精品解析：山西省运城市绛县部分学校 2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末试卷 七年级数学 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 据中国载人航天工程办公室消息，2026年，中国载人航天工程将深入贯彻落实“十五五”规划部署，在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，努力为加快建设航天强国作出更大贡献．下列关于航天航空领域的图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 2. 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 116.64 金额 18 数量/升 6.48 单价/元 A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：C． 3. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平方差公式为，要求两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项：中相同，与互为相反数，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算； B选项：中相同，与互为相反数，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算； C选项：中相同，与互为相反数，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算； D选项：，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算． 4. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 5. 已知，则a，b，c的大小关系为:（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到a=（25）11=3211，b=（34）11=8111，c=（43）11=6411，从而可得出a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵a=（25）11=3211，b=（34）11=8111，c=（43）11=6411， ∴b＞c＞a． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，解答本题关键是掌握幂的乘方法则． 6. 下列说法正确的有：①全等三角形的周长相等；②面积相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等图形的形状和大小都相同（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和判定进行判断即可． 【详解】解：①全等三角形的周长相等，是真命题； ②面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题； ③全等三角形的对应角相等，是真命题； ④全等图形的形状和大小都相同，是真命题； 故选：A． 【点睛】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理等知识． 7. 下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：（1）守株待兔，可能发生也可能不发生，是随机事件； （2）拔苗助长不可能发生，是不可能事件； （3）海枯石烂不可能发生，是不可能事件； （4）日出东方一定发生，是必然事件； （5）心想事成可能发生也可能不发生，是随机事件； （6）水中捞月一定不可能成功，是不可能事件； 综上，随机事件共有2个． 8. 图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作，则，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是构造平行线． 9. 小王准备在红旗街道旁建一个送水站，向居民区提供纯净水，要使两居民区到送水站的距离之和最小，则送水站的位置应该在（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质——最短距离，作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点，通过轴对称的性质和两点之间线段最短，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ∴， ∴， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ∴， ∵， ∴点到两小区送水站距离之和最小， 故选：． 10. 如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若，，则等于________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 12. 近年，二维码逐渐成为了广大人民生活中不可或缺的一部分，如图是一个正方形二维码，小云在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，统计数据如下表，根据表中数据可估计点落在黑色阴影部分的概率为____；（结果精确到） 掷点次数 10 100 200 400 500 落在黑色阴影部分次数 5 59 121 241 301 落在黑色阴影部分频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据频率求概率． 根据表格作答即可． 【详解】解：根据表中数据可知，随着掷点次数增加，落在黑色阴影部分的频率逐渐趋向， 则点落在黑色阴影部分的概率为． 故答案为：． 13. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是______． 【答案】30 【解析】 【分析】如图，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝4，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°， ∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝DC=4， ∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝×BC×CD＋×AB×DE＝×9×4＋×6×4＝30， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DC是解此题的关键． 14. 按如图所示的程序计算y的值，若输入的x值为，则输出y的结果为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，确定出代入中计算的值即可． 【详解】解：输入的值为， ， 把代入中， 得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是流程图的有关知识，能准确读取程序框图的运算规律是解题的关键． 15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【详解】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为: 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． ， ，， ，， 原式． 17. 如图，直线与相交于点，为直线上一点（不与点重合）． （1）用直尺和圆规过点作直线，使成为的同位角（不写作法，保留作图痕迹）； （2）当时，______． 【答案】（1）见解析 （2）51 【解析】 【分析】（1）根据平行线的作法作图即可； （2）根据已知和对顶角相等可求得，再由补角的定义可得，再由两直线平行同位角相等，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作， 【小问2详解】 解：直线与相交于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：51． 【点睛】本题考查了基本尺规作图，平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 18. 3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，书店买进这些卡需要每张支付元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． （1）随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ （2）如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是根据概率公式求出相应的概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“勾股定理”的结果有2种， 随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是； 【小问2详解】 解：活动期间需支付明信片的费用为：（元）， 抽到“勾股定理”的总次数约为：（次）， 抽到“黄金分割、杨辉三角”的总次数约为：（次）， 抽到“七巧板”的总次数约为：（次）， 书店为此活动需支付的总费用估计是： （元）． 19. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图，四边形就是一个“格点四边形”． （1）在图中方格纸中画一个格点四边形使得它和四边形关于直线对称； （2）求图中四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，，的对应点，，，， 顺次连接即可； （2） 分成两个三角形的面积进行计算即可； 【小问1详解】 解：如图，四边形为所求； 【小问2详解】 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案的知识， 注意格点不规则图形面积的求解方法， 可以用“构图法”， 也可以用分割法 ． 20. 如图，在中，，D、E分别为、上一点，．若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边对等角，证明三角形全等，是解题的关键． 21. 我们给出以下两个定义： ①三角形； ②3×3的方格图． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）若，求的值． 【答案】（1）16；48 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到，根据同底数幂的乘法得到，进而可知，再根据新定义计算的值即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：依题意， ∴， ∴， ∴ ． 22. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】 （1）证明：如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）证明：如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 23. 综合与探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； （1）求证：； （2）试说明平分； （3）如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴平分（等腰三角形的三线合一） （3）不发生变化； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末试卷 七年级数学 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 据中国载人航天工程办公室消息，2026年，中国载人航天工程将深入贯彻落实“十五五”规划部署，在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，努力为加快建设航天强国作出更大贡献．下列关于航天航空领域的图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 116.64 金额 18 数量/升 6.48 单价/元 A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 3. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则a，b，c的大小关系为:（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的有：①全等三角形的周长相等；②面积相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等图形的形状和大小都相同（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 7. 下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 小王准备在红旗街道旁建一个送水站，向居民区提供纯净水，要使两居民区到送水站的距离之和最小，则送水站的位置应该在（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若，，则等于________． 12. 近年，二维码逐渐成为了广大人民生活中不可或缺的一部分，如图是一个正方形二维码，小云在二维码内随机掷点，经过大量重复试验，统计数据如下表，根据表中数据可估计点落在黑色阴影部分的概率为____；（结果精确到） 掷点次数 10 100 200 400 500 落在黑色阴影部分次数 5 59 121 241 301 落在黑色阴影部分频率 13. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是______． 14. 按如图所示的程序计算y的值，若输入的x值为，则输出y的结果为__________. 15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中x，y满足． 17. 如图，直线与相交于点，为直线上一点（不与点重合）． （1）用直尺和圆规过点作直线，使成为的同位角（不写作法，保留作图痕迹）； （2）当时，______． 18. 3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，书店买进这些卡需要每张支付元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． （1）随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ （2）如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 19. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图，四边形就是一个“格点四边形”． （1）在图中方格纸中画一个格点四边形使得它和四边形关于直线对称； （2）求图中四边形的面积． 20. 如图，在中，，D、E分别为、上一点，．若，求证：． 21. 我们给出以下两个定义： ①三角形； ②3×3的方格图． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）若，求的值． 22. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 23. 综合与探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； （1）求证：； （2）试说明平分； （3）如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $