甘肃白银市靖远县联2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 p 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 欧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.若随机变量X~N(3,o2),且P(X<1)=0.23,则P(1≤X≤3)= A.0.23 B.0.27 C.0.73 D.0.77 灯 2.若集合A={xlx>1},B={一1,1,2}，则(CRA)∩B= A. B.{-1}》 C.{-1,1} D.{-1,1,2} 3.复数，51的实部与虚部之和为 A.1 B.-1 C.11 D.-11 1 4.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为 x 制 A.y=x B.y=-x C.y=x+2 D.y=-x十2 5.在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，AB+AD-BC,= A.DC B.CDj c.AC, D.CA 线 6.已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为一0.9，且样本数据的平均数分别为 x=3,y=3,则y关于x的经验回归方程可能是 A.y=-0.9x十6.7 B.y=-2x+9 C.y=0.9x+0.3 D.y=2x-3 7.已知函数fx)的导函数f')=-2+1,且f0)=号，则f(x)在[0,2上的最小值为 A.0 B.1 c号 4 D. 【高二数学第1页（共4页）】 风汉王扫描王 描识别王中王 8.已知某生鲜仓库的内部是一个长、宽、高分别为8m,4m,4m的长方体.现需在仓库内安装 喷雾头（喷雾头视为质点），单个喷雾头的喷洒范围是直径为7的球体，若仓库内部所有区 域均需被水雾覆盖，则至少需要安装的喷雾头的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.用长度为2,3,4,5四条线段中的三条首尾相接组成三角形，则 A.能组成4个三角形 B.能组成1个锐角三角形 C.能组成1个直角三角形 D.能组成2个钝角三角形 合 1Q已知FE,分别是离率为号的椭圆M:名十冷=1(a>b>0)的左右焦点，抛物线C y2=x与M交于A,B两点，且四边形AF,BF,的周长为8W2,则 A|FF2|=4 B.C的准线方程为x=一 2 C.|AB|=22 D.四边形AF1BF2的面积为8√2 11.设关于X,Y,Z的三元方程aX+bY+cZ=16的正整数解的组数为N(a,b,c),其中a,b,c 均为常数，则 A.N(1,1,1)=120 B.N(1,2,3)=N(3,2,1) C.N(2,1,1)=49 D.N(1,2,2)<N(1,1,2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若P(AB)=0.2,P(A)=0.8,则P(B|A)=▲ 13.在空间直角坐标系中，直线1的一个方向向量为m=(一1,0，一√3)，平面α的一个法向量为 n=(0,0,1),则直线l与平面a所成的角为▲ .(用弧度表示) 14.已知函数fx)=si血2zx-cos2x-2,2ar在（子，）上有两个极值点，则a的取值范图 为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 风汉王扫描王潮 扫描识别王中王 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层.该研究所在模拟高空低 温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积 冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表： 无积冰 有积冰 合计 电热防冰涂层 70 30 100 疏水防冰涂层 85 15 100 合计 155 45 200 (1)分别求两种防冰涂层的合格率； (2)根据上述数据，判断是否有95%的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关联. n(ad-bc)2 附：X2=a+bc+)a十c)6+D其中n=a+b+c+d. 当X>3.841时，有95%的把握认为变量A与B有关. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F,G分别是AB,CD,PD的中点，底面ABCD是边长为4 的正方形 (1)证明：平面EFG/平面PBC (2)若PA=2,PA⊥底面ABCD,求平面EFG与平面PBC之间的距离. B 17.(15分) 已知函数f(x)=e2x一2ax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最大值. 【高二数学第3页（共4页）】 风汉王扫描王 扫描识别王中王器 18.(17分) 某企业对旗下一款扫地机器人进行多次清扫测试.已知该机器人在单次清扫测试中，有效清 扫（避开障碍物）的概率为子，无放清扫（碰撞障碍物）的概率为子，每次清扫测试相互独立。 3 (1)若该机器人连续进行3次清扫测试，记有效清扫的次数为X,求X的分布列与期望 (2)规定累计出现2次无效清扫时清扫测试停止，记恰好进行到第n(n≥2，n∈N)次清扫测 试后清扫测试停止的概率为P(n). (i)求P(2),P(3); (i)求2P). 欧 19.(17分) 已知函数f(x)=2xlnx-x十alnx十a. (1)当a=1时，证明：f(x)在(0，十∞)上单调递增 (2)已知函数g(x)= 血工一m有两个不同的零点工1x2, (i)求m的取值范围； （i)证明：x1十x2>°2m 3-em 线 【高二数学第4页（共4页）】 风汉王扫描王 识别王中王藏高二数学参考答案 1.BP(1≤X≤3)=0.5-P(X<1)=0.27. 2.C因为RA={x|x≤1}，所以(CRA)∩B={一1,1}. 3.D由题意得_一-i65心-5-6i,所以65的实部与游部之和为-5-6=-1. 一 4D由题意得y-一是，当x-1时，y-一1，所以曲线y一士在点(1，)处的切线方程为y =-(x-1)+1=-x+2. 5.A AB+AD-BC-AC-BC-AC-AD-D C. 6.B由题意得y与x负相关，C,D均错误.一0.9X3十6.7=4，A错误.B正确， 7.A由题意可设fx)=了x+x十a,则f0)=a号易得fx)在[0,1】上单调递增，在 [1,2]上单调递减，f(2)=0<f(0)=号，所以f(x)在[0,2]上的最小值为0， 8.C因为7<8，所以安装1个喷雾头不能达到要求.将该长方体分为棱长均为4m的2个正 方体，易得正方体外接球的直径为4√3m,且4√3<7，将2个喷雾头分别安装在2个正方体 的中心，则可以达到要求.故至少需要安装的喷雾头的个数为2. 9.CD因为2十3=5，所以只能组成3个三角形，A错误.因为32+42=52,22十32-42=一3< 0,22十42一52=一5<0，所以能组成1个直角三角形和2个钝角三角形，B错误，C正确， D正确. 2, [a=2√2， a 10.AC设|F1F2|=2c.由题意得 解得b=2,所以|FF2|=4,C的准线方程 4a=8√2， c=2, a2=b2+c2, 为x=一 ,A正确，B错误由8 x=2, 得 所以|AB|=2√2，四边形 y2=x, y=士√2， AF,BF,的面积为F1F,·AB=42,C正确，D错误。 11.BCD由隔板法得，方程X+Y十Z=16的正整数解的组数为Cs=105,A错误.对于方程 X+2Y+3Z=16,交换X与Z,得3X+2Y+Z=16,因此N(1,2,3)=N(3,2,1),B正确. 对于2x+Y+Z=16,1≤X≤7，即Y+Z=16-2X,若固定X,则方程Y+Z=16-2X的 正整数解有16-2X-1组，则N(2,1,1)=13+11+9+7+5+3+1=49,C正确.比较两个 方程X+2Y+2Z=16,X+Y+2Z=16,后者Y的系数更小，Y可取的值更多，正整数解的 组数更多，则N(1,2,2)<N(1,1,2),D正确 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 12.0.25(或4) P(B5 13.5 设直线1与平面a所孩的角为6》则知9=msm,a=识-复，所 以0= 14.(-1,号)f'(x)=2os2x+2sin2z-22a=22sin(2x+天)-22a,由题意得 了x)在（子，贸）上有两个变号的零点.令f)=0,得a=m(2z+),则函数gr)= sm(2x+)在（至，）上的图象与直线y=a有两个交点.由x∈（任，经），得2x十子 ∈(，)，因为sm经<sn子，所以-1a<号 707 15.解：(1)电热防冰涂层的合格率为100=10' …3分 8517 疏水防冰涂层的合格率为00一20， 6分 (2)提出统计假设H。:防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰无关.… 7分 根据列联表中的数报，计算得到=-”-658.1 155×45×100×100 .........o.o....0.. 12分 所以有95%的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关.…13分 16.(1)证明：，F,G分别是CD,PD的中点，∴.FG∥PC.…1分 FG寸平面PBC,PCC平面PBC,.FG/平面PBC.…2分 BECF,BE=CF,四边形BCFE是平行四边形，.EFBC.…3分 ,EF中平面PBC,BCC平面PBC,… …4分 .EF/平面PBC. …5分 又.EF∩FG=F,EFC平面EFG,FGC平面EFG, 6分 .平面EFG/坪面PBC.… …7分 (2)解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、 之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(4,0,0),C(4,4, 0),P(0,0,2),E(2,0,0),…8分 BP=(-4,0,2),BC=(0,4,0),EB=(2,0,0). …9分 设平面PBC的法向量是n=(x,y,z), B n·BP=-4x+2x=0, 则 …11分 n·BC=4y=0, 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 取x=1,得y=0,之=2，则n=(1,0,2).…12分 故平面EFG与平面PBC之间的距离为 EB·nl_2W5 n-51 …15分 17.解：(1)由题意得f(x)的定义域为R,f'(x)=2e2x-2a. …1分 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增 3分 当a>0时，令f(x)>0,得x>2na,令f(z)<0,得x<na,… 分 则f(x)在(2lna,+o∞）上单调递增，在(-∞，2lha)上单调递减 …7分 (2)当a≤0时，f(x)在R上单调递增，f(x)没有最小值.…8分 当a>0时，g(a)=f(x)m=f(2lna）=a-alna. …10分 g'(a)=-lna,令g'(a)>0,得0<a<1,令g'(a)<0,得a>1,…l2分 则g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减.… …14分 故g(a)的最大值为g(1)=1. …15分 18.解：1)由题意得X~B(3,),X的可能取值为0,1,2,3. PX=0=x()'=d …1分 pX-1D-Gx×()-0 …2分 PX=2》=G×()'× 64 3分 64 4分 则X的分布列为 X 0 1 2 3 1 9 器 27 64 5分 故E0X0=0x品+1×+2×器+3 9 64-4 6分 【备注】E(X)还可以这样求解：E(X)=3×3=9 44 21)P(2=(}'=高 7分 进行3次清扫测试后清扫测试停止，则前2次清扫测试出现1次无效清扫，最后1次出现无 领游扫，所以P®=C×××号-品 …9分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 (ⅱ)进行到第k(k≥2，k∈N)次清扫测试后清扫测试停止，则前面k一1次中恰有1次出现 无效清扫，且最后一次出现无效清扫， 所以P)=4×C-1××()=-1D()'×()》-. …11分 2P)=(》2+2x(})×是+8x()》×(》++a-D()》×(经) =6×[1+2×4+3×()》°++(m-1D×()-] …12分 记S=1+2×+3x(是)+…+(m-1D×()-,… …13分 则s=+2×()+3×()+…+m-1D×(),… …14分 两式相减得S-是s=1+是+(》+…+()-(n-1D×() -(门-a-x》厂8=-a+9×门6分 故空r)s-a+x()门-1a+3产（或13x()） …17分 19.(1)证明：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=21nx+1+是，f(x)的导函数(x) 2x-1 2 …1分 当0<x<2时，(x)<0,∫'(x)单调递减，… 2分 当>2时，f产(x)>0,f(x)单调递增，…3分 所以f'(x)m=f(2）=3-2n2>0,…4分 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增. 5分 (2)(1)解：令g(x)=0,得m血工.设函数h(x)=工，得'(x)=1-n之 22 …6分 当0x<e时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x>e时，h'(x)<0,h(x)单调递减，…7分 所以A(x)m=h(O=己 …8分 因为当x>十∞时，h(x)→0，h(1)=0,h(x)的图象与直线y=m有两个交点，…9分 所以0<m<。,即m的取值范围为(0，己) …10分 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 （1)证明：不纺假设<，因为A1）=0,所以1<<：，得<名<1<号 e …11分 由(1)可知当a=1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0, 所以当0<x<1时，f(x)=2xlnx-x+lnx+1<0,当x>1时，f(x)=2xlnx-x+lnx +1>0. …12分 g)-2n2-+hg+1<0,n2z4n1-3a1十en1<0, ee 所以 得 …13分 )210. (2x2In x2-3x2+eln x2>0. ee 因为_1h=m,所以1n1=mx1,lnxg=mr, …14分 (2x1In x1-3x1+eln x1=2mx-3x1+emx<0,(-2mx+3x1-emx1>0, 所以 得 2 xzIn x2-3x2十elnx2=2mx2-3x2十emx2>0,2mx号-3x2+emx2>0. ………15分 两式相加得2m(x号一x)一3(x2一x1)十em(x2一x1)>0,…16分 得x1十x>3。em …17分 2m ▣回 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】