26.3 第2课时 求一元二次方程的近似（导学案） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

  第26章   二次函数

26.3  二次函数与一元二次方程

第2课时 求一元二次方程的近似解

【学习目标】

1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集；

2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.

学习重点：会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.

学习难点：通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用

【复习导入】

问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 和二次函数

 y = ax2 + bx + c  (a≠0) 之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?

                     

 

                      

【合作探究】

探究点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

典例精析

例1  利用函数图象求方程x2+2x-1=0的实数根(结果保留小数点后一位).

 

分析：一元二次方程 x²－2x－2=0 的根就是抛物线 y=x²－2x－2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法归纳:   一元二次方程的图象解法

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

(1)用描点法作二次函数的图象；

(2)观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；

由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)；

(3)确定方程的近似解.

由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.

 

【练一练】1.  已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)

A．x1≈－2.1，x2≈0.1    

B．x1≈－2.5，x2≈0.5

C．x1≈－2.9，x2≈0.9    

D．x1≈－3，x2≈1

 

 

方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．

 

 

探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)

问题1  函数y=ax2+bx+c的图象如图①，那么：

方程ax2+bx+c=0的根是             ；

不等式ax2+bx+c>0的解集是             ；

不等式ax2+bx+c<0的解集是             .

      

图①                        图②

拓广探索：

函数y=ax2+bx+c的图象如图②，那么：

方程ax2+bx+c=2的根是 ______________；不等式ax2+bx+c>2的解集是___________；

不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.

 

问题2  如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有   个公共点，坐标是       ；方程ax2+bx+c=0的根是           . 

 

 

 

 

 

 

问题3  如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c<0的解集是什么？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系：

 

 

试一试：利用函数图象解下列方程和不等式.

(1) ①－x2+x+2=0；   ②－x2+x+2>0；   ③－x2+x+2<0.

(2) ①x2－4x+4=0；   ②x2－4x+4>0；   ③x2－4x+4<0.

(3) ①－x2+x－2=0；  ②－x2+x－2>0；  ③－x2+x－2<0.