2.4 有理数的乘除运算（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制六年级上册

**基本信息** 本同步练习通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从单一运算到实际问题解决的知识进阶，强化运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|有理数乘除法则、倒数概念|选择填空为主，考查符号判断（如第1题）、基本运算（如第19题）| |技能应用层|多个有理数运算、混合运算、实际应用|结合生活情境（如微信提现手续费第8题），设置多步计算题（如第18题）| |综合拓展层|运算律应用、自定义运算、数轴结合|引入新定义运算（如第64题）、数轴综合题（如第70题），培养创新意识|

2.4 有理数的乘除运算 类型一、有理数的乘法运算 1．（2025·浙江杭州·三模）下列结果中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负数的概念，绝对值、相反数及有理数的乘法，掌握这些知识是关键；分别计算各选项的值，判断是否为负数即可． 【详解】解：A. ：负负得正，结果为3，是正数； B. ：先计算绝对值，再取负号，结果为，是负数； C. ：直接相乘，结果为12，是正数； D. ：任何数与0相乘均为0，既不是正数也不是负数； 综上，只有选项B的结果为负数； 故选：B． 2．（24-25九年级下·吉林长春·期中）对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，根据题意，由，可判断a，b异号，然后根据有理数的乘法运算法则，有理数的加法运算法则判断即可． 【详解】解：∵， ∴a，b异号， 当正数的绝对值较大时，如，则，此时选项A正确； 当a，b的绝对值相等时，如，则，此时选项B正确； 当负数的绝对值较大时，如，则，此时选项C正确； 由于题目未限定a，b的具体值，上述三种均可能出现，因此无法确定的正负，故选项D正确． 故选：D． 3．（2025·广东·三模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键，根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 4．（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 5．（2025·吉林长春·二模）若的运算结果为正数，则内的数字可以是（　　） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，大于0的数为正数，先把每个选项代入，再算出的结果，然后与0进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 6．（2025·四川资阳·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法和乘法运算，根据绝对值的意义及有理数的加法和乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、若，则，该选项运算错误，不合题意； 、若， ，则或，该选项运算错误，不合题意； 、若， 则为任意有理数，该选项运算正确，符合题意； 、若  则，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图，一个正方体的平面展开图，若折成正方体后，每对相对面上标注的值的和均相等，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，有理数的乘法运算，根据相对面的确定方法：同行隔一个，异行Z字形，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：24． 8．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）李叔叔是微信的新用户，他首次从微信钱包中提现元到银行卡，需要支付 元手续费． 每位微信用户终身享有元免费提现额度，超过部分收取的手续费． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： （元）， 故答案为：． 类型二、多个有理数的乘法运算 9．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 10．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）在下列说法：①如果，则有；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积为负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若是正数，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（       ） A．个 B．个 C． D．0个 【答案】D 【分析】根据相反数的定义，有理数的乘法法则，绝对值的定义解答即可．本题考查了绝对值，相反数的定义及有理数的乘法法则． 【详解】解：①如果，则有；若，则有，故①说法错误； ②若干个有理数相乘（0除外），如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②说法错误； ③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或0，故③说法错误； ④若，则m、n互为相反数,故④说法错误． ∴正确结论的个数只有0个， 故选：D． 11．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解． 【详解】解：由已知得， 故选C． 12．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 13．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了有理数的乘法及有理数大小比较，关键要明确当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，且正数大于一切负数．找积最大的应取偶数个负数，据此分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴所得的积中最大的是30． 故答案为：30． 16．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数的积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，求一个数的绝对值，有理数比较大小，根据绝对值的意义和有理数比较大小的方法得到绝对值小于的整数有，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：绝对值小于的整数有， ∴绝对值小于的所有整数的积是， 故答案为：． 17．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法符号法则，三个数相乘结果为正值，当且仅当负数的个数为偶数． 【详解】解：原式为； 1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数； 2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）； 3. 选项中只有为负数，满足条件； 4. 验证：，符合题意． 故选：D． 18．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 类型三、有理数的除法 19．（2025·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据除法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 20．（2025·江苏南通·一模）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，掌握运算法则是解题的关键． 运用有理数除法的规则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 21．（2025·湖南·模拟预测）下列各式的值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加减乘除运算，有理数比较大小，算出每个选项的值，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴值最大的是， 故选：C． 22．（2025·江苏南京·二模）下列计算结果比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减乘除，有理数的大小比较，有理数的加减乘除，有理数的大小比较法则即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 23．（2025·江苏扬州·二模）算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，分别填入加减乘除符号，计算出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 24．（19-20七年级上·陕西汉中·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 类型四、倒数 25．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）的倒数是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解:的倒数是． 故选：D． 26．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）的倒数是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查倒数的定义．根据倒数的定义作答即可． 【详解】解：将转化为分数形式为，则其倒数为 故选：C． 27．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 28．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的倒数是，且， ∴， ∴的相反数是4， 故选：A． 29．（2025·广东清远·三模）的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，倒数的定义．先计算，再利用“乘积为的两个数互为倒数”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的倒数是． 故选：C． 30．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值和化简多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可． 【详解】解：， ∴与的关系是相等． 故选：A． 31．（2025·安徽合肥·三模）互为倒数．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的乘积等于1即可求解． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， 故选：C． 32．（23-24六年级上·上海奉贤·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 类型五、乘除法的实际应用 33．（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查小数乘法估算的实际应用及方法，利用面积乘每平方米的单价，计算时把小数看作与它相近的整数计算即可，注意估算的时候估大一些． 【详解】解：(元) ， 因此准备820元就够了， 符合实际需要的估算方法是选项D． 故选：D． 34．（24-25六年级下·上海·阶段练习）小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 35．（2024七年级上·四川成都·专题练习）某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤 天． 【答案】6 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，得到每5天出勤1天，即可满足题意，用总天数除以5，进行求解即可． 【详解】解：（天）； 即：出勤1天，接下来缺勤4天，满足题意， （天）； 故答案为：6． 36．（24-25六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术 克． 【答案】63 【分析】本题考查了有理数的乘除实际应用，正确理解题意是解题的关键． 先算出一副“芩桂术甘汤”药方的重量，由总重量可得有几副，再乘以每副白术的重量即可． 【详解】解：（克）， 故答案为：63． 37．（24-25六年级下·上海·阶段练习）某校六年级学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和一辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生110人，求每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【答案】每辆小客车和每辆大客车各能坐名，名学生 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据用6辆小客车和两辆大客车每次可运送学生数减去1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生去除以多的小客车数得到每辆小客车能坐人数，然后计算每辆大客车能坐人数解答即可． 【详解】解：每辆小客车能坐人数为名， 每辆大客车能坐人数为名， 答：每辆小客车和每辆大客车各能坐名，名学生． 38．（2025·北京大兴·二模）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 【答案】 1200 1300 【分析】本题考查了最优化问题中的费用问题．尽可能安排三人间，剩余人数再用单人间或双人间补足．通过调整三人间的数量，找到总费用最低的组合即可． 【详解】解：（1）单人间120元/人天；双人间75元/人天；三人间元/人天； ， 则要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间， 女团员18名，， 元， 所有女团员每天住宿的费用最少为1200元； 故答案为：1200； （2）男团员19名，余1人， 方案1：6个三人间，1个单人间，元， 方案2：5个三人间，2个双人间，元， ， 所有男团员每天住宿的费用最少为1300元； 故答案为：1300． 39．（24-25七年级上·广东湛江·期中）今年杜大伯在自家种植的地里采摘了7筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 图片 正（负）数 (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少千克？ (2)如果每千克白萝卜按1.2元出售，一共能卖多少钱？ 【答案】(1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重5.9千克 (2)一共能卖204元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用： （1）利用超出质量最大减去超出质量最小即可； （2）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上7筐萝卜的标准质量即可求出总质量，再乘以萝卜的单价解答即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：质量最大的一筐比质量最小的一筐重5.9千克． （2）解： （元）， 答：一共能卖204元． 40．（2025·河北保定·一模）嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”． (1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少． (2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）． ①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果． 【答案】(1) (2)①14分；②有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）由题意得到，即可得到答案； （2）①根据题意列出计算式进行计算即可； ②原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分，即可得到答案． 【详解】（1）解：． 故最大块的边长比最小块多． （2）解：① （分）； ②解：原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分， 有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板． 类型六、有理数的四则混合运算 41．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 42．（24-25六年级下·江苏南京·期末）计算下面各题． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)610 (2)26.1 (3) (4) (5)4 (6)３ 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算除法，再计算减法即可； （2）原式先计算括号内的减法，再计算乘法即可； （3）原式把除法转换为乘法，再约分可得结论； （4）原式先计算括号内的除法，再把括号展开，最后计算减法即可； （5）原式运用乘法分配律将括号展开，再运用加法结合律进行计算即可； （6）原式分别计算括号内的，再进行除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 43．（2025·河北唐山·二模）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； (2)将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列式是关键． （1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可；②根据题意得到摸出的四个数字为，5，2，．再求和即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ②∵摸出的四个数字的积不为0， ∴摸出的四个数字为，5，2，． （2）当摸出的四个小球上的数字为，0，5，2时，计算结果最小， 即，即计算结果的最小值为． 44．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2)15 (3)50 (4) (5) (6)3 (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数乘法与加减法的混合运算，熟练掌握有理数的加减与乘法的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数加法运算律计算即可； （4）现将有理数的减法转化为加法计算，再运用加法运算律计算即可； （5）运用有理数乘法的运算律计算即可； （6）先计算绝对值内的加法，再进行有理数的加减混合运算即可； （7）根据先乘除再加减的运算顺序计算即可； （8）运用分配律计算即可； （9）先去小括号，再去中括号，最后根据有理数的加法运算法则及加法运算律计算即可； （10）运用有理数的分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 类型七、乘除法的混合运算 45．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算的应用，先求出房间的面积，再用房间的面积除以边长为80厘米的方砖面积即可得到答案． 【详解】解：， 所以需要54块， 故选：D． 46．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 47．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤． 【详解】解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意； 选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意； 选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法； 故选：D． 48．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．若只用到达，则平均速度为 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，根据路程等于速度乘以时间求出甲、乙两地的距离，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案． 【详解】解；， 所以平均速度为， 故答案为：120． 49．（2025六年级下·广东汕头·专题练习）一辆变速自行车前轮有3种不同的齿数，后轮有4种不同的齿数，一共有 种组合，如果前轮有32齿，后轮有20齿，那么前轮转一圈，后轮转 圈． 【答案】 12 1.6 【分析】本题考查有理数的乘除，理解题意是解答的关键．根据每个前齿轮与4中后齿轮有4种搭配方法求解即可；再根据前后轮的齿数与其转的圈数的乘积相同列算式求解即可． 【详解】解：由题意，一共有（种）组合； 若前轮转一圈，则后轮转（圈）， 故答案为：12；1.6． 50．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 51．（2025七年级下·全国·专题练习）一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作了20天．提高工作效率后，每天可多加工20套．还要加工多少天才能完成任务？ 【答案】还要加工4天才能完成任务 【分析】本题属于工程问题，需通过计算已完成的量和剩余量，结合提高后的工作效率，求出所需天数．解题的关键点在于准确计算剩余工作量及提高后的效率，并正确应用除法运算得出天数． 【详解】解：（天）． 答：还要加工4天才能完成任务． 52．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 53．（24-25七年级上·四川自贡·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位:千米）:， ，， ， ，， ，. (1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位? (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远? (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? 【答案】(1)B地在A地的西边4千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充5升油 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将所给的路程记录相加，如果结果为正则B地在A地的东边，如果结果为负则B地在A地的西边，如果结果为0则B地与A地重合； （2）分别算出每次航行后离出发点的位置即可得到答案； （3）先求出总路程，再求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解： （千米）， ∴B地在A地的西边4千米； （2）解：第一次航行后距离A地千米； 第二次航行后距离A地（千米）； 第三次航行后距离A地（千米）； 第四次航行后距离A地（千米）； 第五次航行后距离A地（千米）； 第六次航行后距离A地（千米）； 第七次航行后距离A地（千米）； 第八次航行后距离A地（千米）； ∴第四次航行后距离A地千米，冲锋舟离出发点A最远处， ∴救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米. （3）解： （升）， （升）． ∴冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充5升油． 类型一、乘法运算律的应用 54．（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价． 【详解】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意； 选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； 选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 55．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算与技巧，观察算式中的三个分数，发现第二个分数和第三个分数相乘时，分母和分子可以约分，从而简化计算．此时需要运用乘法结合律，将后两个分数先结合相乘即可． 【详解】解：原式为， 根据乘法结合律，将后两个分数结合：， 约分后得：， 通过改变乘法的结合顺序简化了计算，因此使用乘法结合律最简便， 故选：D． 56．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 57．（24-25八年级下·宁夏银川·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算律计算即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 58．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】原式 ． 59．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了百分数的运算，分数的混合运算以及小数的运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算括号里的除法，再计算括号里的加法，最后计算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 60．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 61．（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 【答案】；； 【分析】本题考查乘法交换律和结合律、拆分计算法、通过约分简化分数乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据乘法交换律把变成，再按顺序计算；②把改写成，然后根据加法交换律，加法结合律，把变成，再按顺序计算；③根据乘法交换律把变成，再按顺序计算． 【详解】解：① ② ③ ． 62．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据减法的性质把原式化为进行简算； （2）根据乘法分配律：，把化为，再根据加法结合律化为进行简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （4）根据分数的拆分把原式化为，通过消项简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 63．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 类型二、有理数的自定义运算 64．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）小明与小刚规定了一种新运算“”：若a、b是有理数，则．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 【答案】12 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：12． 65．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定运算“★”是则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义及有理数的除法及减法运算，根据新定义列出式子，根据运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 66．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 根据新定义列算式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 67．（2024七年级上·四川成都·专题练习）设a，b都表示数，规定，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，根据新定义进行两步有理数混合运算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 68．（2025·河北·模拟预测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)，0 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义先计算出，再计算，最后再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，0； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 69．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 类型三、与有理数乘除法有关的数轴问题 70．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 71．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 72．（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，理解中点和数轴的定义是解答关键． 根据中点求出点表示的数，再利用数轴的定义求解． 【详解】是线段的中点， 点表示的数是， 原点位于线段上，且靠近点． 故选：D． 73．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【详解】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 74．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ①， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 75．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法：①则一定是负数；②的最大值是3；③2019个有理数相乘，其中负数有1949个，那么所得的积为负数；④满足的整数的值有7个．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值性质、有理数乘法法则及含绝对值方程解的讨论．根据这些知识逐项分析即可． 【详解】解：① 当时，，此时a为正数，故①错误； ②，故的最大值为3，当且仅当时取到最大值3，故②正确； ③ 2019个有理数相乘，若存在0则积为0，否则负数个数为奇数（1949个）时积为负；但题目未排除0的情况，故③错误； ④ 方程表示a到2和的距离之和为6；因2与相距6，故a在时等式成立，整数解为共7个，故④正确； 综上，正确的结论有②和④，共2个， 故选B． 76．（24-25七年级下·全国·假期作业）如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，倒数的定义，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）因为，，与互为倒数，所以的商和的商互为倒数，而C的倒数是，由此可得答案． （2）先将除数化成假分数，分子用相乘的形式表示，即，再把除法变成乘法求解即可． 【详解】解：（1）如果“”，那么“”； （2） ， 故答案为：，． 77．（24-25七年级下·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解： ； 故选B． 78．（2025·浙江杭州·二模）如图，在数轴上点表示数，点表示数1，O是原点，点表示的数是．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，数轴点之间的距离，根据各个选项给出的的取值范围，得到Q所表示的数的取值范围，即可解答，熟知数轴上的点的距离计算是解题的关键． 【详解】解：A、当时， Q所表示的数为，，故A正确，符合题意； B、当时，Q所表示的数为，此时，故B不正确，不符合题意； C、当时，Q所表示的数为，此时，故C不正确，不符合题意； D、若，Q所表示的数为，此时，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 79．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 80．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，把169分解成四个整数的乘积形式，从而确定代表的数即可得到答案. 【详解】解：∵，且是互不相等的整数， ∴代表的是这四个数， ∴， 故答案为：． 81．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 82．（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． (1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． (2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 【答案】(1)当原点与点重合时，；当原点与的中点重合时， (2)的值将会增大3，原点在点处 【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的加减运算，数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）求出当原点与点重合时，点A、B、C表示的数，再求出p的值；先求出原点与的中点重合时，点C表示的数，然后再求出p的值即可； （2）根据数轴特点，得出原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，根据时，得出p增大了6，从而得出原点从与点重合的位置，向左移动，能得到． 【详解】（1）解：∵当原点与点重合时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0， ∴， 当原点与的中点重合时，点，表示的数为一对相反数， ∴此时点表示的数为， ∴． （2）解：原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，则的值将会增大3， 当时，， ∵， 原点从与点重合的位置，向左移动，能得到， 此时原点在点处． 83．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）表示的点到表示的点距离之和，共有个点，是奇数个， ∴当时，有最小值， ． 84．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 85．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是 ． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查数轴概念，相反数的定义，根据题意得到判断①，根据，判断②，根据特殊值判断③，根据相反数的定义，表示出，结合，判断④即可． 【详解】解：①∵，即 ∴①成立，故正确； ②∵ ∵， 又∵在线段上取点，其表示的数为， 在线段上取点，其表示的数为 ∴，成立，故②正确 ③若，而，当时，不能找到， ∴当时，对于任意的点，不一定找到点，使得，故③不正确． ④如图，设点表示的数即为，则， 将线段向右平移1个单位得到，则点与点重合，则表示的数为， 对于任意的点，都在上，则对任意的表示的点都在上 表示的点都在上， ∵当时，即，则 ∴在上总能找到点表示，即，即 ∴当时，对于任意的点，总能找到点，使得，故④正确． 故答案为：①②④． 86．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 87．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①3；1；②1275 【分析】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 当，均在上时，取最小值，且最大值为1； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 试卷第2页，共53页 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 有理数的乘除运算 类型一、有理数的乘法运算 1．（2025·浙江杭州·三模）下列结果中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·吉林长春·期中）对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 3．（2025·广东·三模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 5．（2025·吉林长春·二模）若的运算结果为正数，则内的数字可以是（　　） A． B．0 C．3 D．5 6．（2025·四川资阳·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A．若，则 B．若， ，则 C．若， 则为任意有理数 D．若  则 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图，一个正方体的平面展开图，若折成正方体后，每对相对面上标注的值的和均相等，则 ． 8．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）李叔叔是微信的新用户，他首次从微信钱包中提现元到银行卡，需要支付 元手续费． 每位微信用户终身享有元免费提现额度，超过部分收取的手续费． 类型二、多个有理数的乘法运算 9．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 10．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）在下列说法：①如果，则有；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积为负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若是正数，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（       ） A．个 B．个 C． D．0个 11．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 12．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 13．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算： ； 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 16．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数的积是 ． 17．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 18．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 类型三、有理数的除法 19．（2025·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 20．（2025·江苏南通·一模）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C． D． 21．（2025·湖南·模拟预测）下列各式的值最大的是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·江苏南京·二模）下列计算结果比小的是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·江苏扬州·二模）算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 24．（19-20七年级上·陕西汉中·期中）计算： ． 类型四、倒数 25．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）的倒数是（    ） A．6 B． C． D． 26．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）的倒数是（    ） A． B． C．2 D．1 27．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 28．（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 29．（2025·广东清远·三模）的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 30．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 31．（2025·安徽合肥·三模）互为倒数．则（   ） A． B． C． D． 32．（23-24六年级上·上海奉贤·期中）的倒数是 ． 类型五、乘除法的实际应用 33．（24-25六年级下·江苏南京·期末）实验小学要给报告厅的小舞台铺上地垫，舞台的面积是40.8平方米，地垫的单价为19.9元/平方米，一共要准备多少元？下面符合实际需要的估算方法是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25六年级下·上海·阶段练习）小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 35．（2024七年级上·四川成都·专题练习）某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤 天． 36．（24-25六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术 克． 37．（24-25六年级下·上海·阶段练习）某校六年级学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和一辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和两辆大客车每次可运送学生110人，求每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 38．（2025·北京大兴·二模）学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 39．（24-25七年级上·广东湛江·期中）今年杜大伯在自家种植的地里采摘了7筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 图片 正（负）数 (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少千克？ (2)如果每千克白萝卜按1.2元出售，一共能卖多少钱？ 40．（2025·河北保定·一模）嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”． (1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少． (2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）． ①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果． 类型六、有理数的四则混合运算 41．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 42．（24-25六年级下·江苏南京·期末）计算下面各题． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 43．（2025·河北唐山·二模）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； (2)将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 44．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 类型七、乘除法的混合运算 45．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 46．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 47．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 48．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．若只用到达，则平均速度为 ． 49．（2025六年级下·广东汕头·专题练习）一辆变速自行车前轮有3种不同的齿数，后轮有4种不同的齿数，一共有 种组合，如果前轮有32齿，后轮有20齿，那么前轮转一圈，后轮转 圈． 50．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 51．（2025七年级下·全国·专题练习）一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作了20天．提高工作效率后，每天可多加工20套．还要加工多少天才能完成任务？ 52．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 53．（24-25七年级上·四川自贡·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位:千米）:， ，， ， ，， ，. (1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位? (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远? (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? 类型一、乘法运算律的应用 54．（24-25七年级下·全国·假期作业）张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 55．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算时，用（ ）计算比较简便． A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 56．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 57．（24-25八年级下·宁夏银川·期中） ． 58．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 59．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 60．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 61．（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ 62．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 63．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 类型二、有理数的自定义运算 64．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）小明与小刚规定了一种新运算“”：若a、b是有理数，则．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 65．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定运算“★”是则 ． 66．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 67．（2024七年级上·四川成都·专题练习）设a，b都表示数，规定，则 ． 68．（2025·河北·模拟预测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)计算：． 69．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 类型三、与有理数乘除法有关的数轴问题 70．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 71．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 72．（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 73．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 74．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； 对称中心为， ①， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 75．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法：①则一定是负数；②的最大值是3；③2019个有理数相乘，其中负数有1949个，那么所得的积为负数；④满足的整数的值有7个．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 76．（24-25七年级下·全国·假期作业）如果“”，那么“( )”．计算的结果是( )． 77．（24-25七年级下·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 78．（2025·浙江杭州·二模）如图，在数轴上点表示数，点表示数1，O是原点，点表示的数是．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 79．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 80．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若是互不相等的整数，且，则 ． 81．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 82．（2025·河北邯郸·一模）如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为． (1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值． (2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置． 83．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 84．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 85．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是 ． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 86．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 87．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 试卷第2页，共53页 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $