； （2）如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据旋转的性质得到，，证明，得到，，即可求解点C的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得到，，根据一次函数的性质得到，，进而求出点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点D的坐标． 【小问1详解】 解：如图2，过点作轴于点， 则， ∴， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：如图3，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴，， 对于， 当时，则；当，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点D的坐标为． 23. 课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 （1）①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 （2）如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 （3）如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①证明见解析； ②； （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）①结合正方形性质推得，，利用角边角即可证明； ②结合全等三角形性质得，再结合正方形性质推得，由勾股定理得，即可推得； （2）连接，延长交于点，结合矩形性质，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，最后结合勾股定理即可证明； （3）过点作，延长交于点，连接、，利用角边角证明，由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，设，则，利用勾股定理得方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①正方形中，，， 正方形中，， ，， ， 即， 在和中， ， ； ②解：，理由如下： ， ， 正方形中，，， ， 即， 中，， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接，延长交于点， 点是矩形的中心， ， 矩形中，，， ， 在和中， ， ， ，， 矩形中，， 垂直平分， ， 中，， ； 【小问3详解】 解：如下图：，， ， 过点作，延长交于点，连接、， ， 点是边的中点，，，， ，， 在和中， ， ， ，， 又， 即垂直平分， ， 中，， 中，， ， 设，则， 有， 解得， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、构造合适的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $