26.3 第2课时 求一元二次方程的近似（导学案） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程的联系，核心内容为用二次函数图象求一元二次方程近似解及一元二次不等式解集。课堂导入通过复习上节课两者关系，提出“如何用二次函数图象求方程根”的问题，搭建旧知到新知的学习支架。 以数形结合思想为主线，通过典例精析、问题探究和表格归纳，培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）。习题设计有层次，从基础练到拓广探索，帮助学生用数学语言表达关系，提升应用意识与实践能力。

第26章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 第2课时 求一元二次方程的近似解 【学习目标】 1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集； 2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用. 学习重点：会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 学习难点：通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用 【复习导入】 问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 和二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢? 【合作探究】 探究点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 典例精析 例1 利用函数图象求方程x2+2x-1=0的实数根(结果保留小数点后一位). 分析：一元二次方程 x²－2x－2=0 的根就是抛物线 y=x²－2x－2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 方法归纳: 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1)用描点法作二次函数的图象； (2)观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)； (3)确定方程的近似解. 由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解. 【练一练】1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A． x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图①，那么： 方程ax2+bx+c=0的根是 ； 不等式ax2+bx+c>0的解集是 ； 不等式ax2+bx+c<0的解集是 . 图① 图② 拓广探索： 函数y=ax2+bx+c的图象如图②，那么： 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________；不等式ax2+bx+c>2的解集是___________； 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 问题2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 个公共点，坐标是 ；方程ax2+bx+c=0的根是 . 问题3 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c<0的解集是什么？ 要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系： 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 a>0 二次函数y=ax2+bx+c 与x轴的交点情况 ____________ ____________ ____________ 不等式ax2+bx+c>0 的解集 x<x1或x>x2 x ≠ x1 的一切实数 所有实数 不等式ax2+bx+c<0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 a<0 二次函数y=ax2+bx+c 的图象 与x轴的交点情况 ____________ ____________ ____________ 不等式ax2+bx+c>0 的解集 不等式ax2+bx+c<0 的解集 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式. (1) ①－x2+x+2=0； ②－x2+x+2>0； ③－x2+x+2<0. (2) ①x2－4x+4=0； ②x2－4x+4>0； ③x2－4x+4<0. (3) ①－x2+x－2=0； ②－x2+x－2>0； ③－x2+x－2<0. 当堂反馈 1.根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c －0.06 －0.02 0.03 0.09 可知方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c为常数)的一个解x1的范围是（ ） A. 3＜x1＜3.23 B. 3.23＜x1＜3.24 C. 3.24＜x1＜3.25 D. 3.25＜x1＜3.26 2.小颖用计算器探索ax2 + bx + c = 0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x = －3.4，则方程的另一个近似根(精确到 0.1 )为(　　) A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 3.用图象法求一元二次方程x²+x-1=0 的近似根（精确到0.1）. 4.已知二次函数的图象，利用图象回答问题： (1)方程的解是什么？ (2) x取什么值时，y>0 ？ (3) x取什么值时，y<0 ？ 参考答案 【合作探究】 探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 例1 解：画出函数 y=x²-2x-2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间. 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.8或-0.7，利用计算器进行探索，见下表： x ··· -0.8 -0.7 ··· y ··· 0.24 -0.11 ··· 观察上表可以发现，当x分别取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正，可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.8或x=-0.7都符合要求.但当x=-0.7时更为接近0.故x1≈-0.7. 同理可得另一近似值为x2≈2.7. 练一练1. B 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 问题1 x1=-1,x2=3 x＜-1或x＞3 -1＜x＜3 拓广探索： x1=-2,x2=4 x＜-2或x＞4 -2＜x＜4 问题2 1 （2，0） x1 = x2 = 2 问题3 0 （1）当a>0时， ax2+bx+c<0无解;（2）当a＜0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 归纳总结： 表1：有两个交点 有一个交点 无交点 x<x1或x>x2 x ≠ x1或x ≠ x2 全体实数 x1<x<x2 无解 无解 表1：有两个交点 有一个交点 无交点 x1<x<x2 无解 无解 x<x1或x>x2 x ≠ x1或x ≠ x2 全体实数 试一试：解：（1）①x1=-1 , x2=2 ②-1 ＜ x＜2 ③x＜-1或 x＞2 （2）①x1= x2=2 ②x≠2的一切实数 ③ x无解 （3）①x无解 ②x无解 ③ x为全体实数 当堂反馈 1.C 2.D 3.解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为 -1.6和0.6.即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 4.解：（1）x1=2，x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $