26.4第一课时：实际问题与二次函数(1)学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦人教版九年级上册26.4“实际问题与二次函数(1)”，核心内容为运用二次函数解决实际最值问题。课堂导入通过知识预备环节，复习二次函数的图象、对称轴、顶点坐标及最值条件，搭建已学二次函数性质与实际问题建模的学习支架。 资料特色在于以跳水运动、矩形菜园等生活实例为载体，引导学生抽象变量关系构建函数模型，培养抽象能力与模型意识。注重自变量取值范围分析和规范运算，提升运算能力与推理意识，课堂检测分层设计，助力学生用数学语言解决实际问题，发展应用意识。

人教版九年级数学上册第26章二次函数 26.4第一课时：实际问题与二次函数(1)学案 一、素养目标 1.能从实际问题中找出变量与对应关系，抽象构建二次函数数学模型； 2.熟练运用二次函数性质求解最值，规范运算，留意自变量取值范围； 3.学会用函数知识分析、解决生活最值类实际问题，提升解题实践能力. 二、教学重点、难点 重点：探究利用二次函数的最值问题解决实际问题的方法. 难点：分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 三、教学过程 知识预备 1.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条_______，它的对称轴是____________，顶点坐标是_____________.当a＞0时，抛物线开口向_____，有最_____点，即当x＝_____时，y最小值＝___ ___；当a＜0时，抛物线开口向_____，有最_____点，即当x＝___ ___时，y最大值＝___ ___. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由什么决定？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－4.9t2＋2.8t＋11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？ (结果保留小数点后一位.) 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值 问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 解：对于二次函数h＝－4.9t2＋2.8t＋11， 当t＝＝≈0.3时， h有最大值＝＝11.4 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 函数h＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象(如图)，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ ( 运动员起跳后大约 0 . 3s 时，其重心达到最高点，最大高度为 11 . 4m . 起跳后大约 1 . 8s 时，其重心落到水面上. ) 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为xm，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为 (20－2x)m， 矩形菜园的面积 S＝x(20－2x) ( 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义. 如菜园的边长应为正 数，即 x ＞ 0 ，且 20 － 2 x ＞ 0 ，于是自变量 x 的取值范围是 0 ＜ x ＜ 10 . )即 S＝－2x2＋20x (0＜x＜10) 当x＝＝＝5时，S有最大值 ＝＝50 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2. 练习 1.如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 2.从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为 h＝30t－5t2 (0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 参考答案： 1、垂直于墙长度6m，平行于墙8m,面积最大为48cm² 2、小球运动的时间3秒时，小球最高小球运动中的最大高度是45m 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课围绕二次函数解决实际最值问题展开教学，引导学生建立函数模型分析数量关系。课堂上多数学生能掌握列式求解的基本步骤，但部分学生难以从实际情境中提炼变量关系，审题建模能力偏弱。同时解题计算失误、忽略自变量取值范围的问题较为突出。后续教学会结合生活实例简化题意，强化建模思路训练，针对性纠错巩固细节，分层设计习题，帮助学生切实学会用二次函数解决实际问题。 6、 课堂检测 1、用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？ 2、 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线AC的解析式； （2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标； （3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标． 参考答案： 1、解：矩形场地的周长是60m，一边长为l m，所以另一边长为(-l)m.场地的面积 S=l(30-l) (0＜l＜30)即 S=-l2+30l (0＜l＜30) 因为，a=-1＜0，所以，当 l===15时，S 有最大值==225.也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 2、解：设直角三角形的一边为x，则另一边为(8-x)，面积为y.则y与x的函数关系式为 y=x(8-x) (0＜x＜8) 即 y=-x2+4x (0＜x＜8) ∵ a=-＜0，∴ 当x==4时，y最大=8. 答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8 3、解：（1）当y=0时，﹣x2﹣x﹣2=0， 解这个方程，得：x1=﹣6，x2=﹣1， ∴点A（﹣6，0），B（﹣1，0）， 当x=0时，y=﹣2， ∴C（0，﹣2）， 设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0）， 将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：， ∴， ∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；（3分） （2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E， 设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2）， ∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a， ∵AO=6，OC=2， ∴AC===2， ∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO， ∴△PDE∽△AOC， ∴=， ∴PD=PE==﹣﹣， 对称轴是：a=﹣3， ∵﹣， ∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2）， 如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长， ∴CF===3， ∴sin∠OCF==， 点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H， 由△CHM∽△COF，可知：=， ∵t==PM+MH， 如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小， 此时，过P作PK⊥y轴于K， 由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分） （3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H， ∵四边形ACSO'是菱形， ∴AO'=AC=SC，AO'∥SC， ∴∠AMC=∠BCS， ∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS， ∵∠MC'O'=∠BCO， ∴∠AO'H=∠OCS， ∵∠AHO'=∠CGS， ∴△O'AH≌△CSG， ∴AH=SG，O'H=CG， Rt△OCB中，sin∠OCB==， ∴sin∠BC'H==， 设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x， ∴AH=SG=5﹣x， ∵O'C'=OC=2， ∴C'H=OG=2x， 由勾股定理得：AC2=O'A2， ∴AO2+OC2=O'H2+AH2， ∴=（5﹣x）2+（2+2x）2， 解得：x=， 当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=， 当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=， 此时S的坐标为：或； ②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G， ∵SE∥CF，EC∥SF， ∴四边形SECF是平行四边形， ∴∠ESF=∠ECF， ∵四边形ASO'C是菱形， ∴∠ASO'=∠ACO'， ∴∠ASH=∠O'CG， 同理得：△ASH≌△O'CG， ∴AH=O'G，SH=CG， sin∠GCB'==， 设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x， ∴O'G=1+x， 由勾股定理得：AC2=O'C2， ∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2 解得：x=， 当x=时，SH=CG=2x=， OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=， 当x=＜0时，不符合题意，舍去， 此时，点S的坐标为：（，）； ③如图5，AC为对角线时，同理可得S（，） ④如图6，过S作SE⊥x轴于E，延长B'O'交y轴于H，延长O'C'交x轴于G， 设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x， ∴O'G=O'H=1+x， ∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS， 易得△SEA≌△CHO'， 同理可得S（，）； ⑤如图7，过S作SH⊥x轴于H，过O'作O'E⊥SH于E，延长C'O'交x轴于G， 设OG=x，则BG=1+x， ∵O'B'∥BG，∴， ∴， ∴C'G=2（1+x）， ∴O'G=C'G﹣C'O'=2x， ∴AG=1+x， 同理得：62+（2）2=（1+x）2+（2x）2， 解得：x1=，x2=（舍）， 可得S； 综上所述，S的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分） 　 学科网（北京）股份有限公司 $