精品解析：山西省阳泉市盂县西烟中学等多校联考2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末教学质量监测 七年级数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 有下列各数：，，（相邻两个之间依次多一个），，，，其中无理数有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知，下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一块含角的直角三角板（，）按如图所示方式放置，并且顶点、分别落在直线、上，若直线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 调查国庆中秋假期游客对长沙热门景点的满意度 B. 调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量 C. 了解我国中学生的视力情况 D. 了解某品牌灯泡使用寿命 7. 下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第208次跳动至点对应的坐标是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 12. 如图，添加一个条件：___________，使得． 13. 数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列能用“垂线段最短”来解释的现象是________（填序号） ①测量跳远成绩 ②木板上弹墨线 ③两钉子固定木条 14. 如图，将沿向右平移至，若，，则的长为 _______． 15. 若关于的不等式组恰好有个正整数解，则的取值范围为______． 三、解答题 16. 计算、解不等式组 （1）． （2） 17. 下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×3，得，③ 第一步 ，得， 第二步 ． 第三步 将代入①，得． 第四步 所以，原方程组的解为， 第五步 （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 ． （2）第 步开始出现错误． （3）直接写出该方程组的正确解： ． 18. 如图，在边长为个单位的正方形网格中，在中，点、点、点都在格点（正方形网格的交点）上．经过平移后得到，图中标出了点的对应点． （1）画出平移后的； （2）过点画出线段的垂线，垂足为； （3）的面积是__________． 19. 把下面证明补充完整： 如图，点B、E分别在、上，交、于点M、N，． 求证：． 证明：（已知）， ______（两直线平行，内错角相等）． （已知）． _______（等量代换）， （____________）． _______（______________）． 又（___________）， （等量代换） 20. 马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）抽取的学生共有_____________人，请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校有学生人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？ 21. 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决： （1）某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？ （2）小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示） （3）请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？ 22. 我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． （1）已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； （2）请用上面的换元法解方程组． 23. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末教学质量监测 七年级数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：、∵， ∴，该选项计算正确； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算错误． 2. 有下列各数：，，（相邻两个之间依次多一个），，，，其中无理数有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，是整数，属于有理数；是有限小数，是分数，都属于有理数； ∴无理数为（相邻两个之间依次多一个），，，共个． 3. 已知，下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：A、不等式两边加同一个数，不等号方向不变，∵，∴，故A错误，不符合题意； B、不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，∵，∴，故B正确，符合题意； C、不等式两边乘正数再加同一个数，不等号方向不变，∵，∴，故，故C错误，不符合题意； D、由于未给出的符号，当时，不等式两边除以后不等号方向改变，得，故D不恒成立，不符合题意． 4. 将一块含角的直角三角板（，）按如图所示方式放置，并且顶点、分别落在直线、上，若直线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取点C右侧，在直线b上一点D，利用平行线的性质，平角的定义计算即可． 【详解】解：取点C右侧，在直线b上取一点D， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 5. 如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“帅”与“相”所在位置的坐标可建立直角坐标系，然后写出“炮”所在位置的点的坐标即可． 【详解】解：根据“帅”位于点上，“相”位于点上可建立如图的直角坐标系， 所以“炮”位于点上． 6. 下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 调查国庆中秋假期游客对长沙热门景点的满意度 B. 调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量 C. 了解我国中学生的视力情况 D. 了解某品牌灯泡使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】根据调查范围大小，是否要求高精度，调查是否具有破坏性，即可选择适宜的调查方式． 【详解】解：A．调查国庆中秋假期游客对长沙热门景点的满意度，调查范围大，不需要极高精度，适合抽样调查，选项A不符合要求； B．飞船重要零部件的质量直接影响飞行安全，必须保证每一个零部件合格，对调查结果精度要求极高，适宜采用全面调查，选项B符合要求； C．了解我国中学生的视力情况，调查对象范围极大，适合抽样调查，选项C不符合要求； D．测试灯泡使用寿命的调查具有破坏性，无法对所有灯泡进行测试，适合抽样调查，选项D不符合要求． 7. 下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面内直线垂直的性质，平行公理，平行线的性质，点到直线距离的定义，根据相关知识点逐一判断命题真假即可． 【详解】解：逐一判断四个命题： ①∵在同一平面内，只有过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题缺少“过一点”的条件， ∴①是假命题； ②∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原命题缺少条件， ∴②是假命题； ③∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题缺少条件， ∴③是假命题； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，符合定义， ∴④是真命题； 综上，真命题的个数为1． 8. 不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 把不等式组的解集表示在数轴上，如下图所示： 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何?” 其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少? 设有人，辆车，则所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“每辆车乘坐3人，空余两辆车”，实际坐人的车辆数等于总人数除以每车人数，也等于总车辆数减去空车数量得出方程；再根据“每辆车乘坐2人，有9人步行”，总车辆数等于乘车人数除以每车人数，乘车人数为总人数减去步行人数得出方程，即可列出正确的方程组． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意，得 ． 10. 如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第208次跳动至点对应的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的跳动，找到规律从， ，，开始，每4个点作为一组，每组对应的点的横坐标每次加3，纵坐标每次加2，按照规律求解即可． 【详解】解：由题意及图，得 ， ，，，， ，，，……， ∴从， ，，开始，每4个点作为一组，每组对应的点的横坐标每次加3，纵坐标每次加2， ∵， ∴点对应点，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 12. 如图，添加一个条件：___________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加，可根据内错角相等，两直线平行，判断； 添加，可根据同位角相等，两直线平行，判断； 添加或，可根据同旁内角互补，两直线平行，判断． 13. 数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列能用“垂线段最短”来解释的现象是________（填序号） ①测量跳远成绩 ②木板上弹墨线 ③两钉子固定木条 【答案】① 【解析】 【详解】解：①用“垂线段最短”解释； ②用“两点确定一条直线”解释； ③用“两点确定一条直线”解释． 14. 如图，将沿向右平移至，若，，则的长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，结合题干先计算出，再计算出即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴． 15. 若关于的不等式组恰好有个正整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再结合恰好有2个正整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有个正整数解， ∴不等式组的个正整数解为，， ∴， 解得． 三、解答题 16. 计算、解不等式组 （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 17. 下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×3，得，③ 第一步 ，得， 第二步 ． 第三步 将代入①，得． 第四步 所以，原方程组的解为， 第五步 （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 ． （2）第 步开始出现错误． （3）直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】（1） 加减消元；等式的性质 （2） 二 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【小问1详解】 解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； 【小问2详解】 解：第二步出现错误，应得到； 【小问3详解】 解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，在边长为个单位的正方形网格中，在中，点、点、点都在格点（正方形网格的交点）上．经过平移后得到，图中标出了点的对应点． （1）画出平移后的； （2）过点画出线段的垂线，垂足为； （3）的面积是__________． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，结合已知对应点作图即可； （2）根据垂线的定义作图即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：的面积是． 19. 把下面证明补充完整： 如图，点B、E分别在、上，交、于点M、N，． 求证：． 证明：（已知）， ______（两直线平行，内错角相等）． （已知）． _______（等量代换）， （____________）． _______（______________）． 又（___________）， （等量代换） 【答案】，，同位角相等，两直线平行；，两直线平行，同位角相等；对顶角相等 【解析】 【分析】先利用平行线的性质可得，利用等量代换可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，再利用两直线平行，同位角相等可得，最后利用等量代换即可解答． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）． （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（对顶角相等）， （等量代换）． 20. 马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）抽取的学生共有_____________人，请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校有学生人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？ 【答案】（1），补全条形图如图所示： （2） （3）人 【解析】 【分析】（）根据创意融合类的人数和占比求出抽样总人数，再用总人数减去其余三类的人数，算出语言类人数并补全条形统计图； （）先计算戏曲类人数占抽样总人数的比例，再用乘以该比例，求出戏曲对应的扇形圆心角度数； （）先算出样本中创意融合类与语言类的总人数及占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出全校选择这两类节目的总人数． 【小问1详解】 解：∵创意融合类有人，占总人数的， ∴总抽取人数为：； 语言类人数总人数歌舞人数戏曲人数创意融合人数， 即：， 补全条形图略 【小问2详解】 解：扇形圆心角戏曲人数占比，即： ， 答：“戏曲”对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：样本中创意融合语言类的总人数为：，占比为， 因此估计全校人中选择创意融合类和语言类节目的总人数为： 人， 答：估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有人． 21. 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决： （1）某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？ （2）小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示） （3）请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？ 【答案】（1）A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元 （2）， （3）当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算 【解析】 【分析】（1）设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元，根据买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元，列出方程组，即可求解； （2）根据线下商店购买和线上购买的优惠方法列代数式即可； （3）再根据两种购买方式所需费用，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元， 由题意，得， 解得， 答：A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元； 【小问2详解】 解：当小艾在线下商店购买时，需要：元； 当小艾采用线上购买时，需要：元； 【小问3详解】 解：当选线下时，，解得； 又∵， ∴； 当选线上时：，解得， 又∵， ∴； 答：当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算． 22. 我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． （1）已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； （2）请用上面的换元法解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【小问1详解】 解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； 【小问2详解】 设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 23. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，，理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， 即； （4），证明： 设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，,， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴x． ∵， ∴． ∴x． ∴． 【解析】 【分析】本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，利用平行线的性质导角是解题的关键． （1）考查平行线的“同位角相等”性质，结合已知和三角尺的角()，利用平角列等式计算角度； （2）考查平行线的“内错角相等”性质，通过作辅助线(过作平行线)，可证明角度和为； （3）考查平行线性质及角度等量代换，通过设未知数表示相关角度，推导的固定值，进而得出的固定值； （4）考查平行线的“同位角相等”、三角形内角和定理，通过设未知数表示，逐步推导与的表达式，最终确定数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）略 （4）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $