25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的几何实际应用，通过“连续整数直角三角形”“矩形围绳面积”等问题导入，衔接方程解法，以面积公式、边长关系为支架，构建从基础到综合的知识脉络。 其亮点是以矩形、直角三角形等模型为载体，通过“问题-建模-求解-检验”链培养抽象能力和推理意识，如边框问题设元列方程并检验根的合理性。题型分层适配教学，易错总结强化应用意识，助力学生掌握建模方法，教师可高效开展同步教学与巩固。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月16日 25.3.1 实际问题与一元二次方程 -几何问题 第25章 一元二次方程 人教版九年级上册25.3.1实际问题与一元二次方程（几何问题）练习题（含解析） 本次练习题聚焦一元二次方程几何实际应用题型，贴合教材25.3.1小节核心内容，以矩形、正方形面积、边长变化、裁剪拼接等经典几何模型为主，题型由基础到综合，适配课堂同步练习与课后巩固。几何问题解题核心思路：结合几何图形面积、边长公式，找准变量关系，设未知数列出一元二次方程，求解后结合几何实际意义取舍根（边长、长度不能为负数，需符合图形实际尺寸）。 一、选择题（基础巩固） 1. 一个矩形的长比宽多2cm，面积为48cm²，设矩形的宽为x cm，则可列方程为（ ） A. $$x(x+2)=48$$ B. $$x(x-2)=48$$ C. $$2x+2(x+2)=48$$ D. $$x^2+2x-48=0$$ 2. 正方形边长增加3cm，面积增加45cm²，则原正方形的边长为（ ） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 二、填空题（能力提升） 3. 一个长方形草坪长15m，宽10m，现在草坪四周修筑宽度相同的小路，小路总面积为54m²，设小路宽度为x m，可列方程为________。 4. 已知直角三角形的两条直角边相差2cm，面积为24cm²，则较短直角边的长为________cm。 三、解答题（核心应用） 5. 一个矩形的周长为36cm，面积为80cm²，求这个矩形的长和宽。 6. 如图，一块矩形铁皮长20cm、宽15cm，在四个角各剪去一个相同的小正方形，剩余部分折成一个无盖长方体盒子，已知盒子底面积为126cm²，求剪去的小正方形的边长。 四、参考答案与详细解析 1. 答案：A 解析：设宽为$$x$$ cm，则长为$$(x+2)$$ cm，根据矩形面积=长×宽，列方程得$$x(x+2)=48$$。 2. 答案：B 解析：设原正方形边长为$$x$$ cm，列方程：$$(x+3)^2-x^2=45$$，展开化简得$$6x+9=45$$，解得$$x=6$$，即原边长为6cm。 $$(15+2x)(10+2x)-15\times10=54$$3. 答案： 解析：修筑小路后整体为大矩形，长$$(15+2x)$$m，宽$$(10+2x)$$m，小路面积=大矩形面积-草坪面积，代入数据即可列出方程。 4. 答案：6 解析：设较短直角边长为$$x$$ cm，较长边为$$(x+2)$$ cm，由直角三角形面积公式得：$$\dfrac{1}{2}x(x+2)=24$$，化简得$$x^2+2x-48=0$$，解得$$x_1=6，x_2=-8$$（边长为负舍去），故较短边长为6cm。 5. 解答： 设矩形长为$$x$$ cm，由周长为36cm，得宽为$$(18-x)$$ cm。根据面积列方程：$$x(18-x)=80$$。 整理得：$$x^2-18x+80=0$$，因式分解得$$(x-8)(x-10)=0$$，解得$$x_1=8，x_2=10$$。 根据长大于宽，得矩形长为10cm，宽为8cm。 6. 解答： 设剪去的小正方形边长为$$x$$ cm，则折成的长方体盒子底面长为$$(20-2x)$$ cm，宽为$$(15-2x)$$ cm。 根据底面积列方程：$$(20-2x)(15-2x)=126$$，展开整理得：$$2x^2-35x+87=0$$。 因式分解得$$(x-3)(2x-29)=0$$，解得$$x_1=3，x_2=14.5$$。 当$$x=14.5$$时，$$15-2x<0$$，不符合实际，舍去。故小正方形边长为3cm。 易错总结：几何应用题解方程后必须检验根的实际意义，负数根、超出图形尺寸的根全部舍去；修路、裁剪类题型要准确判断边长变化规律，避免漏乘2、错算长宽；牢记矩形、正方形、直角三角形核心面积公式，是列对方程的基础。 学习目标 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2.能从实际问题(如几何图形、存在性问题)中抽象出数量关系 3. 列出一元二次方程，并根据具体问题的实际 意义，检验方程的解是否合理. 学习目标 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有 多少个？ 例1 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5. 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m； 再由矩形的面积为 96m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 思考：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如： (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. (1)根据题意，得 2(x + ) = 40. 解得 = 12, = 8. (2)根据题意，得 (10 + x)(10 - x) = 96， 解得= 2, = -2. (1)的设元方法简单直接， (2)的设元方法求解简便. 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. 有单位的要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 遵循 “问什么答什么” 的原则. 列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下： 1.怎样用一根长为 40m 的细绳围成一个面积为 75m2 的矩形区域？能围成一个面积为101m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设围成的矩形区域一边长为x m，则其邻边长为(20-x)m. 依题意，得x(20-x)=75， 解方程，得=5，=15， 当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5. 所以，当相邻的两边长分别为15m和5m时，能围成一个面积为75m²的矩形区域. 1.怎样用一根长为 40m 的细绳围成一个面积为 75m2 的矩形区域？能围成一个面积为101m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：不能围成一个面积为101m²的矩形区域.理由如下： 设围成的矩形区域一边长为y m，则其邻边长为(20-y) m， 依题意，得y(20-y)=101， 整理，得y2-20y+101=0， 因为Δ=(-20)2-4×1×101=400-404=-4<0， 所以不能围成一个面积为101m²的矩形区域. 2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角？ D C A E B 1 4 解：存在. 设AE=x,则BE=4-x. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2=1+x2. 在Rt△BEC中，由勾股定理，得CE2=1+(4-x)2. 因为∠DEC=90°，所以DE2+CE2=DC2, 即1+x2+1+(4-x)2=42. 解得x1=2+，x2=2-. 所以在AB上存在点E，使得∠DEC是直角. 3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3 m，相邻的一边减少了2 m ，剩余部分是面积为30 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长为( ) A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m C 解析：设正方形空地的边长为x m. 根据题意，得(x-2)(x-3)=30. 解得x1=8，x2=-3（舍去）， 所以原正方形空地的边长为8 m. 应用1 边框问题 1. 软笔书法承载着中华五千年 的灿烂文化，如图①是李叔叔的软笔作 品，是长，宽 的矩形.为了 #1.1 美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边 衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图 ②，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变成原作品的 1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？#1 中考考法 12 【解】 设上下边衬的宽度是 ，则左 右边衬的宽度是 ， 依题意得 , 则 , 解得, （不合题意,舍去）. 因此,此作品上下边衬的宽度是 . 中考考法 13 应用2 靠墙问题 2.[2026淮南期末] 园林部门计划在某 公园建一个长方形苗圃 .苗圃的 一面靠墙（墙最大可用长度为 ） ，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开， 分成两个区域，并在如图所示的两处各留 宽的门 （门不用木栏），建成后所用木栏总长为 ，设苗圃 的一边的长为 . 中考考法 14 （1）的长为__________（包含门宽，用含 的代数式表 示） 中考考法 15 （2）若苗圃的面积为，求 的值； 【解】根据题意得 ， 即， , ， 解得， . 当时， ， 当时， , 不符合题意,舍去， . 中考考法 16 （3）苗圃的面积是否可以达到 ，请说明理由. 中考考法 17 不可以达到 .理由如下： 若可以达到，则 ， 化简得 . ， 方程 无解. 苗圃的面积不可以达到 . 中考考法 图形、面积问题 几何图形中的面积问题：面积公式 (不规则图形采用平移或割补进行转化) 直角三角形中的边长问题：勾股定理 课堂小结 $